Ruotare un operatore
Ciao a tuttu!
Vado subito al sodo, mi viene chiesto di dimostrare che per un generico vettore di operatori $\textb{A}$ valgono le seguenti relazioni di commutazione: $[L_i,A_j]=i \h \epsilon_{ijk}A_k$ dove $L_i$ sono le componenti del momento angolare.
Io so che, operando una rotazione sul vettore $A_j$ ottengo il vettore $A_j'=A_j+\theta\epsilon_{jik}\hat{n_i}A_k$ ed il genratore delle rotazioni è l'operatore: $U =(\mathbb{1}- \frac{i}{\h} \theta L \cdot n)$, applicandolo all'operatore $A_j$ ottengo:
\[ A_j'=(U^*)^TA_jU=A_j+\frac{i}{h}\theta L_in_iO_j-\frac{i}{h}\theta O_jL_in_i+\frac{\theta^2}{h^2}L_in_iO_jL_in_i \]
Da qui la dimostrazione risulta facile se solo sapessi come mai l'ultimo termine si annulla (cosa che deve per forza essere per rendere vera la relazione di commutazione), qualcuno può chiarirmelo?
Grazie mille in anticipo!
P.S. tutte le $h$ in verità sono "tagliate" ma per qualche ragione il mio editor non prende il comando \hbar, sorry
Vado subito al sodo, mi viene chiesto di dimostrare che per un generico vettore di operatori $\textb{A}$ valgono le seguenti relazioni di commutazione: $[L_i,A_j]=i \h \epsilon_{ijk}A_k$ dove $L_i$ sono le componenti del momento angolare.
Io so che, operando una rotazione sul vettore $A_j$ ottengo il vettore $A_j'=A_j+\theta\epsilon_{jik}\hat{n_i}A_k$ ed il genratore delle rotazioni è l'operatore: $U =(\mathbb{1}- \frac{i}{\h} \theta L \cdot n)$, applicandolo all'operatore $A_j$ ottengo:
\[ A_j'=(U^*)^TA_jU=A_j+\frac{i}{h}\theta L_in_iO_j-\frac{i}{h}\theta O_jL_in_i+\frac{\theta^2}{h^2}L_in_iO_jL_in_i \]
Da qui la dimostrazione risulta facile se solo sapessi come mai l'ultimo termine si annulla (cosa che deve per forza essere per rendere vera la relazione di commutazione), qualcuno può chiarirmelo?
Grazie mille in anticipo!
P.S. tutte le $h$ in verità sono "tagliate" ma per qualche ragione il mio editor non prende il comando \hbar, sorry
Risposte
Se espandi in quel modo $U$ stai guardando le cose al prim'ordine in $\vartheta$, quel pezzo è di ordine 2
Non credo di aver capito bene, quindi posso trascurare quel termine come se fosse un "o-piccolo"? In effetti $\theta^2=o(\theta)$
Quello che tu scrivi non è l'operatore che opera la traslazioni, è la sua espansione al primo ordine in $\theta$. Se fai le cose al primo ordine poi devi buttare via tutto ciò che è di ordine più grande.
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