Analisi matematica di base

Definisco $g(y)=\{(0 " se " y>=0),(y " se " y<0):}$. Fissati $x\inRR$ e $t\inRR^+$ voglio calcolare $"inf"_{y\inRR}{(x-y)^2/{2t}+g(y)}$. Ora se questo inf è raggiunto per un $y>=0$ allora è facile vedere che è raggiunto per $y=x$ (a condizione che $x>=0$) e vale $0$. Se invece questo inf è raggiunto per un $y<0$ allora ho che $"inf"_{y\inRR}{(x-y)^2/{2t}+g(y)}= "inf"_{y\inRR}{(x-y)^2/{2t}+y}= "inf"_{y\inRR}{{x^2+y^2-2xy+2ty}/{2t}}$ e si vede facilmente che è raggiunto per $y=x-t$ (a condizione che $x-t<0$ cioè ...

Sia $A \sube RR^n$ un insieme compatto e sia $(a_n)_{n\inNN}$ una successione di elmenti di $A$. Siccome $A$ è compatto esiste una sottosuccessione convergente $(a_{n_k})_{k\inNN}$ della successione $(a_n)_{n\inNN}$, sia $\bar a = lim_{k->oo}a_{n_k}$. Ora suppongo di sapere che qualunque altra sottosuccessione convergente di $(a_n)_{n\inNN}$ converga ad $\bar a$. Posso dedurre che anche la successione $(a_n)_{n\inNN}$ converge ad $\bar a$? Certamente ...

Ciao, avrei un dubbio riguardo l'argomento del titolo a cui sono sopraggiunto svolgendo alcuni semplici esercizi So che una rale equazione differenziale èdel tipo $y'(t)=a(t)*b(y(t))$ Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli $y'(t)=2mksin(t)$ L'ho risolta considerando $2mksint=a(t)$ Tuttavia ecco il dubbio: se ipotizzassi: $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle ...

Salve ragazzi, domani finalmente ho l'esame e quindi devo risolvere gli ultimi dubbi... stavolta si tratta di una successione definita per ricorrenza: ho da studiare il limite della seguente successione ${ ( a1=lambda ),( a n+1=-log an+an ):}$ (chiedo scusa per come ho scritto a1 e an ma non so mettere i pedici...) è sbagliato calcolarlo pensando che $lim_(x -> +oo )an=lim_(x -> +oo )a n+1=l$ dove l può essere anche +oo e quindi fare $l=-log l + l$ che svolgendolo mi viene $l=1$ che dovrebbe essere il limite giusto?

Sia $A\inM_n(RR)$ una matrice simmetrica, considero la funzione quadratica $f:RR^n->RR^n$ definita da $f(x)=x^TAx$. Voglio calcolare il gradiente $\gradf(x)$. Per prima cosa scrivo la funzione $f$ in coordinate: $f(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n x_i * (\sum_{j=1}^n A_{ij}*x_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i * A_{ij}*x_j$. Ora calcolo la derivata parziale di $f$ rispetto a $x_k$: $\partial / {\partial x_k} f(x_1,...,x_n) = \partial / {\partial x_k} (\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i * A_{ij}*x_j) =$ $= \partial / {\partial x_k} ((\sum_{j=1,j \ne k}^n x_k * A_{kj}*x_j) + x_k * A_{kk} * x_k) =$ $= (\sum_{j=1,j \ne k}^n A_{kj}*x_j) + 2x_k * A_{kk} =$ $= (\sum_{j=1}^n A_{kj}*x_j) + x_k * A_{kk}$. Ora dovrei mostrare che questo gradiente si scrive in forma matriciale come ...

Salve ho da studiare il carattere della seguente serie: $ sum_(n = 1) n log((nsqrtn+1)/(nsqrtn)) $ non so proprio da dove iniziare, qualcuno riesce a darmi qualche dritta?

Sia $a\in\mathbb{R}$, vorrei scrivere l'intervallo $(a,+\infty]$ come unione numerabile di intervalli dello stresso tipo, ma con estremi razionali, cioè vorrei che valesse una regola del genere $$(a,+\infty]=\bigcup_{n=1}^{+\infty} (q_n,+\infty],$$ dove $\{q_n\}\subset\mathbb{Q}.$ Ora è chiaro che poiché $\mathbb{Q}$ è denso in $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$, esiste una successione $\{q_n\}\subseteq\mathbb{Q}$ decrescente tale che $q_n\to a$. L'inclusione ...

Buonasera, Dovrei dimostrare che $a>1$ e $forall b in RR$ l'integrale S=$int_1^(+infty) 1/(x^a(lnx)^b) \ dx$ risulti convergente. Sia $f(x) = 1/(x^a(lnx)^b). $ Se $a>1\, \b=0 \ to \ f(x) =1/x^a$, quindi, l'integrale $int_1^(+ infty) 1/x^a \ dx$ risulta essere convergente Se $a>1\,\b>0 $, procedo per sostituzione, cioè $lnx= t \ to (ln(x))^b=t^b$ da cui $dx \(1/x) =dt \ to \ x^(a-1)=e^((a-1)t) $ quindi l'integrale diviene $int_0^(+ infty) 1/(e^((a-1)t) t^b) \ dt $ Per $a>1\ qquad forall t ge 0\ qquad e^((a-1)t) ge (a-1)t$, applicando il criterio del confronto su $I=[0,+infty[$, ottengo, ...

Salve ragazzi ho da studiare la seguente serie: $ sum_(n = 1 ) arctan (1/(sqrt n log^2n)) $ partiamo dal presupposto che è una serie a termini positivi io l'ho studiata nel modo seguente: $ arctan (1/(sqrt n log^2n))~ 1/(sqrtnlog^2n) $ dopo di che ho applicato il criterio di condensazione di cauchy facendola diventare $ 2^n/(sqrt(2^n)log^2(2^n) $ facendo le dovute semplificazioni arrivo alla conclusione che la serie data ha lo stesso carattere del rapporto $ sqrt(2^n)/n^2 $ allora io so che la serie deve divergere positivamente, quindi il limite di ...

Salve a tutti devo studiare la seguente funzione $ arctan (1/sqrt(2-|x|)) $ ; in particolare mi interessa: 1) il dominio con eventuali punti singolari; 2)eventuali asintoti 3) studiarne derivata, derivabilità ed eventuali punti di estremo relativo. io sono arrivato alle seguenti conclusioni 1) la funzione è definita nell'intervallo $]-2;2[$ che a loro volta sono punti di singolarità. 2) non ci sono asintoti. 3) la derivata mi risulta $ x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|)) $ la funzione non è derivabile nello 0, ...

Buongiorno, ho difficoltà nel calcolare questo limite: $\lim_(x\to0^+)(x^(-1)\sum_{n=1}^\infty (x/(x+1))^n)$ Non riesco a capire come trattare la sommatoria che si trova all'interno del limite. Ho visto che se n=1 il limite è 1 e con n>1 il limite è sempre 0. Quindi il risultato dovrebbe essere 1?

Non riesco a capire una spiegazione relativa alla risoluzione di quest'equazione complessa: $z^2 = i|z-1|$ Il prof che spiega la risoluzione pone $z^2= lamda i$, quindi $z^2$ si trova sull'asse immaginario. Poi estrae la radice e ottiene $z=\mu (1+i)$, perché $z^2$ si trova sull'asse immaginario, pertanto $z$ deve trovarsi sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Dopodiché pone $z= 1+\mu i$, e qui non capisco: affinché ...

Ciao matos, Stai facendo un po' di confusione con le variabili: se hai $x$ poi non puoi parametrizzare con $cosx $... Supponendo che sia $a > 0 $ e $b > 0 $, $z = f(x,y) = - ax^2 - by^2 $ è una funzione pari avente dominio $D = \RR^2 $ e codominio $C = (-\infty, 0] $: si tratta di un paraboloide ellittico avente massimo $z = 0 $ nel punto $O(0, 0) $. Dato poi che hai $x >= y > 0 $, significa che siamo nell'ottante caratterizzato da ...

Salve, posto,sperando che non mi venga chiuso anche questo topic per futili motivi, chiedendovi una mano a capire come e dove ricercare i punti di non derivabilità di una funzione. Da ciò che ho capito questi sono da ricercare nei valori che fanno perdere di significato la derivata prima della funzione(es. denominatore della derivata prima che si annulla, valore x che faccia diventare $\<=0$ il logaritmo, ecc) e nei valori di congiunzione delle funzioni definite a tratti. So che ai ...

Ciao a tutti A pochi giorni dall'esame mi son trovato di fronte questo esercizio di equazione differenziale $x'(t)=-a*x(t)+(b*t)/(x(t))$ con a e b parametri positivi. Ora, so che ci sono diverse metodologie di risoluzione, ma considerando il fatto che come programma abbiamo fatto solo lineari, separabili e bernoulli, come posso procedere? Queste tre metodi non mi sembrano applicabili, o sbaglio? Grazie

Ciao, vorrei sapere come si trovano i punti di non derivabilità di una funzione. Più precisamente vorrei chiedervi di risolvere il dubbio che mi blocca. Considerando una funzione non a tratti: 1)studio il dominio 2)segno,simmetrie,intersezioni con gli assi,ecc 3)calcolo la derivata prima e ne determino il dominio. I punti di non derivabilità sono da ricercare nei valori che fanno perdere di significato alla funzione(x che annulla in denominatore, o che rende minore di 0 l'argomento del ...

Salve, il prof mi ha consegnato una copia del esame di analisi I che ho svolto in gennaio, e c'è un problema che pure ora non ho idea di come svolgere, sarei curioso di sapere come farlo. O almeno un suggerimento. Sia \( \mathcal{P}=\{ A \subset \mathbb{R} : \#(A) < + \infty \} \) dove $\#(X)$ indica la cardinalità dell'insieme $X$, e sia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione tale che \[ \sup\limits_{A \in \mathcal{P}} \sum\limits_{x \in A} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} < ...

Ciao, vorrei sapere come si trovano i punti di non derivabilità di una funzione. Più precisamente vorrei chiedervi di risolvere il dubbio che mi blocca. Considerando una funzione non a tratti: 1)studio il dominio 2)segno,simmetrie,intersezioni con gli assi,ecc 3)calcolo la derivata prima e ne determino il dominio. I punti di non derivabilità sono da ricercare nei valori che fanno perdere di significato alla funzione($\x$ che annulla in denominatore, o che rende minore di 0 ...

ciao,nello studio della funzione $f(x)= ((|x|)/(x-2))-ln x^2$ dopo aver calcolato dominio, limiti alle frontiere di questo e per $+-oo$. volevo calcolare le intersezioni con gli assi. con l'asse y ho visto che non ci sono. I problemi arrivano con l'asse x, mi ritrovo questo: $|x|-(x-2)lnx^2=0$ e, se non mi sbaglio bisognerebbe arrivare alla forma $(e^x)=x^(2x-4)$ ma immagino abbia fatto qualche errore

ciao, sto avendo difficoltà con questa equazione parametrica e un limite con parametro. Sia $alpha in RR^+$. Allora $lim_(x -> 0) (sin(x^(3alpha ))−x^(3alpha))^2/( x+x^(9alpha)) = 0$ se e solo se a. $alpha < 1/9$. b. $alpha > 1/9$. c. il limite è $0$ qualunque sia $alpha in RR^+$. d. nessuna delle precedenti. Sia $alpha in RR$. Allora l’equazione $|x|^3+4x+α = 0$ ha almeno una soluzione reale se e solo se a. $alpha <= 16/(3√3)$. b. $alpha <= (4√2)/(3√3)$. c. $alpha <= 2$. d. nessuna delle precedenti