Numero delle classi di un campo di numeri
Ciao a tutti,
Anche oggi ho un problema nella risoluzione di un esercizio di teoria dei numeri.
Devo dimostrare che il class number di $K=\mathbb[Q](\sqrt{5})$ è $1$.
Usando la “Minkowski bound” l’esercizio è ovvio, infatti dovrei trovare gli ideali $I$ Dell’anello $\O_{K}$ tali che
$$N(I) \leq \frac{n!}{n^n} (\frac{4}{\pi})^s \sqrt{|d_K|}=\frac{1}{4} \sqrt{5} < 2$$
Cioè solo $O_K$ stesso.
L’esercizio però chiede di non usare la “Minkowski bound” ma di usare
$M=(\frac{2}{\pi})^s\sqrt{|d_K|}$, per cui cerco gli ideali con norma minore uguale a 2. Escludendo il caso banale, mi servono gli ideali con norma 2, per cui gli ideali $I$ tali che $I$ divida l’ideale generato da $2$. Mi serve quindi conoscere il comportamento del primo 2. Usando il teorema che penso prenda il nome di “Dedekind-Kummer”, (il libro da cui studio lo dimostra nel caso generale e non nel caso di un campo di numeri, per cui non sono sicuro si chiami così) mi ritrovo a considerare il polinomio minimo di $\sqrt {5}$ in $\mathbb{F}_2[x]$, cioè
$$x^ 2-5 \equiv _2 x^ 2 -1 \equiv _2 (x+1)^ 2 $$
E di conseguenza
$$(2)=(2, 1+ \sqrt{5})^2.$$
Ora, per avere class number uguale ad 1, mi serve che $(2, 1+ \sqrt{5})$ sia un ideale principale. Se per assurdo
$$(\alpha)= (2, 1+ \sqrt{5}) $$
Con $\alpha \in O_K$, allora
$$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=2$$
Cioè esistono $a,b \in \mathbb{Z}$ tali che
$$\frac{a^2 - 5b^2 }{4}=2$$
Cioè
$$a²-5b^2 =8$$
Che non ha soluzione, in quanto i quadrati modulo 5 sono solo 0,1,4 mentre qui otterremmo
$$a ^2 \equiv_5 3.$$
È ovvio che io stia commettendo un errore nella seconda risoluzione, ma non capisco proprio quale sia questo errore. Ho provato anche con $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ ma mi ritrovo con lo stesso problema, di conseguenza non penso che sia un errore di conto ma proprio uno concettuale.
Grazie in anticipo a chiunque proverà ad aiutarmi
Anche oggi ho un problema nella risoluzione di un esercizio di teoria dei numeri.
Devo dimostrare che il class number di $K=\mathbb[Q](\sqrt{5})$ è $1$.
Usando la “Minkowski bound” l’esercizio è ovvio, infatti dovrei trovare gli ideali $I$ Dell’anello $\O_{K}$ tali che
$$N(I) \leq \frac{n!}{n^n} (\frac{4}{\pi})^s \sqrt{|d_K|}=\frac{1}{4} \sqrt{5} < 2$$
Cioè solo $O_K$ stesso.
L’esercizio però chiede di non usare la “Minkowski bound” ma di usare
$M=(\frac{2}{\pi})^s\sqrt{|d_K|}$, per cui cerco gli ideali con norma minore uguale a 2. Escludendo il caso banale, mi servono gli ideali con norma 2, per cui gli ideali $I$ tali che $I$ divida l’ideale generato da $2$. Mi serve quindi conoscere il comportamento del primo 2. Usando il teorema che penso prenda il nome di “Dedekind-Kummer”, (il libro da cui studio lo dimostra nel caso generale e non nel caso di un campo di numeri, per cui non sono sicuro si chiami così) mi ritrovo a considerare il polinomio minimo di $\sqrt {5}$ in $\mathbb{F}_2[x]$, cioè
$$x^ 2-5 \equiv _2 x^ 2 -1 \equiv _2 (x+1)^ 2 $$
E di conseguenza
$$(2)=(2, 1+ \sqrt{5})^2.$$
Ora, per avere class number uguale ad 1, mi serve che $(2, 1+ \sqrt{5})$ sia un ideale principale. Se per assurdo
$$(\alpha)= (2, 1+ \sqrt{5}) $$
Con $\alpha \in O_K$, allora
$$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=2$$
Cioè esistono $a,b \in \mathbb{Z}$ tali che
$$\frac{a^2 - 5b^2 }{4}=2$$
Cioè
$$a²-5b^2 =8$$
Che non ha soluzione, in quanto i quadrati modulo 5 sono solo 0,1,4 mentre qui otterremmo
$$a ^2 \equiv_5 3.$$
È ovvio che io stia commettendo un errore nella seconda risoluzione, ma non capisco proprio quale sia questo errore. Ho provato anche con $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ ma mi ritrovo con lo stesso problema, di conseguenza non penso che sia un errore di conto ma proprio uno concettuale.
Grazie in anticipo a chiunque proverà ad aiutarmi
Risposte
"broccolo99":
Mi serve quindi conoscere il comportamento del primo 2. Usando il teorema che penso prenda il nome di “Dedekind-Kummer”, (il libro da cui studio lo dimostra nel caso generale e non nel caso di un campo di numeri, per cui non sono sicuro si chiami così) mi ritrovo a considerare il polinomio minimo di $\sqrt {5}$ in $\mathbb{F}_2[x]$,
L'errore sta qua, perchè $\mathbb Z[\sqrt{5}]$ ha indice 2 in $\mathcal O_K$, e per usare Dedekind-Kummer col polinomio minimo di $\alpha$ rispetto ad un primo $p$ devi avere che $p$ non divide l'indice di \(\mathbb Z[\alpha]\) in $\mathcal O_K$. In questo caso puoi applicare Dedekind-Kummer con \(\alpha=(1+\sqrt{5})/2\).
Ah, grazie mille. Non avevo proprio fatto caso a questa cosa. Però ciò risolve il problema per $p=5$ in quanto
$5 \equiv_4 1$. Ma se considero $K=\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ il problema torna, infatti in questo caso
$$O_K=\mathbb{Z}[\sqrt{3}].$$
Usando la stessa argomentazione precedente, mi servono gli ideali $I$ con norma 2 e 3, tali numeri non dividono l'indice di $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ in $O_K$ e posso quindi usare Kummer-Dedekind. Ma già col solo 2 ho problemi, infatti dovrei ottenere
$$(2)=(2,1+\sqrt{3})^2$$
e per avere $h_K=1$ dovrei avere un elemento $\alpha $ tale che
$$(\alpha )= (2,1+\sqrt{3})$$
di conseguenza
$$N_{K/\mathbb{Q}[\sqrt{3}]}(\alpha)=a^2 - 3b^2=2$$
che non ha soluzione in quanto i quadrati modulo 3 sono 0 ed 1. Pertanto ricado anche qui in un assurdo che non capisco da dove parta.
$5 \equiv_4 1$. Ma se considero $K=\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ il problema torna, infatti in questo caso
$$O_K=\mathbb{Z}[\sqrt{3}].$$
Usando la stessa argomentazione precedente, mi servono gli ideali $I$ con norma 2 e 3, tali numeri non dividono l'indice di $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ in $O_K$ e posso quindi usare Kummer-Dedekind. Ma già col solo 2 ho problemi, infatti dovrei ottenere
$$(2)=(2,1+\sqrt{3})^2$$
e per avere $h_K=1$ dovrei avere un elemento $\alpha $ tale che
$$(\alpha )= (2,1+\sqrt{3})$$
di conseguenza
$$N_{K/\mathbb{Q}[\sqrt{3}]}(\alpha)=a^2 - 3b^2=2$$
che non ha soluzione in quanto i quadrati modulo 3 sono 0 ed 1. Pertanto ricado anche qui in un assurdo che non capisco da dove parta.
Se non c’è un elemento di norma $2$ cercane uno di norma $-2$…
ah caspita, avevo dimenticato per strada la norma, grazie mille. Ora mi sento un po' stupido ahahah
"broccolo99":
ah caspita, avevo dimenticato per strada la norma, grazie mille. Ora mi sento un po' stupido ahahah
Guarda, sapessi quante volte è capitato a me di dimenticarmi le unità per strada...
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