Discriminante campo di numeri
Ciao a tutti, chiedo aiuto per un problema che proprio non riesco a risolvere sui discriminanti dei campi di numeri.
In particolare non mi è chiaro come utilizzare le estensioni intermedie per calcolare i discriminanti.
So dell'esistenza dell'equazione
$$d(A)=^ 2 d(B)$$
se $A$ e $B$ sono due $\mathbb{Z}$-moduli finitamente generati tali che $A \subseteq B$, ci sono però volte in cui non riesco proprio ad utilizzarla. Faccio un esempio concreto:
Siano $m,n$ interi square free e si considerino i campi $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$,$\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$,$\mathbb{Q}[\sqrt{nm}]$ e $\mathbb{Q}[\sqrt{m},\sqrt{n}]$ (vorrei fare il reticolo ma non ho ancora imparato ad implementare tikz sul forum). Si calcoli
$$d(1,\sqrt(m),\sqrt(n),\sqrt(mn))$$
attraverso i discriminanti $d(1,\sqrt{n})$ e $d(1,sqrt{m})$. Cioè non "di forza bruta".
Oppure l'altro esercizio su cui mi blocco provando a non andare di forza bruta è:
Dati due primi distinti $p$ e $q$, si calcoli il discriminante di $\mathbb{Q}[\sqrt{p},\sqrt{q}]$.
In genere quindi vi chiedo se ci sono altre formule "semplici" che leghino i discriminanti delle diverse estensioni oppure delle semplici proprietà sul discriminante che mi stanno sfuggendo.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi
In particolare non mi è chiaro come utilizzare le estensioni intermedie per calcolare i discriminanti.
So dell'esistenza dell'equazione
$$d(A)=^ 2 d(B)$$
se $A$ e $B$ sono due $\mathbb{Z}$-moduli finitamente generati tali che $A \subseteq B$, ci sono però volte in cui non riesco proprio ad utilizzarla. Faccio un esempio concreto:
Siano $m,n$ interi square free e si considerino i campi $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$,$\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$,$\mathbb{Q}[\sqrt{nm}]$ e $\mathbb{Q}[\sqrt{m},\sqrt{n}]$ (vorrei fare il reticolo ma non ho ancora imparato ad implementare tikz sul forum). Si calcoli
$$d(1,\sqrt(m),\sqrt(n),\sqrt(mn))$$
attraverso i discriminanti $d(1,\sqrt{n})$ e $d(1,sqrt{m})$. Cioè non "di forza bruta".
Oppure l'altro esercizio su cui mi blocco provando a non andare di forza bruta è:
Dati due primi distinti $p$ e $q$, si calcoli il discriminante di $\mathbb{Q}[\sqrt{p},\sqrt{q}]$.
In genere quindi vi chiedo se ci sono altre formule "semplici" che leghino i discriminanti delle diverse estensioni oppure delle semplici proprietà sul discriminante che mi stanno sfuggendo.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi
Risposte
Prova a vedere se questa cosa ti dice qualcosa
Sia \( A \) un anello di Dedekind, con campo delle frazioni \(K\). Siano inoltre \(L_1,L_2 \subset \overline{K} \) due estensioni di Galois finite di \(K\) con la proprietà che \( L_1 \cap L_2 = K \), sia inoltre \(n_1 = [ L_1 : K] \) e \( n_2 = [L_2 : K] \). Per \(i=1,2 \) sia \(B_i\) la chiusura intera di \(A\) in \(L_i\) e sia
\[ z_1^{(i)}, \ldots , z_{n_i}^{(i)} \in B_i \]
una \(A\)-base di \(B_i\). Sia inoltre
\[ d_i = \operatorname{disc}_{L_i/K}( z_1^{(i)}, \ldots , z_{n_i}^{(i)} ) \in A \]
assumi che \(d_1, d_2 \) siano coprimi (come ideali in \(A\)).
a) Sia \( \beta_1 , \ldots, \beta_{n_2} \in L_1 \) tale che
\[ \beta_1 z_{1}^{(2)} + \ldots , \beta_{n_2} z_{n_2}^{(2) } \in L_1L_2 = K(L_1,L_2) \]
un elemento intero su \(A\). Dimostra che \(d_2 \beta_1 + \ldots + d_2 \beta_{n_2} \) è allora un intero su \(A\).
b) Deduci che l'insieme
\[ \mathcal{B} = \{ z_{j_1}^{(1)} z_{j_2}^{(2)} : 1 \leq j_i \leq n_i \} \]
forma una \(A\)-base per la chiusura integrale di \(A\) in \(L_1L_2 \)
c) Dimostra dunque che
\[ \operatorname{disc}_{L_1L_2/K}(\mathcal{B}) = d_1^{n_2} d_2^{n_1} \]
Prova ad applicare questo risultato (e se vuoi dimostralo) al tuo esercizio.
Edit:
Credo che (ma controlla!!) se \( \operatorname{gcd}(d_1,d_2) = g \) allora esce fuori un fattore
\[ \operatorname{disc}_{L_1L_2/K}(\mathcal{B}) = g^2 d_1^{n_2} d_2^{n_1} \]
Sia \( A \) un anello di Dedekind, con campo delle frazioni \(K\). Siano inoltre \(L_1,L_2 \subset \overline{K} \) due estensioni di Galois finite di \(K\) con la proprietà che \( L_1 \cap L_2 = K \), sia inoltre \(n_1 = [ L_1 : K] \) e \( n_2 = [L_2 : K] \). Per \(i=1,2 \) sia \(B_i\) la chiusura intera di \(A\) in \(L_i\) e sia
\[ z_1^{(i)}, \ldots , z_{n_i}^{(i)} \in B_i \]
una \(A\)-base di \(B_i\). Sia inoltre
\[ d_i = \operatorname{disc}_{L_i/K}( z_1^{(i)}, \ldots , z_{n_i}^{(i)} ) \in A \]
assumi che \(d_1, d_2 \) siano coprimi (come ideali in \(A\)).
a) Sia \( \beta_1 , \ldots, \beta_{n_2} \in L_1 \) tale che
\[ \beta_1 z_{1}^{(2)} + \ldots , \beta_{n_2} z_{n_2}^{(2) } \in L_1L_2 = K(L_1,L_2) \]
un elemento intero su \(A\). Dimostra che \(d_2 \beta_1 + \ldots + d_2 \beta_{n_2} \) è allora un intero su \(A\).
b) Deduci che l'insieme
\[ \mathcal{B} = \{ z_{j_1}^{(1)} z_{j_2}^{(2)} : 1 \leq j_i \leq n_i \} \]
forma una \(A\)-base per la chiusura integrale di \(A\) in \(L_1L_2 \)
c) Dimostra dunque che
\[ \operatorname{disc}_{L_1L_2/K}(\mathcal{B}) = d_1^{n_2} d_2^{n_1} \]
Prova ad applicare questo risultato (e se vuoi dimostralo) al tuo esercizio.
Edit:
Credo che (ma controlla!!) se \( \operatorname{gcd}(d_1,d_2) = g \) allora esce fuori un fattore
\[ \operatorname{disc}_{L_1L_2/K}(\mathcal{B}) = g^2 d_1^{n_2} d_2^{n_1} \]
Mado è vero, avevo visto questo teorema sul Neukirch ma non gli avevo dato la giusta importanza. Ora mi è più chiara la sua portata e la sua importanza, grazie mille. Devo ancora controllare il caso in cui i discriminanti non siano primi fra di loro, però è comunque un punto di partenza molto interessante.
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