Problema zeri funzioni olomorfe
Ciao a tutti! Ho un quesito di analisi complessa particolarmente interessante secondo me.
Sia $Omega$ un aperto del piano complesso ed $H(Omega)$ l'anello delle funzioni olomorfe in $Omega$. Provare che: \[ H(\Omega) \text{ e' un dominio di integrita'} \iff \Omega \text{ e' connesso }\]
Per quanto riguarda $(Leftarrow)$ ho che $Omega$ è un aperto connesso e se $f$ e $g in H(Omega)$ non sono la funzione identicamente nulla allora posso applicare il principio degli zeri isolati per trovare:
$ a in Omega : f(a)=0 text{ e } delta>0 : f(z)!=0 AAzinD(a,delta)\text{\{a}} $
$ b in Omega : g(b)=0 text{ e } rho>0 : g(z)!=0 AAzinD(b,rho)\text{\{b}} $
Se $D(a,delta) nn D(b,rho) != O/$ allora prendo un $z$ lì dentro (eccetto a e b) per dimostrare che $f(z)g(z)!=0$ e questo conclude la prova. Se i dischi non si intersecano prendo $z in D(a,delta)\text{\{a}}$ e se z è una radice di g posso trovare un disco che a questo punto interseca $D(a,delta)\text{\{a}}$ e concludere ugualmente.
Il vero problema è la parte $(Rightarrow)$. Ci sto provando da qualche giorno ma non capisco nemmeno da dove partire
Potreste aiutarmi?
Sia $Omega$ un aperto del piano complesso ed $H(Omega)$ l'anello delle funzioni olomorfe in $Omega$. Provare che: \[ H(\Omega) \text{ e' un dominio di integrita'} \iff \Omega \text{ e' connesso }\]
Per quanto riguarda $(Leftarrow)$ ho che $Omega$ è un aperto connesso e se $f$ e $g in H(Omega)$ non sono la funzione identicamente nulla allora posso applicare il principio degli zeri isolati per trovare:
$ a in Omega : f(a)=0 text{ e } delta>0 : f(z)!=0 AAzinD(a,delta)\text{\{a}} $
$ b in Omega : g(b)=0 text{ e } rho>0 : g(z)!=0 AAzinD(b,rho)\text{\{b}} $
Se $D(a,delta) nn D(b,rho) != O/$ allora prendo un $z$ lì dentro (eccetto a e b) per dimostrare che $f(z)g(z)!=0$ e questo conclude la prova. Se i dischi non si intersecano prendo $z in D(a,delta)\text{\{a}}$ e se z è una radice di g posso trovare un disco che a questo punto interseca $D(a,delta)\text{\{a}}$ e concludere ugualmente.
Il vero problema è la parte $(Rightarrow)$. Ci sto provando da qualche giorno ma non capisco nemmeno da dove partire
Potreste aiutarmi?
Risposte
Cosa accade se $Omega$ non è connesso?
Ok, grazie mille gugo penso di esserci riuscito, alla fine non penso fosse così complicato da sbatterci la testa però confrontandomi con l'analisi complessa per la prima volta devo un po' entrare nei meccanismi 
. Provo a scrivere il mio ragionamento:
Se $Omega$ non è connesso allora considero l'insieme delle componenti connesse di $Omega$: $B={U_n}_{n in A}$ con $A sube NN$. Considero ora $f in H(Omega)$ e $g in H(Omega)$ tali che $f -= 0$ in un sottoinsieme non vuoto $F sub B $ e non identicamente nulla in nessuna delle altre componenti connesse, e $g-=0$ in $B\text{\F}$ e non nulla altrove. A questo punto ho due funzioni non identicamente nulle in $H(Omega)$ il cui prodotto $fg in H(Omega)$ è la funzione identicamente nulla.
. Provo a scrivere il mio ragionamento:Se $Omega$ non è connesso allora considero l'insieme delle componenti connesse di $Omega$: $B={U_n}_{n in A}$ con $A sube NN$. Considero ora $f in H(Omega)$ e $g in H(Omega)$ tali che $f -= 0$ in un sottoinsieme non vuoto $F sub B $ e non identicamente nulla in nessuna delle altre componenti connesse, e $g-=0$ in $B\text{\F}$ e non nulla altrove. A questo punto ho due funzioni non identicamente nulle in $H(Omega)$ il cui prodotto $fg in H(Omega)$ è la funzione identicamente nulla.
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