Ottimizzazione vincolata con Lagrange e 2 disequazioni con modulo

[donzo93]

Buonasera a tutti,
risolvendo un tema d'esame in vista della prova di Analisi 2 mi sono imbattutto in un esercizio che mi da il grattacapo:
"Determinare i massimi e i minimi vincolati della funzione $ f(x,y)=1/(|xy|+1) $ con vincolo espresso da:
$ |x|<=1 $ e $ |y|<=1 $ utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (in maniera opportuna)". Sì, dice proprio in "utilizzando in maniera opportuna". Il vincolo è un quadrato di lato due, ovviamente regolare a tratti. Nel punto precedente dell'esercizio chiede di fare una discussione qualitativa mediante le linee di livello e fin lì ci siamo. Ottengo che la $ f(x,y) $ ha massimi assoluti di quota $ k=1 $ lungo entrambi gli assi mentre i minimi vincolati sono tutti ubicati negli "spigoli" del quadrato. Per altro la $ f(x,y) $ ha valori su $ z in (0,1] $ . Ora io ho letto di tutto a riguardo, ma la richiesta di Lagrange in questo caso mi pare tutto fuorchè opportuna. Al contempo mi parrebbe machiavellico richiedere un esercizio solo per far scrivere allo studente "l'uso dei moltiplicatori di Lagrange non è opportuno in questo caso". Nelle esercitazioni non ho nulla di simile, però è capitato che lo chiedesse in sede d'esame, anche recentemente. Anche nel libro di riferimento questi esercizi vengono sempre svolti con altri metodi. Nell'ultimo punto dell'esercizio richiede l'utilizzo del metodo di sostituzione. Anche qui ho seri problemi, trovo il massimo in $ (1,0) $ ecc., ma quelli negli "spigoli" no...
Spero di essere stato chiaro e grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Marco

[Studente Anonimo]

Probabilmente, per considerazioni di simmetria, si richiede di esaminare, per esempio, il solo tratto sottostante della frontiera:

$[x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

[donzo93]

"anonymous_0b37e9":Probabilmente, per considerazioni di simmetria, si richiede di esaminare, per esempio, il solo tratto sottostante della frontiera:

$[x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

Ciao Elias! Grazie mille di nuovo per la risposta! Speriamo mi porti bene anche a questo esame Ho fatto le dovute considerazioni riguarda alla simmetria della funzione e avevo considerato quanto hai detto. Infatti rileggendo bene gli esercizi svolti sul libro mi sono reso conto che sbagliavo ad applicare il metodo delle sostituzioni, fin lì ok. Ma i moltiplicatori di Lagrange proprio non capisco come applicarli. Mi viene un sistema senza soluzioni, ho controllato tutti i calcoli con Wolfram...

[Studente Anonimo]

Ciao donzo93. Vista la presenza del valore assoluto nella funzione, l'analisi della frontiera richiede 8 passi:

Passo 1

$[x=1] ^^ [-1 lt y lt 0]$

Passo 2

$[x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

Passo 3

$[-1 lt x lt 0] ^^ [y=1]$

Passo 4

$[0 lt x lt 1] ^^ [y=1]$

Passo 5

$[x=-1] ^^ [-1 lt y lt 0]$

Passo 6

$[x=-1] ^^ [0 lt y lt 1]$

Passo 7

$[-1 lt x lt 0] ^^ [y=-1]$

Passo 8

$[0 lt x lt 1] ^^ [y=-1]$

Tuttavia, per considerazioni di simmetria, è possibile limitare l'analisi al solo tratto sottostante:

$[x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

nei punti del quale:

$f(x,y)=1/(xy+1)$

In definitiva:

$[(-y)/(xy+1)^2=\lambda] ^^ [(-x)/(xy+1)^2=0] ^^ [x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

manifestamente impossibile. A questo punto, non resta che valutare la funzione nei due punti sottostanti:

$[x=1] ^^ [y=0] rarr f(1,0)=1$

$[x=1] ^^ [y=1] rarr f(1,1)=1/2$

[donzo93]

"anonymous_0b37e9":
In definitiva:

$[(-y)/(xy+1)^2=\lambda] ^^ [(-x)/(xy+1)^2=0] ^^ [x=1] ^^ [0 lt y lt 1]$

manifestamente impossibile. A questo punto, non resta che valutare la funzione nei due punti sottostanti:

$[x=1] ^^ [y=0] rarr f(1,0)=1$

$[x=1] ^^ [y=1] rarr f(1,1)=1/2$

esattamente dov'ero arrivato io. Quindi avevo fatto giusto, ma non sapevo come continuare. Continuo comunque a chiedermi perchè chiedere di applicare Lagrange in un caso del genere... Ad ogni modo grazie mille Elias, sei stato super!

[dissonance]

"donzo93":Continuo comunque a chiedermi perchè chiedere di applicare Lagrange in un caso del genere...

E perché no? Uno, nella realtà, non ha il professore dietro che gli dice che metodo usare. La scelta del metodo è parte dell'esercizio. Sono d'accordo che invece di "in maniera opportuna" poteva scrivere "se opportuno", ecco, così avrebbe evitato di confondere. Ma per il resto non mi pare un esercizio malvagio.

[donzo93]

"dissonance":
E perché no? Uno, nella realtà, non ha il professore dietro che gli dice che metodo usare. La scelta del metodo è parte dell'esercizio. Sono d'accordo che invece di "in maniera opportuna" poteva scrivere "se opportuno", ecco, così avrebbe evitato di confondere. Ma per il resto non mi pare un esercizio malvagio.

Dissonance mi sa che mi sono espresso male nel post iniziale... non c'è nessuna scelta! L'esercizio richiede di ottimizzare la funzione in tutti e tre i modi: prima con le curve di livello, poi con i moltiplicatori, infine con la sostituzione. Però nella parte sui moltiplicatori, fino ad oggi, andavo ai pazzi.

[dissonance]

Ho capito. Non mi piacciono gli esercizi che prescrivono il metodo di risoluzione, sono troppo artificiali, ma tocca farli. Evidentemente il professore vuole che tu ti scervelli ad applicare i moltiplicatori di Lagrange. Non che ci voglia tanta creatività; si tratta di trovare i punti critici vincolati di \(f(x, y)=1/(1+xy)\) su
\[
\{g(x, y)=1\}, \text{ dove } g(x, y):=\max(|x|, |y|).\]
La tua difficoltà è probabilmente il calcolo di \(\nabla g\) nei punti in cui \(g\) è regolare, ovvero quelli in cui \(|x|\ne |y|\). Come dice Elias, è sufficiente considerare \(x>0, y>0\) per simmetria. I punti in cui \(g\) non è regolare andranno studiati a mano.