I gradienti mandano connessi in connessi?
La domanda è già inclusa nel titolo, ma la commento un pochino.
Ricordando il teorema di Darboux che dice che la funzioni che sono derivate di altre funzioni mandano connessi in connessi, può venir naturale chiedersi se vale anche una qualche versione multidimensionale di questo teorema, io ho pensato che la formulazione più interessante sia quella del titolo, ma magari ce ne potrebbero essere anche altre.
Ci ho anche pensato un pochino ma l'unica cosa che mi è venuta in mente è che i gradienti mandano insiemi connessi in insiemi con la proprietà che ogni loro proiezione su qualsiasi componente è connessa, per il teorema di Darboux, ma non so dire altro.
Spero che qualcuno possa chiarirmi questa curiosità
P.S. A scanso di equivoci scrivo esplicitamente qual è la domanda.
Ricordando il teorema di Darboux che dice che la funzioni che sono derivate di altre funzioni mandano connessi in connessi, può venir naturale chiedersi se vale anche una qualche versione multidimensionale di questo teorema, io ho pensato che la formulazione più interessante sia quella del titolo, ma magari ce ne potrebbero essere anche altre.
Ci ho anche pensato un pochino ma l'unica cosa che mi è venuta in mente è che i gradienti mandano insiemi connessi in insiemi con la proprietà che ogni loro proiezione su qualsiasi componente è connessa, per il teorema di Darboux, ma non so dire altro.
Spero che qualcuno possa chiarirmi questa curiosità
P.S. A scanso di equivoci scrivo esplicitamente qual è la domanda.
Sia $f:RR^n->RR$ derivabile (cioè ovunque derivabile parzialmente in ogni componente). Si può considerare allora il suo gradiente $\nablaf:RR^n->RR^n$. È vero che per ogni $C\subsetRR^n$ connesso, anche $nablaf(C)$ è connesso?
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