Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Rileggendo questo, mi chiedevo: se si scelgono $n-1$ punti nell'intervallo $[0,1]$ in modo uniforme, si formano naturalmente $n$ segmenti. Qual è la lunghezza media del più lungo di questi segmenti? Nel link sopra abbiamo dimostrato che se $n=3$ allora la risposta è $11/18$. Ma cosa succede se $n$ è maggiore di $3$?
Quanto è non banale questo problema?
Buon giorno, vorrei sottoporre un problema.
Passo a descrivere il problema qui di seguito:
Sia dato un vettore algebrico v, di cui siano note tutte le componenti $v_1,v_2,v_3,..., v_n$.
Le componenti del vettore v sono ordinate in senso crescente ovvero $v_(j+1) > v_(j)$.
Sia inoltre q un numero reale assegnato.
Vorrei trovare una formula puramente analitica che sia in grado di restituire il valore
della più piccola componente del vettore v che sia maggiore o uguale della quantità q assegnata.
I ...
Questa è forse una domanda più filosofica, ma la sezione più adatta è questa, perché vorrei ricevere delle risposte che vadano molto in profondità della matematica piuttosto che della filosofia rispetto alla questione. Quindi:
Cos'è un numero?
Non mi sono mai domandato cosa fosse un numero. Ma mi è stata posta ed effettivamente non ho saputo rispondere in modo soddisfacente a questa domanda. Per soddisfacente intendo in un modo che mi permetta di dire esattamente cosa è un numero e cosa non è ...
Buongiorno a tutti!
Come dicevo nel thread sulla dimostrazione alternativa del Teorema di Vinogradov, ho un paio di questioni da rivolgervi estranee alla Congettura di Goldbach: una di queste è la questione se la Costante di Eulero-Mascheroni (γ) sia irrazionale: come saprete, non è appunto noto se tale costante sia razionale o irrazionale.
Ho riflettuto un po' sulla questione, e vi espongo quel che mi era venuto in mente.
Questo che sto per esporvi non è direttamente legato a come ho in ...
Ecco la generalizzazione di un mio risultato particolare che non so se possa discendere immediatamente da qualche teorema noto... nel caso fosse inedito e di qualche interesse, sono curioso di vedere chi riuscirà a dimostrarlo nella maniera più semplice e/o stringata.
Proposizione. Siano $c$, $d$ e $t$ tre interi positivi tali che $10^{d-1} \leq c < 10^d$ e $t \geq d+1$. Allora, si avrà che \[ (10^t+1)^c \equiv c \cdot 10^t+1 \pmod {10^{t+d}} \] vale per ...
Costruire una successione \( \{ a_n\}_{n \ge 1} \) strettamente crescente di numeri interi positivi tale che \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\max \{k : a_k \le n \}}{n} = 1 \] e che non contenga alcuna progressione geometrica infinita del tipo \( \{ q^n \}_{n \ge 1}\) con \(q\) intero positivo.
Enjoy.
Sia
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq2},\,J_n=\begin{pmatrix}
1 & 1 & \dotsc & 1\\
1 & \ddots & \ddots & 1\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
1 & 1 & \dotsc & 1
\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n_n.
\]
Determinare gli autovalori di \(\displaystyle J_n\), i relativi autospazi, dimensioni e basi di questi ultimi, e la matrice diagonalizzante.
Commento: non mi aspetto che questo esercizio resti insoluto a lungo.
Buongiorno a tutti,
Devo dire che mi trovo in imbarazzo a scrivere, perché, sinceramente, non so da dove iniziare...
Come ho accennato nel mio post di presentazione, sono quattro anni che penso, parlo e scrivo sulla questione, e di mail ed acqua sotto i ponti ne è passata parecchia.
Dopo aver provato a fare ordine nei miei pensieri, ho pensato che la cosa migliore da fare è partire da qui.
Innanzi tutto, qualche definizione e convenzione grafica, per capire di cosa parlo quando uso certi ...
Spero di postare questo problemino nella sezione giusta, in caso contrario chiedo venia.
Ho pensato di proporlo nonostante lo abbia risolto incidentalmente tempo fa, mentre cercavo di rispondere a un quesito più generale, giacché il risultato può essere scritto in modo estremamente compatto (non aggiungo altro per non spoilerare troppo).
Problema: Nel comune sistema di numerazione decimale, immaginiamo di confrontare una a una le cifre meno significative (quelle più a destra, partendo ...
Calcolare, se esiste, \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin( x \sin(1/x))}{x \sin(1/x)}.\]
Esercizietto facile facile... nah, scherzo (ma vi pareva?)!
Senza scrivere alcunché su carta o usare alcun supporto elettronico, determinare la classe di congruenza modulo $10$ della differenza tra la cifra meno significativa di $807$^^$807$ (ovvero della torre di potenze $807^{807^{\cdots^807}}$ esattamente $807$ volte) che differisce da quella omologa di $807$^^$808$ e quest'ultima (cioè la cifra più a destra di ...
Studiando l'estensione al campo complesso della funzione zeta mi sono trovato la seguente parte reale
Rez=somma da 1 a infinito su n di cos(x*logn)/(n^2) La mia idea per trovare la somma è di sviluppare l'argomento della serie con l'integrale di Fourier e poi fare la sommma Potete aiutarmi ?
Consideriamo il piano reale e i suoi punti a coordinate intere, ovvero $\mathbb {R}^2 \cup \mathbb{Z}^2$.
Ci si può chiedere questo: è vero che per ogni punto di $\mathbb {R}^2$ esiste un segmento che lo contiene e i cui estremi sono due punti di $\mathbb{Z}^2$ ?
Buon giorno
Avrei un problema, probabilmente di calcolo delle variazioni, da sottoporre:
Sia
$varphi(x,y,z)$
una funzione reale incognita di tre variabili reali. Si vuole determinare la funzione $varphi$ che rende minimo il seguente funzionale
$F(varphi)=\sum_{j=1}^n [varphi(x_j,y_j,z_j)-w_j]^2$
In cui
$x_j,y_j,z_j,w_j$ sono $AAj=1,2,...,n$. quantità reali note.
n è numero intero noto.
Grazie.
Su un tavolo sono presenti n monete, non necessariamente con raggio uguale, le quali le vogliamo disporre tendenzialmente a cerchio, in modo tale che ogni moneta sia tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre vogliamo che tutte le monete siano tangenti internamente ad una circonferenza incognita.
Innanzitutto ho fissato il centro della circonferenza di raggio incognito r0 > 0 in (0,0) e il centro della prima moneta in (r0-r1,0), quindi ponendo per semplicità n=3 gli altri centri ho ...
Per \(n \in \mathbb{N} \), definiamo \[f_n (x) = \prod_{k = 1}^n \cos( k x). \] Trovare il piu' piccolo \( n \in \mathbb{N}\) tale che \( |f^{''} _n (0)| > 2023 \).
Riguardando un paper che ho pubblicato nel 2021 (mi riferisco alle pagine 164 e 165 https://ejournal2.undip.ac.id/index.php/jfma/article/view/12053), mi accorgo di un risultato che mi ha fatto cadere la mandibola sul pavimento: la soluzione del problema di ottimizzazione in 3D che sto per esporvi sarebbe proprio $\frac{\phi^5}{2}$, con $\phi := \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cioè il celeberrimo rapporto aureo!
Problema: Nel solito spazio euclideo tridimensionale, sia dato il cubo di lato unitario $[0,1]^3$ e (tanto per cambiare) ci proponiamo di unire ...
Vi propongo un problema inedito che coniuga più abilità e richiede anche tecniche standard (da liceo) per raffinare poi il tutto... non ho lavorato a una dimostrazione che la mia risposta sia la migliore possibile e (anche se ne dubito) potrebbe rivelarsi non ottimale (nel dubbio non ve la fornirò proprio e darò solo un bound per valutare se qualcuno abbia trovato di meglio).
Problema: Si consideri un cubo (nello spazio Euclideo) di vertici \((0,0,0) \), \((1,0,0) \), \((0,1,0) \), \((0,0,1) ...
Mi sono venuti in mente svariati problemi (che non reputo facilissimi) di ottimizzazione in $3$ e più dimensioni, basati su cubi e strutture connesse... ve ne propongo giusto uno tra i tanti, nella speranza che faccia appassionare qualche giovane in più alla teoria dei grafi.
Problema "semplice": Si consideri il cubo unitario ${0,1}^3$ nel consueto spazio euclideo e si assuma che un "albero" sia una qualsiasi struttura rigida, connessa, formata da segmenti rettilinei tra ...
Sperando di non alzare troppo il livello di difficoltà per questa sezione, propongo un problema che eleva su un piano superiore quello arcinoto dei Nove punti, rievocato da questo recente thread https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=12&t=238046.
Problema: Sia $k$ un generico numero intero, strettamente positivo, dato. Nello spazio (affine) Euclideo, si consideri la classica griglia (k-dimensionale) di $3^k$ punti, definita come $G_k:={0,1,2}^k$ e si dimostri che l'unico punto di ...
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