Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ciao, sto seguendo una videolezione riguardo lo studio dell'equazione \( ax^2+bx+c=0\) nel campo complesso.
A un certo punto, per mostrare come ricavare la formula risolutiva, il professore chiede di dimostrare sotto quali condizioni è verificata l'uguaglianza:
\[
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
con $a, b, c$ numeri complessi e $a\ne 0$, precisando che non ha una spiegazione banale.
Pensavo di isolare il termine sotto radice $\frac{1}{4a^2}$ e ...
Salve a tutti,
mi era stata proposta dal prof questa dimostrazione $ (n!)^2 >=n^n $ .
avevo pensato, a prima vista, di poter utilizzare la disuguaglianza notevole Media Geometrica mag.ug. Media Armonica, ma mio malgrado giungo ad un bel problema si ottiene che $ root(n)((n!)) >= n /(1+1/2+...+1/n) $ quindi $ n! >= (n/(1+1/2+...+1/n))^n $ ora dovrei tipo dimostrare che $ (1+1/2+...+1/n)^n <= n! $ o qualcosa del genere per passare ai reciproci e quindi affermare la tesi ma non ho la minima idea di come fare.
la seconda dimostrazione ...
Buongiorno,
ho la seguente serie $sum_(n=1)^(+infty)(x^n/(x^(2n)+1))$ dove chiede di determinare la convergenza, al variare del parametro $x in mathbb{R}.$
Procedo cosi, applicando il criterio del rapporto, quindi determino il rapporto:
$a_(n+1)/a_n=(x^(n+1)/(x^(2n+2)+1))/(x^n/(x^(2n)+1))=x(x^(2n)+1)/(x^(2n+2)+1)=x[(x^(2n)(1+1/(x^(2n))))/(x^(2n)(x^2+1/x^(2n)))]=x[(1+1/(x^(2n))))/((x^2+1/x^(2n))]$,
passando al limite per $n to infty$,si ha $a_(n+1)/a_n=x/x^2=1/x=l$.
Per il criterio del rapporto si ha la convergenza quando $l<1$, allora $ 1/x<1 $ per $ x<0 vee x>1.$
Il risulyato è $|x| ne 1$, dove ho sbagliato ?
Ciao
Salve, mi piacerebbe se qualcuno cortesemente potesse darmi una dritta per la soluzione generale di questa equazione (chiedo indulgenza perché non ho potuto ancora approfondire abbastanza l'argomento):
$y'(x) = sqrt(y(x)) + x$
Grazie
classificare eventuali punti critici della funzione
$f(x,y)=xy^4-2xy^2+arctanx$
Determinare inoltre , minimi e massimi assoluti nella regione di piano $D={(x,y)inRR^2: -1<=x<=1 , -2<=y<=2}$
allora per determinare i punti critici calcolo le derivate parziali e le pongo uguali a zero
$f'_x=y^4-2y^2+1/(1+x^2)=0$
$f'_y=4xy^3-4xy=0$
mettendo a sistema queste due ottengo 3 sistemi da cui ricavo 5 punti critici
${(x=0), (y^2(y^2-2)=0):}$
${(y=1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
${(y=-1),(1-2+1/(1+x^2)=0):}$
da questi 3 sistemi ricavo 5 punti $A(0,0)$ ...
Dato un insieme limitato e misurabile secondo Peano-Jordan in tre dimensioni \(E\), può mai succedere che l'insieme
\(E_z=\{(x,y)|(x,y,z)\in E\}\)
sia NON misurabile?
A me sembrerebbe di no. Un abbozzo di idea di dimostrazione credo sia questa: per ogni \(\varepsilon\) vogliamo trovare due funzioni semplici maggioranti e minoranti la funzione caratteristica di \(E_z\) tali che la differenza dei loro integrali sia minore di \(\varepsilon\). Dato che \(E\) è integrabile è possibile trovare ...
Buongiorno,
vi riporto un teorema inerente al paragrafo su i limiti di successioni, sulle medie aritmetiche, dove ci sono alcuni passaggi che non mi sono chiari
Date due successioni $a_n$ e $b_n$ infinitesime, la seconda decrescente, vale la seguente uguaglianza a patto che sia regolare la successione a secondo membro, $lim_(n to infty)(a_n)/(b_n)=lim_(n to infty)(a_n-a_(n-1))/(b_n-b_(n-1))$
Dimostrazione:
Per ipotesi si ha che la successione a secondo membro ammette limite $l in mathbb{R}$ in questo caso finito, ...
Salve, sono nuova di questo forum ed ho bisogno di una mano. Il mio professore di Analisi mi ha assegnato questo esercizio:
Data la funzione f(x; y) = 3x^2 +4xy +8y nel cerchio di raggio 2 con centro nel punto (-2; 3)
- determinare il tipo di quadrica di cui il gra co di f è parte (oppure classi care le curvedi livello di f ),
- classi care gli eventuali punti critici di f ,
- trovare i valori massimo e minimo di f .
La mia difficoltà sta nel primo punto dell'esercizio, ovvero classificare una ...
Salve, non ho capito una questione sollevata in classe dal docente mentre si studiava le serie:
$\sum_{n=2}^(+infty)ln(1-1/n^2)$
È una serie telescopica ed il risultato è $-ln(2)$ ( e fino qui ci sono arrivato).
Non ho capito come da qui si può concludere:
$\prod_{n=2}^(+infty) (1-1/n^2)=1/2$
?
Buonasera,
ho la seguente serie $sum_(n=1)^(infty)1/nsin(1/(n+1))$ determinare il carettere.
Risulta che $a_n>0$ per ogni $n>1$, vista la forma applico il criterio del rapporto, quindi considero il termine:
$a_(n+1)=1/(n+1)sin(1/(n+2))$allora
$a_(n+1)/a_n=(1/(n+1)sin(1/(n+2)))/(1/nsin(1/(n+1)))=((1/(n+1))/(1/n))*((sin(1/(n+2)))/((1/(n+2))))*(((1/(n+1)))/(sin(1/(n+1))))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))~((1/(n+1))/(1/n))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))$
per $n to + infty$,
inoltre $((1/(n+1))/(1/n))*((1/(n+2))/(1/(n+1)))=1$ per $n to + infty.$
Per il criterio del rapporto, non possiamo dire nulla sul carattere della serie, invece, il risultato riportato sul libro è che la serie è convergente, dove ho ...
$f(x,y)=2(x^4+y^4-1)-(x+y)^2$ so che nell'origine ho l'Hessiano nullo e non poso detrminarmi il punto
pongo allora
$f(x,y)>=f(0,0)$
e ottengo
$2(x^4+y^4)-(x+y)^2>=0$
ho provato a fare varie restrizioni
$f(x,0)=2x^4-x^2$ non posso dire nulla perchè ho sempre lo stesso segno
$f(x,x)=4x^4-4x^2$ e pure in questo caso non posso dire nulla
Come faccio a determinare la natura del mio punto dato che tale disequazione non riesco a risolverla graficamente?
Aiuto
la somma della serie geometrica è 1/1-q , mentre l'integrale da 0 a più infinito di q^xdx è -1/lnq. Se calcolo i 2 risultati per un valore della ragione -1
Ho un dubbio sulle ipotesi necessarie ai fini della possibilità di integrare per parti.
L'enunciato mi viene presentato così (Zorich I):
If the functions \(\displaystyle u(x) \) and \(\displaystyle v(x) \) are continuously differentiable on a closed interval \(\displaystyle [a,b] \), then:
$$\int_a^b(u\cdot v')(x)\mathrm{d}x=(u\cdot v)|_a^b-\int_a^b(u'\cdot v)(x)\mathrm{d}x.$$
Viene in altre parole richiesto che sia $v(x)$ che $u(x)$ siano di ...
Buongiorno,
siano $x_1,x_2,...,x_n$ numeri reali positivi, dove almeno due numeri siano diversi tra di loro, devo dimostrare la seguente relazione:
$x_1+x_2+...+x_n=n to x_1*x_2*...*x_n<1$.
Dovrei procedere per induzione, cioè dovrei far vedere che valga per un certo indice $n'$ la relazione sudetta, e dimostrare che è vera per tutti gli indici $n$.
Sia quindi $n'=2$, considerando $x_1 ne x_2$ con $x_1, x_2$ entrambi maggiori di zero,allora si ha la seguente ...
Salve a tutti,
sto cercando di portare a termine un esercizio dove mi viene chiesto di modificare la classica costruzione dell'insieme di Cantor al fine di generarne uno non di misura nulla.
L'idea di fondo che mi è venuta è stata:
1. da $[0,1]$ rimuovo un intervallo aperto di lunghezza $\frac{1}{4}$ centrato intorno al suo punto medio \(\displaystyle x=\frac{1}{2} \);
2. in ognuno dei $2$ intervalli chiusi rimanenti rimuovo un intervallo aperto di lunghezza ...
$f(x,y)=y(x^2+y)$ so che nel punto $(0,0)$ non posso determinare minimo o massimo con la regola dell'hessiano
quindi io adotterei questa strategia non so se sia giusta devo vedere cosa accade nell'intorno del punto
in particolare considero la funzione con una restrizione lungo la bisettrice
$f(x,x)=x(x^2+x)=x^2(x+1)$
noto che tale funzione sarà $>0$ per $x>1$ mentre sarà $<0$ per $x<1$
giachhè ho trovato che nell'intorno non un valore ...
$f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$ nel punto $O(0,0)$ ho l'hessiano nullo dunque per determinare la natura del mio punto procederei in questo modo
Calcolo l'incremento $deltaf=f(x,y)-f(0,0)>0$
risulta dunque $(y-x^2)(y-2x^2)>0$
considero la restrizione sulla prima bisettrice
$f(x,x)=(x-x^2)(x-2x^2)=x^2(2x^2-3x+1)>0$
studiando il segno all'interno della parentesi si vedi facilemente che è $>0$ per $x<1uux>2$ mentre è $<0$ per $1<x<2$
quindi siccome il segno non è costante trovo che il ...
chiedo già scusa se il mio esercizio posso essere un po lunghetto ma cerco di fare un unico post con più dubbi invece che piu post con singoli dubbi
Assegnata la funzione
$f(x,y)={(y^3-3xy^2)/(x^2+3y^2)} $per $(x,y)!=(0,0)$
mentre $0$ per $(x.y)=(0,0)$
studiarne la continuità
impongo che
$lim_((x,y)to(0,0))f(x,y)=f(0,0)$
passando alle cordinate polari ottengo
$lim_(alphato0+) (alpha^3(sin^3theta)-3alpha^3(costhetasin^theta))/(3alpha^2)=0$
ecco il mio primo dubbio è lecito mettere $alphato0+$
derivabilità
per studiare la derivabilità devo far ...
Buonasera,
qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi come calcolare questa serie? $ sum_(i=1)^infty i/2^i $
Ciao a tutti,
in una dimostrazione ho trovato questa produttoria:
$ 2sin(pi/n)*2sin((2pi)/n)*...*2sin(((n-1)pi)/n)=prod_(k = 1)^(n-1)2sin((kpi)/n)=n $
L'autore cita solo il risultato senza darne la dimostrazione, volevo sapere da dove risulta questo fatto.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo
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