Intervallo di convergenza uniforme-successione di funzioni

[Denondi]

Controllando la soluzione di un semplice esercizio di analisi 2 riguardante una successione di funzioni:
$ n^2/ (x^4+3n^2) $
mi sono accorto che il mio professore dice che questa converge uniformemente ad $1/3$ solo negli intervalli del tipo $[-A,A]$ con $A$ costante positiva. Perché non in intervalli $[a,b]$?
Sono arrivato a questo risultato maggiorando l'estremo superiore della differenza posta $

[dissonance]

Ha ragione il professore. Nota che
\[
\sup_{x\in \mathbb R} \left\lvert \frac{n^2}{x^4+3n^2}-\frac13\right\rvert \ge \frac{1}{3},\]
e lo puoi dire subito senza fare conti, perché per \(x\to \pm \infty\) il termine \(\frac{n^2}{x^4+3n^2}\) tende a zero. Quindi la convergenza non può essere uniforme su \(\mathbb R\).

Un suggerimento; riscrivi la successione come segue :
\[
\frac{1}{(x/\sqrt n)^4 +3}. \]

[Denondi]

Grazie per la risposta! Quando ho scritto [a,b] non intendevo tutto R, ma un intervallo limitato. Forse sono stato poco chiaro
Ti riporto i miei conti (dopo aver fatto la sottrazione):
$ max _(x\in[a,b])x^4/(3x^4+9n^2)<=max _(x\in[a,b])x^4/(9n^2)=(a or b)^4/(9n^2)->0 $
e quindi ho verificato che converge uniformemente in [a,b] con $a or b$ intendo quello di modulo maggiore. Dove sto sbagliando? <.<
PS: ho usato max e non sup perché mi usciva un simbolo strano...
PPS: possibile che il prof dica $[-A,A]$ perché la cosa dell' $a or b$ è una 'furbata' poco legale nelle dimostrazioni matematiche e quindi devo per forza usare un intervallo del tipo proposto?

[dissonance]

Adesso ho capito cosa intendi. È lo stesso, la successione converge uniformemente su tutti gli intervalli limitati, siano essi simmetrici o no.

[Denondi]

Grazie ancora per la conferma!

[dissonance]

"Denondi":
la cosa dell' $a or b$ è una 'furbata' poco legale nelle dimostrazioni matematiche e quindi devo per forza usare un intervallo del tipo proposto?

Nessuna furbata e in matematica non ci sono cose "illegali". Non è che vengono i carabinieri a prenderti a casa. Ci sono cose "corrette" e cose "scorrette".

Se vuoi scriverlo un po' meglio, scrivi \(\max\{ |a|, |b|\}\) (nota il valore assoluto).

[Denondi]

Ahah fantastico! Purtroppo cercavo in tutti i modi di giustificare questa affermazione, quando potrò chiederò direttamente al docente!
https://i.imgur.com/rGbgv1Y.png

[dissonance]

Chiedi direttamente al prof, buona idea. Ma non capisco dove sia il problema. Abbiamo detto che è la stessa cosa dimostrare la convergenza uniforme su \([-A, A]\) per ogni \(A>0\) o su \([a, b]\) per ogni \(a, b\in\mathbb R\) con \(a

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[Denondi]

Forse ho supposto io che nella sua affermazione intendesse solamente intervalli simmetrici; essendo la risoluzione di un esercizio d'esame però mi aspetto quantomeno la soluzione completa e più precisa, non trovo giusto limitare l'intervallo di convergenza a solo quel tipo di intervalli se ce ne sono molti altri che vanno bene!

[dissonance]

Ma hai provato a dimostrare quello che ti ho detto o no? Provaci. Te lo scrivo in modo più preciso:
Proposizione. Sia \(f_n\colon \mathbb R\to \mathbb R\) una successione di funzioni e sia \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) una funzione. Sono equivalenti:
a) per ogni \(A>0\), \(f_n\to f\) uniformemente su \([-A, A]\).
b) per ogni \(a, b\in\mathbb R\), con \(a

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[Denondi]

caspita ho capito, che scemo! Grazie $infty$