Integrali: area compresa tra due funzioni
Buonasera a tutti, ho un problema con questo esercizio sugli integrali. L'esercizio chiede:
Si considerino le funzioni $f(x)=\pisin(x)$ e $g(x)=2x$. $f$ e $g$ delimitano una regione del piano nel primo quadrante. Quanto vale l'area di tale regione?
Allora da quel che ho capito ciò che devo fare per svolgere questo esercizio è trovare i due estremi di integrazione. Una volta trovati, devo scrivere l'antiderivata della prima funzione e sottrarre l'antiderivata della seconda funzione. Ma cosa devo sostituire al posto della x? Entrambi gli estremi di integrazione? E come li calcolo questi ultimi?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Si considerino le funzioni $f(x)=\pisin(x)$ e $g(x)=2x$. $f$ e $g$ delimitano una regione del piano nel primo quadrante. Quanto vale l'area di tale regione?
Allora da quel che ho capito ciò che devo fare per svolgere questo esercizio è trovare i due estremi di integrazione. Una volta trovati, devo scrivere l'antiderivata della prima funzione e sottrarre l'antiderivata della seconda funzione. Ma cosa devo sostituire al posto della x? Entrambi gli estremi di integrazione? E come li calcolo questi ultimi?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Ciao Xenojiiva,
Sì, che sono anche piuttosto semplici da trovare, perché le due funzioni $f(x) = \pi sin x $ e $g(x) = 2x $ si intersecano in $O(0, 0) $ e in $P(\pi/2, \pi) $, per cui l'area della regione di piano richiesta è la seguente:
$A = \int_0^{\pi/2} (\pi sin x - 2x) \text{d}x $
Quest'ultimo è un integrale piuttosto semplice da calcolare e alla fine dovresti riuscire a pervenire al risultato $A = \pi - \pi^2/4 = \pi(1 - \pi/4) $
"Xenojiiva":
da quel che ho capito ciò che devo fare per svolgere questo esercizio è trovare i due estremi di integrazione.
Sì, che sono anche piuttosto semplici da trovare, perché le due funzioni $f(x) = \pi sin x $ e $g(x) = 2x $ si intersecano in $O(0, 0) $ e in $P(\pi/2, \pi) $, per cui l'area della regione di piano richiesta è la seguente:
$A = \int_0^{\pi/2} (\pi sin x - 2x) \text{d}x $
Quest'ultimo è un integrale piuttosto semplice da calcolare e alla fine dovresti riuscire a pervenire al risultato $A = \pi - \pi^2/4 = \pi(1 - \pi/4) $
Ti ringrazio molto. Ma per trovare i due punti dove si intersecano le funzioni come faccio? Intendo attraverso dei calcoli e non attraverso il grafico, il quale a volte potrebbe risultare piuttosto complesso da disegnare.
"Xenojiiva":
Ti ringrazio molto.
Prego.
"Xenojiiva":
Ma per trovare i due punti dove si intersecano le funzioni come faccio?
Ti dirò, nel caso specifico sono andato ad occhio, nel senso che ho notato graficamente che nel primo quadrante le due funzioni si intersecano in due punti, il primo non può che essere l'origine perché $f(0) = g(0) = 0 $ (oppure potresti anche osservare che la funzione differenza è dispari come differenza di funzioni dispari, quindi...); per l'altro ho notato che le due funzioni si intersecano "vicino" al massimo di $f(x) $ che vale $\pi $ e si ottiene per $x = \pi/2 $ e poi ho sostituito $\pi/2 $ in $g(x) $ e ho notato che si ottiene ancora $\pi $, quindi...
Se non ti piace la soluzione grafica o quella proposta è sempre possibile procedere numericamente, ad esempio col metodo di Newton-Raphson applicato alla funzione differenza $d(x) := f(x) - g(x) $
"Xenojiiva":
Ti ringrazio molto. Ma per trovare i due punti dove si intersecano le funzioni come faccio? Intendo attraverso dei calcoli e non attraverso il grafico, il quale a volte potrebbe risultare piuttosto complesso da disegnare.
In ogni caso ti devi sempre fare almeno uno schizzo. Fare conti senza aiutarsi per niente con dei disegni è il modo migliore per sbagliare.
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