Università

Buongiorno Sto avenod un po' di difficoltà a capire un passaggio del seguente esercizio: Ho un elettrone nello stato: $ u(r)sin\theta((e^{+i\phi}),(e^{-i\phi}))$ E mi viene chiesto di trovare la distribuzione di probabilità congiunta per: $L^2,L_z,S_z$. Ora, essendo un elettrone il suo spin sarà $\frac{1}{2}$ quindi $s_z=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. Inoltre, scrivendo lo stato come: $ |\psi> =u(r)sin\theta(e^{+i\phi}|\uparrow>+e^{-i\phi}|\downarrow>$ e calcolando le probabilità di trovare l'elettrone nello stato "up" oppure "down" trovo che $P(\uparrow)=|<\uparrow | \psi >|^2 =|<\downarrow | \psi >|^2=P(\downarrow)$ (scusate il ...

Sia $A$ un dominio di integrità. Siano $a, b in A$ ed $n,m$ interi positivi coprimi. Dimostrare che se $a^n =b^n$ e $a^m = b^m$ allora $a=b$. Se $n,m$ sono coprimi esistono interi $\alpha, \beta$ tali che $1=n\alpha + m\beta$ ... Quindi abbiamo che se $a^{n} = b^{n}$ allora $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ ovvero $a^{1-m\beta} = b^{1-m\beta}$. Siccome siamo in un dominio abbiamo che $a^{1-m\beta} = a * (a^{m})^{-\beta} = b * (b^{m})^{-\beta}$ ma per ipotesi so che $a^{m} = b^{m}$ da ...

Salve, sto approcciando per la prima volta il calcolo integrale per sostituzione. Ho una domanda (penso veramente banale) ma a cui non so dare dimostrazione. Supponiamo di dover risolvere il seguente integrale: $\int \tg(x)dx$, pongo $\cos(x) = t$ per effettuare la sostituzione. Ora, quello che è stato fatto ad esercitazione è: $t=\cos(x) \rightarrow \dt=-\sin(x)dx$. Per quanto intuitivo quest'ultimo passaggio possa essere, non me lo so spiegare. E' giusto pensala come $\frac{d(t)}{dt}dt=\frac{d(\cos(x))}{dx}dx$? Ringrazio in ...

Buonasera, ora non ricordo con esattezza se ho già pubblicato questo topic, ad ogni modo non mi risulta chiaro una proposizione che riguarda le matrici invertibili. Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ indico con tale simbolo una matrice rettangolare con $n$ righe e $m$ colonne. Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ , considero l'applicazione lineare $f_A: x in mathbb{K^m} to f_A(x)=Ax in mathbb{K^n}$ Proposizione: $A in M_(n,m)(mathbb{K}).$ i) $exists B in M_(m,n)(mathbb{K})\: AB=I_n <=>$ le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$ ii) ...

Sappiamo che una matrice simmetrica è semidefinita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori non negativi. Se moltiplichiamo due matrici semidefinite positive $A$ e $B$ dovremmo allora ottenere una matrice $AB$ avente tutti gli autovalori non negativi, giusto? Ma allora posso dedurre che il prodotto di matrici semidefinite positive è una matrice semidefinita positiva?

Sto leggendo il libro 'An introduction to Fourier analysis and generalized functions' di Lighthill. Perdonatemi se la domanda è praticamente rivolta solo a coloro che hanno letto il testo in oggetto, ma le definizioni e i teoremi che dovrei riportare sono un pò troppi e non è una via praticabile se non si conosce già l'approccio teorico dell'autore. Comunque, non mi è chiaro ciò che egli scrive alla prima pagina del capitolo 3: \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|^\alpha = ...

Ciao. Sia \[ \begin{CD} A @>f>> B\\ @VgVV\\ C \end{CD} \] un diagramma di insiemi e funzioni. Sto cercando di capire la costruzione del suo pushout "canonico". Sia \( B\amalg C := B\times\{1\}\cup C\times\{2\} \), con \( 1\neq 2 \), e sia \( \mathcal R \) la relazione su \( B\amalg C \) definita chiedendo che \( (x,i)\mathrel{\mathcal R}(y,j) \) se e solo se esiste un \( a\in A \) tale che o \( x = f(a) \), \( y = g(a) \), o \( x = g(a) \), \( y = f(a) \), per ogni \( (x,i),(y,j)\in B\amalg C ...

Ho provato a trovare il polinomio minimo di $sqrt(3)+sqrt(3)$, con semplici calcoli si arriva ad $x^4-10x^2 +1$, poi ho provato con $sqrt(2)+root(3)(3)$ iterando lo stesso procedimento rimango bloccato, potreste darmi un aiuto? Grazie!

Ciao a tutti,dato questo "prodotto" matriciale: $ (U*A).*||U*A|| $ dove il prodotto $U*A$ restituisce un vettore di numeri complessi, l'operatore $||.||$ è inteso come modulo delle singole componenti del prodotto e l'operatore $.*$ è inteso come prodotto componente per componente. Dimensioni degli elementi: U matrice $in [N,M]$. A vettore $in [M,1]$. Vorrei sapere se è possibile estrarre il vettore A, anche con approssimazioni o considerando il ...

Ciao a tutti, non mi è chiaro cosa voglia dire diagonalizzare un'hamiltoniana e a che cosa serva farlo in Meccanica Quantistica (relativamente alle equazioni di Schrodinger, autostati e autovalori...) Grazie a tutti Frapp

Ciao a tutti mi è statao sottoposto questo esercizio: Sia f : R → R una funzione derivabile tre volte e tale che f (e) = −1, f ′(e) = −2, f ′′(e) = 2, |f ′′′(x)| ≤ 2 ∀x. 1. Scrivere la formula di Taylor di f arrestata al secondo ordine e centrata in e; 2. maggiorare f nell’intervallo [0, 5]; 3. scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine in x0 = 1 di h(x) = f (x^3*e^x). Come lo avreste risolto? Io ho la seguente soluzione: Punto 1 1. P2(x; e) = −1 − 2(x − e) + (x − e)^2; Punto ...

Ciao! Qualcuno può aiutarmi con quest'esercizio? Grazie! Consegna: "Una lastra piana infinita è percorsa da una corrente superficiale di valore $J_S$. Ricavare l'espressione del campo d'induzione magnetica nello spazio intorno alla lastra.". Ecco, in questo problema, non ci ho capito niente! Inserisco la soluzione del Prof. e poi, se qualcuno può aiutarmi, ne parliamo... 1) Se la lastra è infinita, allora quale sarebbe lo "spazio intorno alla lastra"!? Dalla soluzione, mi ...

Chi mi può dare una mano a capire due cose? In grassetto le cose su cui non sono sicuro. L' obbiettivo è di dimostrare la class number formula. Ovvero che \[ h(d) = \frac{w \sqrt{ \left|d \right|}}{2 \pi } L(1,\chi_d) \] dove \( \chi_d(m) = \left( \frac{d}{m} \right) \) è il simolo di Kronecker e \( w = 6 \) se \(d=-3 \), \( w=4 \) se \(d=-4 \) e \( w=2 \) se \(d < -4 \). 1) Dimostra che \[ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{ \substack{ n \leq N \\ (n,d)=1 } } R_d(n) = w \frac{ ...

Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con un esercizio che dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma mi crea qualche piccolo problema. Siano $a,b \in \mathbb{Z}$ con $b$ positivo e $(a,b)=1$. Dimostrare che $a$ è un residuo quadratico modulo $b$ se, e solo se, è un residuo quadratico modulo $p$ per ogni primo $p$ che divide $b$. Inoltre se $b \equiv_4 0$ Allora 1) $a \equiv_4 1$ se ...

devo scrivere l'energia cinetica di questo sistema: in cui due punti materiali di massa m ed M sono collegati da una molla. m è vincolato a spostarsi sulla retta, invece M è fisso a distanza l. sinteticamente, il prof scrive $ K=1/2m(dot(x)_m^2+dot(y)_m^2)+1/2Ml^2dot(theta)^2 $ in cui il secondo termine è l'energia cinetica rotazionale di M. $ K=1/2M(dot(x)_M^2+dot(y)_M^2)=0 $ perchè M è fisso. il mio dubbio è: perchè non si scrive anche l'energia cinetica rotazionale di m?

I due lunghi fili rettilinei visti in sezione sono percorsi dalle correnti i1= 30 mA e i2= 40 mA entrambe uscenti dal piano della figura. I due fili sono equidistanti dall’origine degli assi O, dove si misura un campo magnetico risultante B. A quale valore occorre portare i1 per ruotare il vettore B di 20° in senso orario? Il filo i1 si trova sull'asse y e i2 su quello x. Effettuando il prodotto vettoriale, per Biot-Savart, tra ds(direzione della corrente) ed r ( distanza dei fili ...

Sia $A:RR^n->M_n(RR)$ una funzione continua e limitata. Considero $f(t,y)="det"(I+tA(y))$. Per $t=0$ ho che $f(0,y)=1>0$ per ogni $y \in RR^n$. Vorrei mostrare che esiste $\epsilon \in RR^+$ tale che $\f(t,y)>0$ per ogni $y \in RR^n$ per ogni $t \in [0,\epsilon]$. Avevo pensato al teorema della permanenza del segno ma il fatto che $f$ dipenda anche da $y$ oltre che da $t$ mi sta facendo confusione. Come posso procedere?

Salve. Sto tentando di risolvere un esercizio di Fisica II. Una lastra di dielettrico $epsilon_r=4$ si muove con velocità $v$ ed è immersa in un campo magnetico uniforme $B$, entrante (perpendicolarmente) rispetto alla superficie laterale della lastra (come in figura). Calcolare $sigma_p$ densità superficiale delle cariche di polarizzazione. [Soluzione $sigma_p=5*10^(-11) C/(m^2)$] (spero che il disegno sia chiaro, l'ho fatto con Word) Ho provato ad ...

Devo scrivere la Lagrangiana del seguente sistema: in cui P e Q hanno la stessa massa m e sono collegate da un'asta senza massa di lunghezza 2a. Il centro C dell'asta è vincolato sulla curva $ y=-x^2/l $ e collegato ad O tramite una molla. Io ho scritto, per il calcolo dell'energia cinetica: $ { ( x_P=s-acostheta ),( y_P=-s^2/l-asintheta ):} $ e $ { ( x_Q=s+acostheta ),( y_P=-s^2/l+asintheta ):} $ . Invece, per l'energia potenziale: $ V=mgy_P+mgy_Q+k/2d^2 $ in cui $ d^2 $ è l'elongazione della molla e data dalla distanza tra i ...

Mi pare, se ben ricordo, che nella Teoria degli Insiemi valga il seguente risultato: se A è un un insieme infinito, allora A e AxA hanno la stessa cardinalità. Se ciò è vero quindi esiste una biiezione tra A e AxA. Domanda: è vero ciò ? E se è vero, qualcuno può mostrarmi almeno una traccia di dimostrazione ?