Flusso del campo magnetico e dipolo magnetico
Buonasera di nuovo.
Purtroppo c'era una domanda che era rimasta aperta e di cui mi incuriosiva la risposta di qualcuno esperto del forum. Tuttavia credo si sia persa per il rollback che ha subito il forum ma mi sarebbe tanto piaciuto leggere qualche risposta. Provvedo a trascriverla qui.
La domanda che si pone è la seguente:
L'esistenza del solo dipolo magnetico e non del monopolo fa sì che l'integrale di flusso del campo B sia nullo su una qualunque superfice. Questo è ovvio guardandolo con le linee di campo, tante ne escono quante ne entrano.
Immaginiamo però un dipolo lungo (un cilindro magnetizzato) e una superficie che passa esternaente al cilindro e si chiude internamente ad esso. In questo caso il flusso di B dovrebbe comunque essere nullo, ma non vedo il perché.
In questo caso so che se il vettore magnetizzazione M è uniforme allora il campo B è identico aquello di un solenoide e si vede bene che le linee di campo si chiudono l'integrale è nullo.
Tuttavia mettiamo non sia uniforme la magnetizzazione del cilindro, in tal caso B NON è più uguale a quello del solenoide percorso da corrente, ebbene, se guardo le linee di flusso noto che in generale si addensano all'interno del cilindretto metallico magnetizzato. In tal caso quindi non mi sembra che integrando sulla superficie descritta prima possa avere un flusso nullo.
Purtroppo c'era una domanda che era rimasta aperta e di cui mi incuriosiva la risposta di qualcuno esperto del forum. Tuttavia credo si sia persa per il rollback che ha subito il forum ma mi sarebbe tanto piaciuto leggere qualche risposta. Provvedo a trascriverla qui.
La domanda che si pone è la seguente:
L'esistenza del solo dipolo magnetico e non del monopolo fa sì che l'integrale di flusso del campo B sia nullo su una qualunque superfice. Questo è ovvio guardandolo con le linee di campo, tante ne escono quante ne entrano.
Immaginiamo però un dipolo lungo (un cilindro magnetizzato) e una superficie che passa esternaente al cilindro e si chiude internamente ad esso. In questo caso il flusso di B dovrebbe comunque essere nullo, ma non vedo il perché.
In questo caso so che se il vettore magnetizzazione M è uniforme allora il campo B è identico aquello di un solenoide e si vede bene che le linee di campo si chiudono l'integrale è nullo.
Tuttavia mettiamo non sia uniforme la magnetizzazione del cilindro, in tal caso B NON è più uguale a quello del solenoide percorso da corrente, ebbene, se guardo le linee di flusso noto che in generale si addensano all'interno del cilindretto metallico magnetizzato. In tal caso quindi non mi sembra che integrando sulla superficie descritta prima possa avere un flusso nullo.
Risposte
Perché non posti una immagine di questa seconda configurazione del campo?
Ammetto che non saprei come farlo, nel senso che se immagino le linee più dense dentro al materiale non capisco come coprire lo stesso volume facendone entrare uno stesso numero. Mi spiego: se esternamente ho $B=mu_0H$ internamente è più intenso e denso $B=mu_0(1+X_m)H$ quindi si compattano le linee però disegnando così (in numero finito) avrei una parte di spazio non coperta dalle linee.
(sx ho M uniforme, a destra M non uniforme, le linee sono le stessein numero nei due casi per rendere l'idea)
Insomma solo se le immagino infinite per quanto le addensi coprirebbero la parte destra e sinistra che sembrano vuote. Però se sono infinite per coprire lo stesso volume devo averne di più che all'esterno.
Nell' immagine ho scritto vuoto solo per rendere l'idea che sto dicendo cioè che se si addensano ne ho bisogno di un numero maggiore (ovviamente non è "vuoto" di linee di campo)
(sx ho M uniforme, a destra M non uniforme, le linee sono le stessein numero nei due casi per rendere l'idea)
Insomma solo se le immagino infinite per quanto le addensi coprirebbero la parte destra e sinistra che sembrano vuote. Però se sono infinite per coprire lo stesso volume devo averne di più che all'esterno.
Nell' immagine ho scritto vuoto solo per rendere l'idea che sto dicendo cioè che se si addensano ne ho bisogno di un numero maggiore (ovviamente non è "vuoto" di linee di campo)
Non capisco proprio cosa tu intenda dire, ti faccio solo notare che la chiusura esterna delle linee di forza coinvolge l'intero spazio esterno, fino all'infinito ... e oltre! 
Ci riprovo scusa 
Dicevo che se esternamente ho $B=mu_0H$ internamente è più intenso e denso, infatti vale: $B=mu_0(1+X_m)H$, ma se le linee di flusso sono proporzionali in numero all'intensità di B allora fuori ho un numero minore di linee di campo che dentro stando alle due formule precedenti.
Dicevo che se esternamente ho $B=mu_0H$ internamente è più intenso e denso, infatti vale: $B=mu_0(1+X_m)H$, ma se le linee di flusso sono proporzionali in numero all'intensità di B allora fuori ho un numero minore di linee di campo che dentro stando alle due formule precedenti.
Ripeto, esternamente il campo sarà inferiore, ma la superficie sarà superiore, e visto che parliamo di "flusso". 
Quello sì, però poi provo a immaginare un solenoide che esternamente dia lo stesso campo B di quel pezzo di ferro, internamente poiché vuoto vale ancora $B=μ_0H$, ecco se confronto questo valore interno con $B=μ_0(1+X_m)H$ mi accorgo che i due cilindri hanno internamente uno un campo più intenso dell'altro. Quindi nella medesima superficie ho densità di linee diverse e questo mi disturba, perché se esternamente ho un certo numero di linee come è possibile che internamente uno ne abbia di più?
Provo ad argomentare un punto di vista alternativo. Se quello che dico non fila, fate pure osservazioni:
Partiamo da questa premessa: sei d'accordo che nel vuoto vale che la divergenza del campo magnetico è nulla e quindi che il flusso uscente da ogni superficie chiusa è nulla?
Direi di sì, da quello che scrivi nel tuo messaggio.
Bene, cosa succede quando consideri il magnetismo nella materia? Beh, quello che succede è che la materia (cioé gli atomi e le molecole) interagiscono con il campo magnetico "locale": cioé, puoi assimilare gli elettroni (tralasciamo QM e robe varie) a correnti atomiche che interagiscono con i campi magnetici.
Ora, le possibilità sono due:
1) ti usi le eq. di maxwell considerando esplicitamente le correnti atomiche. Per il principio di sovrapposizione il campo magnetico risultante sarà sempre a divergenza nulla. Però una descrizione del genere è praticamente impossibile, ed inoltre inutile perché tu sei interessato al campo magnetico B macroscopico
2) consideri le sole correnti "macroscopiche", mediando l'effetto della materia su volumi infinitesimi ma contenenti un numero macroscopicamente significato di atomi, molecole etc etc.
Questo ti porta a definire un vettore che chiami magnetizzazione e alla definizione del campo H, che porta all'equazione inomogenea (quella con le correnti, per intenderci) senza le correnti microscopiche.
Data però l'equivalenza delle due descrizioni, B è sempre a divergenza nulla.
Spero di non avere incasinato le tue idee, ma vedila così: il fatto che B abbia flusso nullo attraverso sup chiuse è un fatto sperimentale. E, per il principio di sovrapposizione, questo vale anche nella materia.
Partiamo da questa premessa: sei d'accordo che nel vuoto vale che la divergenza del campo magnetico è nulla e quindi che il flusso uscente da ogni superficie chiusa è nulla?
Direi di sì, da quello che scrivi nel tuo messaggio.
Bene, cosa succede quando consideri il magnetismo nella materia? Beh, quello che succede è che la materia (cioé gli atomi e le molecole) interagiscono con il campo magnetico "locale": cioé, puoi assimilare gli elettroni (tralasciamo QM e robe varie) a correnti atomiche che interagiscono con i campi magnetici.
Ora, le possibilità sono due:
1) ti usi le eq. di maxwell considerando esplicitamente le correnti atomiche. Per il principio di sovrapposizione il campo magnetico risultante sarà sempre a divergenza nulla. Però una descrizione del genere è praticamente impossibile, ed inoltre inutile perché tu sei interessato al campo magnetico B macroscopico
2) consideri le sole correnti "macroscopiche", mediando l'effetto della materia su volumi infinitesimi ma contenenti un numero macroscopicamente significato di atomi, molecole etc etc.
Questo ti porta a definire un vettore che chiami magnetizzazione e alla definizione del campo H, che porta all'equazione inomogenea (quella con le correnti, per intenderci) senza le correnti microscopiche.
Data però l'equivalenza delle due descrizioni, B è sempre a divergenza nulla.
Spero di non avere incasinato le tue idee, ma vedila così: il fatto che B abbia flusso nullo attraverso sup chiuse è un fatto sperimentale. E, per il principio di sovrapposizione, questo vale anche nella materia.
Però, detto questo ... ok il campo all'interno del cilindro sarà molto intenso, le linee di forza molto dense certamente ... eh va beh, per quanto possano essere tante, usciranno da un altro lato della superficie.
Non ci vedo problemi
Non ci vedo problemi
Il tuo punto di vista mi torna, e condivido ora debba essere, data la solenoidalità, a flusso nullo dato che sono infinite spire/atomo. Purtuttavia ancora non mi convince a livello di linee di campo
Come dicevo, prova a prendere due cilindri uno che sia un solenoide percorso da corrente e uno di ferro magnetizzato, nello spazio esterno mettiamo per ipotesi che generino lo stesso campo B (quindi stesso numero e distribuzione delle linee di flusso).
Se ora considero l'interno dei due "cilindri" e ci faccio entrare e uscire lo stesso numero di linee mi accorgo però che in virtù delle due formule che ho scritto nel precedente messaggio mi troverei una densità maggiore in quello non uniforme, ma se entrano lo stesso numero come fanno a essere più dense?
Graficamente non torna la faccenda.
ok il campo all'interno del cilindro sarà molto intenso, le linee di forza molto dense certamente ... eh va beh, per quanto possano essere tante, usciranno da un altro lato della superficie.
Come dicevo, prova a prendere due cilindri uno che sia un solenoide percorso da corrente e uno di ferro magnetizzato, nello spazio esterno mettiamo per ipotesi che generino lo stesso campo B (quindi stesso numero e distribuzione delle linee di flusso).
Se ora considero l'interno dei due "cilindri" e ci faccio entrare e uscire lo stesso numero di linee mi accorgo però che in virtù delle due formule che ho scritto nel precedente messaggio mi troverei una densità maggiore in quello non uniforme, ma se entrano lo stesso numero come fanno a essere più dense?
Graficamente non torna la faccenda.
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