Matrice associata ad una applicazione lineare - Spiegazione Pagani Salsa
Buongiorno,
stavo leggendo "Analisi matematica 2" di Pagani-Salsa e mi sono imbattuto in una spiegazione della matrice associata ad una applicazione lineare che mi ha lasciato dei dubbi.
Il passaggio incriminato si può trovare nel capitolo 4 sezione 2.2, dove si fanno dei richiami di algebra lineare.
Riporto qui di seguito il ragionamento che gli autori seguono.
[nota][/nota]
Quello che mi turba di questo ragionamento è il fatto che nel finale si sostenga che le righe della matrice $\mathbf{A}$ siano i coefficienti dell'immagine dell'$i-$esimo vettore della base canonica.
Io ero convinto che fossero le colonne della matrice a rappresentare le immagini dei vettori della base canonica. A sostenere la mia tesi c'è il fatto che se l'applicazione fosse da $RR^n$ a $RR^m$, l'immagine del vettore della base canonica di $RR^n$ avrà sicuramente $m$ elementi, quindi non può essere la riga della matrice associata.
Il ragionamento degli autori per me ha assolutamente senso fino al passaggio dove la sommatoria viene sostituita dal prodotto matrice per vettore.
Assumo che sia io a perdermi qualcosa, ma non riesco a trovare cosa.
Ringrazio i valorosi che sono giunti fino alla fine,
Saluti
stavo leggendo "Analisi matematica 2" di Pagani-Salsa e mi sono imbattuto in una spiegazione della matrice associata ad una applicazione lineare che mi ha lasciato dei dubbi.
Il passaggio incriminato si può trovare nel capitolo 4 sezione 2.2, dove si fanno dei richiami di algebra lineare.
Riporto qui di seguito il ragionamento che gli autori seguono.
[nota][/nota]
Sia $A: RR^n \to RR^n$ un'applicazione lineare. La rappresentazione di $A$ per mezzo di una matrice dipende dalla base scelta in $RR^n$. Sia $ \mathbf{e}^1, ...,\mathbf{e}^n$ una base di $RR^n$; i vettori trasformati \[\mathbf{\xi}^i = A(\mathbf{e}^i) \;\;\;\;\;\; i=1,2,...,n \] saranno esprimibili come combinazioni lineare degli $\mathbf{e}^i$ per mezzo di certi coefficienti $a_{ij}$: \[ \mathbf{\xi}^i = \sum_{j=1}^n a_{ij}\mathbf{e}^j.\] Questi coefficienti determinano univocamente l'applicazione $A$; infatti, preso un qualunque vettore $\mathbf{x}\in RR^n$, \[ \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n c_{i}\mathbf{e}^i,\] risulta \[A(\mathbf{x}) = A(\sum_{i=1}^n c_{i}\mathbf{e}^i)=\sum_{i=1}^n c_{i}A(\mathbf{e}^i)=\sum_{i,j=1}^n c_{i}a_{ij}\mathbf{e}^j.\] Detta $\mathbf{A}$ la matrice dei coefficienti, l'espressione precedente si scrive \[A(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}.\] Diremo perciò che la matrice $\mathbf{A}$ rappresenta l'applicazione $A$ nella base $ \mathbf{e}^1, ...,\mathbf{e}^n$. Si noti che la $i-$ esima riga di $\mathbf{A}$ si ottine calcolando $A(\mathbf{e}^i)$ ed esprimendo questo vettore come combinazione lineare di $ \mathbf{e}^1, ...,\mathbf{e}^n$; i coefficienti della combinazione sono gli elementi della $i-$esima riga di $\mathbf{A}$
Quello che mi turba di questo ragionamento è il fatto che nel finale si sostenga che le righe della matrice $\mathbf{A}$ siano i coefficienti dell'immagine dell'$i-$esimo vettore della base canonica.
Io ero convinto che fossero le colonne della matrice a rappresentare le immagini dei vettori della base canonica. A sostenere la mia tesi c'è il fatto che se l'applicazione fosse da $RR^n$ a $RR^m$, l'immagine del vettore della base canonica di $RR^n$ avrà sicuramente $m$ elementi, quindi non può essere la riga della matrice associata.
Il ragionamento degli autori per me ha assolutamente senso fino al passaggio dove la sommatoria viene sostituita dal prodotto matrice per vettore.
Assumo che sia io a perdermi qualcosa, ma non riesco a trovare cosa.
Ringrazio i valorosi che sono giunti fino alla fine,
Saluti
Risposte
Secondo me è solo un typo. Fai un esempio e vedi se coincide con quanto dici tu o con quanto dice il libro. Basta questo per dirimere la controversia.
Dipende dalla notazione destra:
\[
\mathbf{A}:\underline{v}\in\mathbb{R}^n\to\underline{v}\times A\in\mathbb{R}^n
\]
oppure dalla notazione sinistra:
\[
\mathbf{A}:\underline{v}\in\mathbb{R}^n\to\left(A\times\underline{v}^T\right)^T\in\mathbb{R}^n.
\]
Pensaci un po' su...
\[
\mathbf{A}:\underline{v}\in\mathbb{R}^n\to\underline{v}\times A\in\mathbb{R}^n
\]
oppure dalla notazione sinistra:
\[
\mathbf{A}:\underline{v}\in\mathbb{R}^n\to\left(A\times\underline{v}^T\right)^T\in\mathbb{R}^n.
\]
Pensaci un po' su...
Vi ringrazio per gli spunti.
Provo a fare un esempio con una applicazione lineare da $RR^2 \to RR^2$ definita come $A(x_1,x_2) = (2x_1, -x_1+3x_2)$. Prendiamo come base la base canonica di $RR^2$, dunque $\mathbf{e}^1 = (1,0)$ e $\mathbf{e}^2 = (0,1)$,
Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica: \[\mathbf{\xi}^1 = A(\mathbf{e}^1) = A(1,0) = (2, -1)\] \[\mathbf{\xi}^2 = A(\mathbf{e}^2) = A(0,1) = (0, 3)\]
Dunque, seguendo la notazione proposta dagli autori, la matrice $\mathbf{A}$ diventa: \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\]
Se valesse $A(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}$, assumendo che il prodotto matriciale sia quello riga per colonna, provando ad ottenere l'immagine di $\mathbf{e}^1$ otterrei \[\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
0
\end{pmatrix}\neq\mathbf{\xi}^1\].
Se la definizione fosse invece $A(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{A}$, il calcolo tornerebbe.
Dunque penso che mi serva una spiegazione più prolissa di quanto j18eos ha scritto. Le mie reminiscenze di sinistra e destra si collegano solo agli autovalori, che possono essere sinistri e destri, ma è un'altra storia. Mi stai dicendo che $\mathbf{Ax}$ in realtà vuol dire $\mathbf{x}^T\mathbf{A}$? (non credo volessi dire questo, ma è per stuzzicare una tua spiegazione)
Provo a fare un esempio con una applicazione lineare da $RR^2 \to RR^2$ definita come $A(x_1,x_2) = (2x_1, -x_1+3x_2)$. Prendiamo come base la base canonica di $RR^2$, dunque $\mathbf{e}^1 = (1,0)$ e $\mathbf{e}^2 = (0,1)$,
Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica: \[\mathbf{\xi}^1 = A(\mathbf{e}^1) = A(1,0) = (2, -1)\] \[\mathbf{\xi}^2 = A(\mathbf{e}^2) = A(0,1) = (0, 3)\]
Dunque, seguendo la notazione proposta dagli autori, la matrice $\mathbf{A}$ diventa: \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\]
Se valesse $A(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}$, assumendo che il prodotto matriciale sia quello riga per colonna, provando ad ottenere l'immagine di $\mathbf{e}^1$ otterrei \[\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
0
\end{pmatrix}\neq\mathbf{\xi}^1\].
Se la definizione fosse invece $A(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{A}$, il calcolo tornerebbe.
Dunque penso che mi serva una spiegazione più prolissa di quanto j18eos ha scritto. Le mie reminiscenze di sinistra e destra si collegano solo agli autovalori, che possono essere sinistri e destri, ma è un'altra storia. Mi stai dicendo che $\mathbf{Ax}$ in realtà vuol dire $\mathbf{x}^T\mathbf{A}$? (non credo volessi dire questo, ma è per stuzzicare una tua spiegazione)
Attenzione: i vettori di \(\mathbb{R}^n\) sono i vettori con \(1\) riga ed \(n\) colonne, e non il viceversa. 
È vero che normalmente si confondono i vettori riga e colonna nelle notazioni, ma poi bisogna ricordarsene quando si costruiscono le rappresentazioni matriciali delle applicazioni lineari.
È vero che normalmente si confondono i vettori riga e colonna nelle notazioni, ma poi bisogna ricordarsene quando si costruiscono le rappresentazioni matriciali delle applicazioni lineari.
Mi accingo a fare un'altra citazione del buon Pagani-Salsa, questa volta di "Analisi matematica 1". Ritengo che le loro parole spieghino meglio quello che ho in testa, quando le capisco le parole... 
Basandomi su queste parole, io quando leggo $\mathbf{Ax}$ immagino il vettore $\mathbf{x}$ come vettore colonna.
Comunque il problema concettuale penso sia stato isolato.
Potresti indicarmi un riferimento bibliografico dove si precisa quanto dici?
Grazie mille
In generale penseremo i vettori scritti come vettori riga. D'altra parte se $\mathbf{x}$ è un vettore di $RR^n$ ed $\mathbf{M}$ una matrice $m$x$n$, nel prodotto (righe per colonne) $\mathbf{Mx}$, $\mathbf{x}$ è pensato come vettore colonna.
Basandomi su queste parole, io quando leggo $\mathbf{Ax}$ immagino il vettore $\mathbf{x}$ come vettore colonna.
Comunque il problema concettuale penso sia stato isolato.
Potresti indicarmi un riferimento bibliografico dove si precisa quanto dici?
Grazie mille
Quindi, secondo le notazioni di Pagani & Salsa, \(M\times\underline{x}\) è un vettore colonna: giusto?
Per come interpreto io, sì, di dimensione $m$x$1$
Segnalo la risoluzione del problema.
Ho deciso di risalire direttamente alla fonte, e ho scritto al professor Salsa, che molto gentilmente mi ha risposto.
Come suggerito da dissonance, è semplicemente un typo, che non è stato mai corretto.
Grazie per le risposte
Ho deciso di risalire direttamente alla fonte, e ho scritto al professor Salsa, che molto gentilmente mi ha risposto.
Come suggerito da dissonance, è semplicemente un typo, che non è stato mai corretto.
Grazie per le risposte
Ah, va bene;
io purtroppo sono fuori per lavoro, e non ho avuto più il tempo di risponderti.
Meno male che hai risolto!
io purtroppo sono fuori per lavoro, e non ho avuto più il tempo di risponderti.
Meno male che hai risolto!
Esatto.
Giá a questo punto ti potevi accorgere che era solo un typo. Non ti incartare troppo su queste sottigliezze, vai al sodo.
"DanBijo":
Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica: \[\mathbf{\xi}^1 = A(\mathbf{e}^1) = A(1,0) = (2, -1)\] \[\mathbf{\xi}^2 = A(\mathbf{e}^2) = A(0,1) = (0, 3)\]
Dunque, seguendo la notazione proposta dagli autori, la matrice $\mathbf{A}$ diventa: \[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 & 3
\end{pmatrix}\]
Giá a questo punto ti potevi accorgere che era solo un typo. Non ti incartare troppo su queste sottigliezze, vai al sodo.
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