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dato un sistema di carrucole come quello in figura, (in cui un blocco di massa M può salire o scendere perchè collegato attraverso una carrucola di rinvio (quella in alto) a una maniglia (quella in basso, bianca, di massa trascurabile, così come sono trascurabili le masse delle carrucole e dei fili) tirata da una forza F costante), intuitivamente mi verrebbe da pensare che se la maniglia si sposta di un tratto $ d $ allora il blocco M si alzerà di un tratto $ d/2 $. la ...

Un chiodo viene piantato esattamente al di sotto del punto di sospensione O di un pendolo semplice, di lunghezza l = 1 m, ad una distanza x da O. La massa del pendolo viene quindi rilasciata dalla posizione in cui il filo forma un angolo di 60 ̊ con la verticale. Calcolare il minimo valore di x per cui il filo si avvolge attorno al chiodo percorrendo una traiettoria circolare. faccio una conservazione dell'energia dal punto in cui il pendolo viene rilasciato, al punto in cui si trova sopra al ...

Ciao a tutti,sono a un livello base sugli integrali e ho bisogno di alcuni consigli per il seguente integrale: $ int1/(sin^2x(1+cotx))dx $ Sono partito dal presupposto che $ cot x=cosx/(senx) $ Se vado a sostituire mi esce: $ int 1/(sin^2x(1+(cosx/sinx)))dx $ svolgendo i calcoli al denominatore mi vengono due opzioni : $ int 1/(sin^2x+sinxcosx)dx $ oppure $ int 1/(sinx(sinx+cosx)dx $ Non riesco ad andare avanti,credo devo integrare per sostituzione ma non mi viene niente Se potete aiutarmi vi ringrazio tanto

Non riesco a capire dove commetto errorri su questo integrale... $ int e^xlog(1+e^-x)dx $ Procedo per parti e decido di integrare la funzione $ log(1+e^-x) $ che mi viene $ -e^-x/(1+e^-x) $ Secondo la formula di integrazioni per parti mi verrebbe $ e^xlog(1+e^-x)-int e^x(-e^-x/(1+e^-x))dx $ Svolgendo la moltiplicazione $ e^xlog(1+e^-x)-int (-1/(1+e^-x))dx $ porto fuori il -1 $ e^xlog(1+e^-x)+int 1/(1+e^-x)dx $ Quindi il risultato sarebbe: $ e^xlog(1+e^-x)+log(1+e^-x)dx $ Guardando online mi risulta $ e^xlog(1+e^x)+log(1+e^-x)dx $ dove toppo?

Ciao a tutti Vorrei chiedere un aiuto riguardo al fatto che volevo provarmi che ogni numero dispari positivo potesse torvarsi con la formula $2n+1$ con n nei naturali compreso zero. L'idea era per induzione. 1) la base dell'induzione è facile essendo $2*0+1=1$ => dispari. OK! 2) Passo induttuivo (con ipotesi induttiva di 2n+1 vera) Devo dimostrare che 2n+1 => [2(n+1)+1 vera]. Cioè supposto vero per 2n+1 devo trovare vero (implicato) 2(n+1)+1. Correggetemi se sbaglio ...

Buongiorno. Vorrei una mano con questo limite. $lim_(x->0) ((1/(1+2x^2))^(1/4) -cosx)/(e^(x^2) -1 -sin^2 (x))$. Ho posto il primo fattore come $(1+2x^2)^(-1/4)$, per poter sfruttare gli sviluppi di Taylor, solo che con qualsiasi ordine provi, non riesco a raccapezzarmi su un possibile risultato. Potreste darmi una mano?

Buonasera, ho un dubbio sulla risoluzione di un'equazione differenziale di Clairaut $y=xy'-sin(y')$ Derivando rispetto a $x$ si ha $y'' (x-cos(y'))=0$ a) $y''=0$ $-->$ $y(x)=cx+d$ b) $x-cos(y')=0$ $->cos(y')=x -> y'=arccos(x) -> y(x)=x*arccos(x)- sqrt(1-x^2) + a$ Tuttavia nel caso b) che differenza c'è a risolvere l'equazione come ho fatto io (sperando sia corretto) rispetto a porre $y'=t$ e trovare poi la soluzione $\{(x=cos(t)),(y=tcos(t)-sin(t)):}$ ? Grazie

Buongiorno avrei bisogno di una mano nel capire se il seguente integrale esiste o no $int_-1^1 1/(x+e^x)\ \text{dx}$. La funzione integranda non è limitata nell'intervallo di integrazione perchè ha un asintoto verticale. Per confronto asintotico non posso procedere perchè con conosco con precisione qual è l'equazione dell'asintoto. Per confronto ho trovato solo che $1/(x+e^x)<x$ ma questo non mi fa concludere nulla. La soluzione è che la funzione non è integrabile. Ma perchè?

Ciao a tutti, apro un altro thread con un quesito riguardante teorema della mappa aperta e corollari. Consideriamo due spazi di Banach $X$ e $Y$, ed un operatore lineare limitato $T:X rarr Y$. Si provi l'equivalenza delle seguenti affermazioni: $\text{i) }T \text{ e' una mappa aperta di X su } T(X)$ $\text{ii)}EE M>0:AAyinT(X)$ $EEx in T^{-1}(y): norm(x)<= Mnorm(y)$ $\text{iii)}EE K>0:norm(x+ker(T))<=Knorm(Tx)$ $AAx inX$ L'implicazione $(i) rArr (ii)$ è una diretta conseguenza del fatto che le applicazioni aperte portano intorni dello zero in ...

Vorrei chiedere aiuto in merito alla risoluzione di un particolare esercizio... Date due permutazioni $\sigma=(1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10,11)$ e $\tau=(1,3,2,4,5)(6,8,7)(9,11,10)$ trovare l'intersezione $<\sigma>nn<\tau>$ L'intersezione è un sottogruppo ciclico di $S_11$ del tipo$<\alpha>$ e quindi si avrà sicuramente che esistono $s,t\in\ \NN\ \tali\ \che\ \alpha=\sigma^s=\tau^t$ Sicuramente è il caso della permutazione identica(poichè ovviamente sigma e tau sono ciclici). Ma come posso trovare le altre permutazioni non banali? Servirebbe trovare ...

Ciao. Credo di essermi bloccato su una scemenza. Siano \( F \) e \( F^\prime \) due \( R \)-moduli liberi (dove \( R \) è commutativo), di basi rispettivamente \( \{e_i\}_{i\in I} \) e \( \{f_j\}_{j\in J} \). Una funzione \( g_0 \) del prodotto \( \{e_i\}_i\times\{f_j\}_j \) in un \( R \)-modulo \( M \) si estende in modo unico a una funzione bilineare \( g\colon F\times F^\prime\to M \): dati \( x = \sum_ix_ie_i \) in \( F \) e \( y = \sum_jy_if_i \), suddetta \( g \) mappa \[ g\colon ...

Buonasera, ho dei dubbi su questo esercizio: sia $A=$$((4,0,0,0),(1,4,0,0),(1,0,4,0),(0,2,1,1))$ una matrice a coefficienti in un campo $F$ Determinare la forma canonica di Jordan di $A$ al variare della caratteristica di $F$. Non ho ben compreso cosa sia la caratteristica $Char(F)$ e come si fa a determinarla: in particolare, calcolato il polinomio caratteristico $(x-4)^3(x-1)$, non mi è chiaro perchè gli autovalori $1$ e ...

Dimostra che tutti gli spazi Hilbertiani sono riflessivi. Le soluzioni dicono quanto segue, ma io ho un dubbio. Secondo me la sua applicazione non è ben definita. Ma probabilmente sono io a fare confusione. Sia dunque \( H \) uno spazio di Hilbert su \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \) e sia l'applicazione \( T : H \to H^{\ast} \) tale che \( (Ta)(x)= \left< x, a \right> \) per ogni \( x \in H \) che è una biiezione che soddisfa \( \begin{Vmatrix} Ta \end{Vmatrix}_{H^{\ast}} ...

Dimostra che se \(X \) è uno spazio vettoriale normato e \( X^{\ast} \) è separabile allora \( X\) è separabile. Deduci che \( \ell^1 \) non è riflessivo. Indicazione: se \( \{ f_n: n \in \mathbb{N} \} \) è un sottoinsieme denso in \(X^{\ast} \), scegliere per ogni \(n \), \(x_n \in X \) tale che \( \left| f_n(x_n) \right| \geq \frac{1}{2} \parallel f_n \parallel \) e \( \parallel x_n \parallel \leq 1 \). Allora pre il punto 1, ovvero dimostrare che \(X\) è separabile ci sono. L'unica cosa ...

Salve, in Laboratorio di Programmazione 1, al primo anno del corso di triennale di matematica, abbiamo fatto gli automi a stati finiti, e tuttavia non ci è stato spiegato bene come si determinano tutte e sole le stringhe che vengono accettate da un automa. Dato che si avvicina la prova intercorso, volevo chiedervi se ci fosse un metodo del genere e quale fosse.

C'è una parte della soluzione di questo esercizio che non capisco molto bene. Sia \( p \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \) tale che \( \min_{t \in [0,1] } p(t) > 0 \) e \( \int_0^1 p^{-1}(t)dt = 1 \). Dimostra l'esistenza di una successione \( \{ \mu_n \}_n \subset \mathbb{R} \) e di una successione ortonormata totale \( \{e_n\}_n \) di \( (C([0,1],\mathbb{R}),\left< \cdot,\cdot \right> ) \) tale che \[ \left\{\begin{matrix} -(p(s)e_n'(s))'& = &\mu_n e_n(s) \\ e_n(0)= e_n(1)=0& &\\ e_n \in ...

devo calcolare la singolarità a $ z=∞ $ della funzione di variabile complessa $ f(z)=α^{-z $ con $ α>0 $ parametro reale per calcolare la singolarità per $ z=∞ $ ho pensato di esprimere $ α^{-z}=e^{-zlog(α)} $ e di fare lo sviluppo in serie di taylor dell'esponenziale centrato in $ z'=1/z=0 $ : $ 1-zlog(α)+1/2(zlog(α))^2-1/6(zlog(α))^3 $ ma basta fare lo sviluppo di taylor o devo fare lo sviluppo di taylor-laurent? scusate la confusione, sono i primi esercizi che faccio......

Sia uno spazio di Hilbert \( (H, \left< \cdot, \cdot \right> ) \) di dimensione infinita e un operatore lineare \( A \in \mathcal{L}(H) \) simmetrico e compatto t.q. \( (N(A), \left< \cdot, \cdot \right> \) è separabile. Sia ancora una successione ortonormata totale \( \{u_n\} \) di \(H\) formata da autovettori di \(A\) e la successione \( \{\lambda_n\}_n \) di autovalori corrispondenti. Per \( f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) definiamo \( f(A):H \to H \) per \[ \forall x \in H, f(A)x = ...

Ciao, dovrei dimostrare \(\displaystyle a(bc) \equiv_m b \land MCD(a,m)=1 \implies ac \equiv_m 1 \) È facile arrivare a dire che \(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle b(ac-1) = mh \) Per dimostrare il teorema \(\displaystyle m \) deve rimanere la stessa, quindi dovrei dimostrare che \(\displaystyle b|h \) in modo tale da avere \(\displaystyle h = b*k \) e poter semplificare il tutto a \(\displaystyle ac -1 = mk \) ma ho dei problemi a dimostrare ciò. Sareste così gentili da ...

Siano degli spazi vettoriali normati \( X,Y\) e sia \( T \in \mathcal{L}(X,Y)\), dove \( \mathcal{L}(X,Y)\) denota lo spazio degli operatori lineari limitati. Dimostra che se \( \dim_{\mathbb{F}} R(T) < \infty \) allora \(T \) è compatto. Dove \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \). Non sono sicurissimo di come ho proceduto. Va bene secondo voi? Ponendo \(n:= \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) abbiamo che \( R(T) \cong \mathbb{F}^n\), sia dunque \( \{e_1, \ldots, e_n\} \) una base di \( ...