Equazione differenziale a variabili separabili
Ciao, cercando di rispondermi a una lettura del libro di fisica in cui fa un passaggio imbarazzante ho provveduto in questo modo a darmi risposta. Però vorrei capire se sia corretto a livello matematico.
In poche parole sono di fronte a una equaizone differenziale a variabili separabili
$Ey*(dy)/(dt)=P$ con E e P costanti (P sarebbe una potenza fisica => P*dt=dw perintenderci un lavoro).
Mi pare sia a variabili separabili infatti rientra nella definizione che mi è stata data ad analisi: $y'(t)=E/(y(t))P$
Se anche la funzione y si azzerasse ho comunque una funzione continua per $f(y)=1/y$ nel suo dominio (infatti 1/0 non ne farebbe parte) dovrebbe esere continua stando alla definizione di questa EDO se non erro $y'(t)=a(y(t))*b(t)$ e $a(y(t))=1/y$ nel mio caso e $b(t)=P$ .
Ora la mostruosità del libro è che scrive:
Ho un problema di cauchy perché voglio andare da 0 a t(finale)
$dW=Eydy$ (insomma fa sparire dt a denominatore) e poi integra ancora in y (sempre da 0 a y) e si porta a soluzione $\int dW = \int_0^y Eydy$ quindi $W=1/2Ey^2$
E' del tutto insensato perche in realtà y dipende da t non ha senso spezzarlo in dy e poi integrare (lo so bene di questa truffa)
Vorrei quindi torvare risposta formale e ho pensato di risolvermela così, evorrei capire se è almeno in parte correttacome idea.
Mi trovo davanti a (essendo una EDO separabile)
$Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=\int_0^tPdt$
A questo punto lavoro sul primo termine: $Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=E(y^2(t)-int_0^ty(t)*y'(t)dt)$ (per parti considerando y(0) e y'(0) nulle)
Porto quindi a primo membro l'integrale definito $E2int_0^ty(t)*y'(t)dt=Ey^2(t)$
Quindi
$Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=(Ey^2(t))/2$ voluto.
Grazie per l'aiuto
In poche parole sono di fronte a una equaizone differenziale a variabili separabili
$Ey*(dy)/(dt)=P$ con E e P costanti (P sarebbe una potenza fisica => P*dt=dw perintenderci un lavoro).
Mi pare sia a variabili separabili infatti rientra nella definizione che mi è stata data ad analisi: $y'(t)=E/(y(t))P$
Se anche la funzione y si azzerasse ho comunque una funzione continua per $f(y)=1/y$ nel suo dominio (infatti 1/0 non ne farebbe parte) dovrebbe esere continua stando alla definizione di questa EDO se non erro $y'(t)=a(y(t))*b(t)$ e $a(y(t))=1/y$ nel mio caso e $b(t)=P$ .
Ora la mostruosità del libro è che scrive:
Ho un problema di cauchy perché voglio andare da 0 a t(finale)
$dW=Eydy$ (insomma fa sparire dt a denominatore) e poi integra ancora in y (sempre da 0 a y) e si porta a soluzione $\int dW = \int_0^y Eydy$ quindi $W=1/2Ey^2$
E' del tutto insensato perche in realtà y dipende da t non ha senso spezzarlo in dy e poi integrare (lo so bene di questa truffa)
Vorrei quindi torvare risposta formale e ho pensato di risolvermela così, evorrei capire se è almeno in parte correttacome idea.
Mi trovo davanti a (essendo una EDO separabile)
$Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=\int_0^tPdt$
A questo punto lavoro sul primo termine: $Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=E(y^2(t)-int_0^ty(t)*y'(t)dt)$ (per parti considerando y(0) e y'(0) nulle)
Porto quindi a primo membro l'integrale definito $E2int_0^ty(t)*y'(t)dt=Ey^2(t)$
Quindi
$Eint_0^ty(t)*y'(t)dt=(Ey^2(t))/2$ voluto.
Grazie per l'aiuto
Risposte
È corretto, tuttavia non c'è bisogno di integrare per parti; la funzione $y(t)y'(t)$ è la derivata rispetto alla variabile $t$ del prodotto $\left[\frac{1}{2}y(t)^2\right]$, quindi hai immediatamente
$$E\int_0^t y(s)y'(s) \text{d}s=E\left[\frac{1}{2}y(s)^2\right]_0^t$$
Si usa un'altra variabile di integrazione rispetto alla variabile che si usa per l'estremo superiore di integrazione in quanto la funzione
$$\varphi(t)=\int_0^t y(s)y'(s) \text{d}s$$
è una funzione integrale, ossia una funzione dell'estremo superiore di integrazione; se indicassi
$$\varphi(t)=\int_0^t y(t)y'(t) \text{d}t$$
ci sarebbero delle ambiguità, perché per $t=t_0$ fissato avresti fissato sia l'estremo superiore di integrazione (il che è sensato) sia la variabile di integrazione (questo invece non ha senso). Quindi, per evitare queste cose, si usa una variabile di integrazione diversa da quella usata per l'estremo superiore di integrazione (in quanto la variabile di integrazione è, come si dice in questo contesto, una variabile muta).
$$E\int_0^t y(s)y'(s) \text{d}s=E\left[\frac{1}{2}y(s)^2\right]_0^t$$
Si usa un'altra variabile di integrazione rispetto alla variabile che si usa per l'estremo superiore di integrazione in quanto la funzione
$$\varphi(t)=\int_0^t y(s)y'(s) \text{d}s$$
è una funzione integrale, ossia una funzione dell'estremo superiore di integrazione; se indicassi
$$\varphi(t)=\int_0^t y(t)y'(t) \text{d}t$$
ci sarebbero delle ambiguità, perché per $t=t_0$ fissato avresti fissato sia l'estremo superiore di integrazione (il che è sensato) sia la variabile di integrazione (questo invece non ha senso). Quindi, per evitare queste cose, si usa una variabile di integrazione diversa da quella usata per l'estremo superiore di integrazione (in quanto la variabile di integrazione è, come si dice in questo contesto, una variabile muta).
E' vero, non so perché sul momento mi fosse venuto naturale per parti. Nel senso che l'ho svolto a mente subito così senza pensare che era una inutile complicazione.
Per quanto riguarda anche la correzione della variabile muta grazie mille, non sono ancora molto bravo (speriamo di migliorare
).
Già che ci sono ti chiedo anche se
è corretto come modo di procedere? Perché la edo a variabili separabili mi è stata definita come $y'(t)=a(y(t))*b(t)$
Sei stato gentilissimo per il tuo aiuto.
Per quanto riguarda anche la correzione della variabile muta grazie mille, non sono ancora molto bravo (speriamo di migliorare
).Già che ci sono ti chiedo anche se
Se anche la funzione y si azzerasse ho comunque una funzione continua per $f(y)=1/y$ nel suo dominio (infatti 1/0 non ne farebbe parte) dovrebbe esere continua stando alla definizione di questa EDO se non erro $y'(t)=a(y(t))*b(t)$ e $a(y(t))=1/y$ nel mio caso e $b(t)=P$
è corretto come modo di procedere? Perché la edo a variabili separabili mi è stata definita come $y'(t)=a(y(t))*b(t)$
Sei stato gentilissimo per il tuo aiuto.
Osservazioni a latere: c'è molto che si può dire anche senza risolvere l'equazione.
[ot]Se la EDO è $E y(t) * y^\prime (t) = P$ con le costanti non nulle, né la soluzione $y(t)$ né la sua derivata $y^\prime (t)$ si annullano nel loro comune intervallo di definizione (poiché se, per assurdo, ciò accadesse, si troverebbe un punto $t_0$ in cui sarebbe $0=P$, contro l'ipotesi $P!=0$).
D'altra parte, se $E*P >0$, dalla EDO si deduce addirittura che $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque lo stesso segno, o positivo o negativo; dunque, o $y(t)$ è positiva e strettamente crescente, oppure negativa e strettamente decrescente.
Viceversa, se $E*P<0$, allora $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque segno opposto; allora o $y(t)$ è positiva e strettamente decrescente oppure essa è negativa e strettamente crescente.
Derivando m.a.m. la EDO, troviamo:
$E [(y^\prime (t))^2 + y(t)*y^(\prime \prime) (t) ] = 0\ <=>\ y(t) * y^(\prime \prime) (t) = - (y^\prime (t))^2 < 0$
cosicché $y^(\prime \prime) (t)$ ha ovunque segno opposto ad $y(t)$; ne consegue che se $y(t)$ è positiva, allora essa è strettamente concava, mentre se $y(t)$ è negativa, allora essa è strettamente convessa.
Riassumendo, senza risolvere in alcun modo la EDO, abbiamo stabilito che valgono le seguenti proprietà:
[ot]Se la EDO è $E y(t) * y^\prime (t) = P$ con le costanti non nulle, né la soluzione $y(t)$ né la sua derivata $y^\prime (t)$ si annullano nel loro comune intervallo di definizione (poiché se, per assurdo, ciò accadesse, si troverebbe un punto $t_0$ in cui sarebbe $0=P$, contro l'ipotesi $P!=0$).
D'altra parte, se $E*P >0$, dalla EDO si deduce addirittura che $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque lo stesso segno, o positivo o negativo; dunque, o $y(t)$ è positiva e strettamente crescente, oppure negativa e strettamente decrescente.
Viceversa, se $E*P<0$, allora $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque segno opposto; allora o $y(t)$ è positiva e strettamente decrescente oppure essa è negativa e strettamente crescente.
Derivando m.a.m. la EDO, troviamo:
$E [(y^\prime (t))^2 + y(t)*y^(\prime \prime) (t) ] = 0\ <=>\ y(t) * y^(\prime \prime) (t) = - (y^\prime (t))^2 < 0$
cosicché $y^(\prime \prime) (t)$ ha ovunque segno opposto ad $y(t)$; ne consegue che se $y(t)$ è positiva, allora essa è strettamente concava, mentre se $y(t)$ è negativa, allora essa è strettamente convessa.
Riassumendo, senza risolvere in alcun modo la EDO, abbiamo stabilito che valgono le seguenti proprietà:
- [*:1q5k81d7] se $E*P > 0$, allora:
- [*:1q5k81d7] $y(t)$ è positiva, strettamente crescente e strettamente concava oppure
[/*:m:1q5k81d7]
[*:1q5k81d7] $y(t)$ è negativa, strettamente decrescente e strettamente convessa;[/*:m:1q5k81d7][/list:u:1q5k81d7]
[/*:m:1q5k81d7]
[*:1q5k81d7] se $E*P < 0$, allora:
- [*:1q5k81d7] $y(t)$ è positiva, strettamente decrescente e strettamente concava oppure
[/*:m:1q5k81d7]
[*:1q5k81d7] $y(t)$ è negativa, strettamente crescente e strettamente convessa.[/*:m:1q5k81d7][/list:u:1q5k81d7][/*:m:1q5k81d7][/list:u:1q5k81d7][/ot]
"gugo82":
Osservazioni a latere: c'è molto che si può dire anche senza risolvere l'equazione.
[ot]Se la EDO è $E y(t) * y^\prime (t) = P$ con le costanti non nulle, né la soluzione $y(t)$ né la sua derivata $y^\prime (t)$ si annullano nel loro comune intervallo di definizione (poiché se, per assurdo, ciò accadesse, si troverebbe un punto $t_0$ in cui sarebbe $0=P$, contro l'ipotesi $P!=0$).
D'altra parte, se $E*P >0$, dalla EDO si deduce addirittura che $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque lo stesso segno, o positivo o negativo; dunque, o $y(t)$ è positiva e strettamente crescente, oppure negativa e strettamente decrescente.
Viceversa, se $E*P<0$, allora $y(t)$ ed $y^\prime (t)$ hanno ovunque segno opposto; allora o $y(t)$ è positiva e strettamente decrescente oppure essa è negativa e strettamente crescente.
Derivando m.a.m. la EDO, troviamo:
$E [(y^\prime (t))^2 + y(t)*y^(\prime \prime) (t) ] = 0\ <=>\ y(t) * y^(\prime \prime) (t) = - (y^\prime (t))^2 < 0$
cosicché $y^(\prime \prime) (t)$ ha ovunque segno opposto ad $y(t)$; ne consegue che se $y(t)$ è positiva, allora essa è strettamente concava, mentre se $y(t)$ è negativa, allora essa è strettamente convessa.
Riassumendo, senza risolvere in alcun modo la EDO, abbiamo stabilito che valgono le seguenti proprietà:
[*:2o6j0t17] se $E*P > 0$, allora:
[*:2o6j0t17] $y(t)$ è positiva, strettamente crescente e strettamente concava oppure
[/*:m:2o6j0t17]
[*:2o6j0t17] $y(t)$ è negativa, strettamente decrescente e strettamente convessa;[/*:m:2o6j0t17][/list:u:2o6j0t17]
[/*:m:2o6j0t17]
[*:2o6j0t17] se $E*P < 0$, allora:
[*:2o6j0t17] $y(t)$ è positiva, strettamente decrescente e strettamente concava oppure
[/*:m:2o6j0t17]
[*:2o6j0t17] $y(t)$ è negativa, strettamente crescente e strettamente convessa.[/*:m:2o6j0t17][/list:u:2o6j0t17][/*:m:2o6j0t17][/list:u:2o6j0t17][/ot]
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