O piccolo che non torna
Stavo ripassando gli $o$ piccolo da una lezione del prof. Gobbino su youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=RbIefDn0wkE
al min 4:54 si dice che è vera questa espressione:
$sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$
Due cose non capisco, innanzitutto qual è il valore a cui tende x è $x_0$ e viene dato per scontato?
Se seguo la definizione del prof. $f(x) = o(g(x))$
dove $\lim_{x \to x_0} \omega(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x)=0$
ottengo $sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$
$f(x)=sin(x)-x+1/6x^3$ $g(x)=x^3$
per cui
$\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = \lim_{x \to x_0} sin(x)/x^3-x/x^3+1/6=\lim_{x \to x_0} sin(x)/x (1/x^2)-1/x^2+1/6=1/6$
Ma non mi torna zero per cui viene meno la definizione di o piccolo, allora le cose sono due:
o ho sbagliato il calcolo del limite pensando che $x->x_0$oppure non ho compreso il concetto.
Grazie a tutti per i vostri contributi
https://www.youtube.com/watch?v=RbIefDn0wkE
al min 4:54 si dice che è vera questa espressione:
$sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$
Due cose non capisco, innanzitutto qual è il valore a cui tende x è $x_0$ e viene dato per scontato?
Se seguo la definizione del prof. $f(x) = o(g(x))$
dove $\lim_{x \to x_0} \omega(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x)=0$
ottengo $sin(x)=x-1/6x^3 + o(x^3)$
$f(x)=sin(x)-x+1/6x^3$ $g(x)=x^3$
per cui
$\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = \lim_{x \to x_0} sin(x)/x^3-x/x^3+1/6=\lim_{x \to x_0} sin(x)/x (1/x^2)-1/x^2+1/6=1/6$
Ma non mi torna zero per cui viene meno la definizione di o piccolo, allora le cose sono due:
o ho sbagliato il calcolo del limite pensando che $x->x_0$oppure non ho compreso il concetto.
Grazie a tutti per i vostri contributi
Risposte
Il punto è $x_0=0$
Applica due volte De L’Hopital a $lim_(x->0)(sinx-x)/x^3$
Applica due volte De L’Hopital a $lim_(x->0)(sinx-x)/x^3$
In effetti in questo modo mi torna ma allora perchè il mio percorso non è valido, dove fa acqua? 
Quando scrivi
Questo limite non fa $1/6$ ma fa $0$ perché
Anche perché non mi spiego come tu abbia calcolato quel limite.
$lim_(x->0)(sinx-x+1/6x^3)/x^3=lim_(x->0)[(sinx-x)/x^3+1/6]$
Questo limite non fa $1/6$ ma fa $0$ perché
$lim_(x->0)(sinx-x)/x^3=-1/6$
Anche perché non mi spiego come tu abbia calcolato quel limite.
"anto_zoolander":
$lim_(x->0)(sinx-x)/x^3=-1/6$
Anche perché non mi spiego come tu abbia calcolato quel limite.
$lim_(x->0)sinx/x 1/x^2-lim_(x->0)1/x^2=lim_(x->0)1/x^2-lim_(x->0)1/x^2=0$
Questo è il passaggio incriminato
Non si passa al limite a pezzi, non puoi mandare indipendentemente al limite $\frac{\sin x}{x} \to 1$ mentre il resto non viene mandato al limite.
Inoltre i teoremi algebrici (come li chiama Gobbino
), ad esempio quello che ti permette di scrivere il limite della somma come la somma dei limiti, valgono solo se non ci sono forme indeterminate di mezzo.
Infatti se procedi correttamente (ossia mandando tutto al limite insieme) rimani con una forma indeterminata $+\infty - \infty$, che non ti permette di concludere nulla.
"zio_mangrovia":
$lim_(x->0)sinx/x 1/x^2-lim_(x->0)1/x^2=lim_(x->0) 1/x^2 -lim_(x->0) 1/x^2$
Non si passa al limite a pezzi, non puoi mandare indipendentemente al limite $\frac{\sin x}{x} \to 1$ mentre il resto non viene mandato al limite.
Inoltre i teoremi algebrici (come li chiama Gobbino
), ad esempio quello che ti permette di scrivere il limite della somma come la somma dei limiti, valgono solo se non ci sono forme indeterminate di mezzo.Infatti se procedi correttamente (ossia mandando tutto al limite insieme) rimani con una forma indeterminata $+\infty - \infty$, che non ti permette di concludere nulla.
Grazie 1000, avevo "dimenticato" queste regolette!
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