Analisi matematica di base

Ho la traccia: "Individuare e classificare i punti stazionari della funzione $ f(x,y)=1/(1+x^2+y^2) $. Trovare gli eventuali estremi assoluti di f nell'insieme $ T ={(x,y)|x^2+y^2-2x-3>=0} $." Ho trovato prima di tutto un punto di massimo in (0,0) ponendo $ grad f=0 $. $ { ( f_x=(-2x)/(x^2+y^2+1)^2=0 ),( f_y=(-2y)/(x^2+y^2+1)^2=0 ):} $ $ f_(x,x)=(-2(x^2+y^2+1)+8x)/(x^2+y^2+1)^3 $ $ f_(x,y)=f_(y,x)=(8y)/(x^2+y^2+1)^3 $ $ f_(y,y)=(-2(x^2+y^2+1)+8y)/(x^2+y^2+1)^3 $ $ det| ( -2 , 0 ),( 0 , -2 ) | =4 $ (0,0) punto di massimo relativo. Successivamente ho studiato il luogo dei punti tali che $x^2+y^2-2x-3=0$, cioè ...

Devo trovare i punti critici di: $ f(x,y)=y^2-3yarctan(x^2)+2(arctan(x^2))^2 $ E poi determinare gli estremi assoluti di f nell'insieme $ G={(x,y)in R^2|0<=x<=1, arctan(x^2)<=y<=2arctan(x^2)} $. Ho trovato un punto critico in (0,0), anche se l'hessiano risulta nullo. Volevo studiare il comportamento della funzione lungo $ y=+-x $, ma ottengo una derivata difficile da studiare. Studiando la positività di f invece ottengo un punto di sella (?) quando il calcolatore dice che non ce ne sono. Avete qualche suggerimento su come altro potrei ...

Potete dirmi se ci sono errori? Devo determinare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y) = 3x^4-4x^2y+y^2 $ nell'insieme $ G={(x,y)in R^2: x^2<=y<=1} $. Divido l'insieme in due parti: i punti sopra la parabola (D1) e i punti lungo y=1, tali però che -1

Buongiorno, Purtroppo mi trovo costretto a chiedere ulteriori informazioni riguardo un argomento. Sto studiando la convergenza degli integrali. Finora non avevo avuto problemi nella risoluzione di esercizi, ma oggi ho trovato un esercizio su cui mi son bloccato per il limite. L'esercizio in questione è questo: $ int_(0)^(1) ln(1+4x^4)/x^2 dx $ Ho calcolato le CE che risultano essere: $ AA x in R - {0} $ Giunto al calcolo del limite, io ottengo una forma indeterminata 0/0, che anche se provo a risolverlo, ...

Salve. Sto studiando gli integrali doppi e ragionando su qualche esercizio sono sorte delle domande.. Ad esempio... Sia $ E={(x,y)in R^2 : 1<=x^2+y^2<=4, 0<=y<=2-x} $ , calcolare $ I=int_(E)^() xdV_2(x,y) $ . In questo caso ho disegnato E che mi risulta: A questo punto mi chiedo, non potrei dividere l'integrazione per $x<0$ (considerando un quarto di circonferenza di raggio 2 a cui sottraggo un quarto di circonferenza di raggio 1) e $x>0$ (considerando il quadrato di spigoli ...

Ho due esercizi molto simili sul calcolo della retta tangente ad una curva con il teorema del Dini. Potete dirmi se ho sbagliato qualcosa? 1) $ f(x,y)=x(x-1)^2+2xy^2-x $ La curva ha equazione $ f(x,y)=f(1, -sqrt6/4) $. Devo trovare l'equazione della retta tangente nel punto $ P (1, -sqrt6/4) $. Svolgimento: $ F(x,y)=f(x,y)-f(1, -sqrt6/4) $ F è differenziabile perché ha derivate parziali continue nel punto ( $ F_x=-1/4 $ , $ F_y=-sqrt(6) $. Il teorema del Dini ci assicura che esista una funzione y=h(x) tale ...

Più che una domanda di comprensione, è una domanda "storica", la definizione che mi hanno dato in corso di O-grande è la seguente Una funzione \( f(x) \) è un \( O\)-grande di \( g(x) \) per \( x \to x_0 \) se esiste una costante \( C \) e un intorno \(U_{x_0} \) tale che \( \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq C \begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix} \), \( \forall x \in U_{x_0} \). Ma leggo spesso (in internet a dire il vero) che ogni tanto si usa un'altra definizione ovvero quella tramite ...

Buonasera a tutti, ho un problema con questo esercizio sugli integrali. L'esercizio chiede: Si considerino le funzioni $f(x)=\pisin(x)$ e $g(x)=2x$. $f$ e $g$ delimitano una regione del piano nel primo quadrante. Quanto vale l'area di tale regione? Allora da quel che ho capito ciò che devo fare per svolgere questo esercizio è trovare i due estremi di integrazione. Una volta trovati, devo scrivere l'antiderivata della prima funzione e sottrarre ...

Buongiorno non riesco a risolvere l'equazione \(\displaystyle (z+1)^4=(1-z)^4 \), z complesso. Ho provato a trovare una soluzione "grafica" scrivendo \(\displaystyle (1-z)=(-(z-1)) \) quindi \(\displaystyle (z+1)^4=(-(z-1))^4 \) così da avere 2 numeri z traslati di +1 e -1, opposti e elevati alla 4. Ho disegnato i 2 numeri con la rappresentazione polare, ho disegnato 2 cerchi di raggio uguale ho traslato uno a dx e l'altro a sx di 1, quindi ho trovato un solo punto in comune che è ...

Buonasera a tutti, risolvendo un tema d'esame in vista della prova di Analisi 2 mi sono imbattutto in un esercizio che mi da il grattacapo: "Determinare i massimi e i minimi vincolati della funzione $ f(x,y)=1/(|xy|+1) $ con vincolo espresso da: $ |x|<=1 $ e $ |y|<=1 $ utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (in maniera opportuna)". Sì, dice proprio in "utilizzando in maniera opportuna". Il vincolo è un quadrato di lato due, ovviamente regolare a tratti. Nel punto ...

Stavo risolvendo questa equazione: $ y'''-2y''+y'=1+sinx $ $ y=C_1e^x+xC_2e^x+cosx/2 + ...$ L'altra soluzione particolare da aggiungere è quella data da: $ y'''-2y''+y'=1 $ E trovo $ y_1=x^0 e^(0x) Q(x) $ con Q(x) dello stesso grado di 1, quindi lo chiamo A. $ y_1 = A $ Normalmente trovo il valore di A calcolando le derivate di $y_1$ fino all'ordine dell'equazione e poi sostituendole nella stessa. In questo caso tutte le derivate sono zero, quindi ho: $ y'''-2y''+y'=1 -> 0-0+0= 1 $ e ...

Scusate sto studiando le derivate che bene o male ho capito, ma c'è un esercizio che proprio non ho idea di come si faccia. Qualcuno mi può aiutare? L'esercizio è il seguente: Si approssimi la funzione definita da x→ tan(4*x)+x4 con la sua retta tangente in x0=0.6. Qual è il valore approssimato (tramite la retta tangente) di tan(4*x)+x4 in x = x0+h=0.68? Non so proprio da dove iniziare.

Stavo ripassando gli $o$ piccolo da una lezione del prof. Gobbino su youtube: https://www.youtube.com/watch?v=RbIefDn0wkE al min 4:54 si dice che è vera questa espressione: $sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$ Due cose non capisco, innanzitutto qual è il valore a cui tende x è $x_0$ e viene dato per scontato? Se seguo la definizione del prof. $f(x) = o(g(x))$ dove $\lim_{x \to x_0} \omega(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x)=0$ ottengo $sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$ $f(x)=sin(x)-x+1/6x^3$ $g(x)=x^3$ per cui $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = \lim_{x \to x_0} sin(x)/x^3-x/x^3+1/6=\lim_{x \to x_0} sin(x)/x (1/x^2)-1/x^2+1/6=1/6$ Ma non mi torna zero per cui ...

Come si risolve questa serie? Studiare al variare di x: ∑ per n che va da 1 a infinito di $ 1/(ln(x)^(ln(n)) $

Non mi trovo con la.soluzione di questo sistema di Cauchy e volevo chiedervi una mano. $ { ( 2y''=e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( 2y''y'=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( (d(y')^2)/dx=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( (y')^2=int_()^() y'e^y dx ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( (y')^2=int_()^() e^y dy ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( (y')^2=e^y+C ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( y'=sqrt(e^y+C) ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ $ { ( dy/sqrt(e^y+C) =1dx),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ Non so se qui l'integrale in dy sia corretto. Va bene includere la costante C? In quel caso verrebbe: $ { ( ln(sqrt(e^y+1)-1)-ln(sqrt(e^y+1)+1) =x+C_2),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $ E dovrei fare molti passaggi per ricavare y.

Controllando la soluzione di un semplice esercizio di analisi 2 riguardante una successione di funzioni: $ n^2/ (x^4+3n^2) $ mi sono accorto che il mio professore dice che questa converge uniformemente ad $1/3$ solo negli intervalli del tipo $[-A,A]$ con $A$ costante positiva. Perché non in intervalli $[a,b]$? Sono arrivato a questo risultato maggiorando l'estremo superiore della differenza posta $<epsilon $ nella definizione di convergenza ...

Ciao a tutti ho da un po’ di tempo un dubbio riguardante le serie di Taylor e i loro sviluppi. Studiando la teoria nel mio libro di testo si passa dalle serie di potenze in generale a definire le serie di Taylor e le loro proprietà. Quindi in particolare a partire da una generica funzione f(x) se ne vuole studiare l’eventuale sviluppabilità in serie di Taylor e la relativa serie centrata in un punto $x_0$. Per esempio prendiamo $f(x)=1/(1-x)$ so che corrisponde alla serie ...

La domanda è già inclusa nel titolo, ma la commento un pochino. Ricordando il teorema di Darboux che dice che la funzioni che sono derivate di altre funzioni mandano connessi in connessi, può venir naturale chiedersi se vale anche una qualche versione multidimensionale di questo teorema, io ho pensato che la formulazione più interessante sia quella del titolo, ma magari ce ne potrebbero essere anche altre. Ci ho anche pensato un pochino ma l'unica cosa che mi è venuta in mente è che i gradienti ...

Quando il termine noto di un'equazione differenziale è formato solo da un'esponenziale, qual è il grado del polinomio che devo sostituire nella formula per la soluzione particolare? Ho questo esercizio, di cui ho già trovato la soluzione omogenea: $ y'' +3y'+2y=1/(1+e^x) $ Ho pensato di riscrivere $ 1/(1+e^x) $ come $ e^(-x) e^x/(1+e^x) $ e considerare $ alpha = -1 $ come esponente per e nella formula: $ y=x^me^(alphax)[P(x)cosbeta x+Q(x)senbetax] $ x è elevata ad 1 (molteplicità della soluzione) e $ beta = 0 $. ...

Buongiorno a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a svolgere, più che altro non no so come manipolare il denominatore affinché possa applicare la proprietà richiesta dal libro. Si tratta di un integrale con denominatore di secondo grado con delta positivo, va applicato il metodo delle funzioni razionali fratte ,ma fattorizzando in uno dei modi che mi viene in mente(x(x+3) il risultato non torna. Qualcuno mi potrebbe illuminare spiegandomi come bisogna a ragionare in ...