Convergenza successione e sottosuccessioni
Sia $A \sube RR^n$ un insieme compatto e sia $(a_n)_{n\inNN}$ una successione di elmenti di $A$.
Siccome $A$ è compatto esiste una sottosuccessione convergente $(a_{n_k})_{k\inNN}$ della successione $(a_n)_{n\inNN}$, sia $\bar a = lim_{k->oo}a_{n_k}$.
Ora suppongo di sapere che qualunque altra sottosuccessione convergente di $(a_n)_{n\inNN}$ converga ad $\bar a$.
Posso dedurre che anche la successione $(a_n)_{n\inNN}$ converge ad $\bar a$?
Certamente $(a_n)_{n\inNN}$ non può convergere da un elemento diverso da $\bar a$, ma potrebbe non convergere?
Siccome $A$ è compatto esiste una sottosuccessione convergente $(a_{n_k})_{k\inNN}$ della successione $(a_n)_{n\inNN}$, sia $\bar a = lim_{k->oo}a_{n_k}$.
Ora suppongo di sapere che qualunque altra sottosuccessione convergente di $(a_n)_{n\inNN}$ converga ad $\bar a$.
Posso dedurre che anche la successione $(a_n)_{n\inNN}$ converge ad $\bar a$?
Certamente $(a_n)_{n\inNN}$ non può convergere da un elemento diverso da $\bar a$, ma potrebbe non convergere?
Risposte
Ogni sottosuccessione di $a_n$ ha una sottosuccessione convergente, necessariamente ad $\bar{a}$, per ipotesi.
Allora $a_n$ converge ad $\bar{a}$.
Nota che $A$ potrebbe essere anche solo limitato e tutto funzionerebbe ugualmente, l'unica diversa sarebbe che non hai la garanzia che $\bar{a}\inA$.
Allora $a_n$ converge ad $\bar{a}$.
Nota che $A$ potrebbe essere anche solo limitato e tutto funzionerebbe ugualmente, l'unica diversa sarebbe che non hai la garanzia che $\bar{a}\inA$.
Quello che non mi è chiaro è perchè dal fatto che ogni sottosuccessione convergente di $a_n$ è convergente ad $\bar a$ segue che anche la successione $a_n$ è convergente...
Non è da quello che discende.
Discende da un risultato che dice che una successione converge ad un punto se e solo se ogni sua sottosuccessione ha una sottosuccessione che converge a quel punto.
Se non conosci questo risultato concentrati su questo, dimostralo, è importante e ricorrente.
Nota che non ho specificato lo spazio in cui si lavora, questo perché è vero sempre (cioè in qualsiasi spazio topologico). Tu dimostralo nella generalità che preferisci (che includa per lo meno gli spazi $RR^n$!).
Discende da un risultato che dice che una successione converge ad un punto se e solo se ogni sua sottosuccessione ha una sottosuccessione che converge a quel punto.
Se non conosci questo risultato concentrati su questo, dimostralo, è importante e ricorrente.
Nota che non ho specificato lo spazio in cui si lavora, questo perché è vero sempre (cioè in qualsiasi spazio topologico). Tu dimostralo nella generalità che preferisci (che includa per lo meno gli spazi $RR^n$!).
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