Eq.differenziali a variabili separabili
Ciao, avrei un dubbio riguardo l'argomento del titolo a cui sono sopraggiunto svolgendo alcuni semplici esercizi
So che una rale equazione differenziale èdel tipo
$y'(t)=a(t)*b(y(t))$
Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli
$y'(t)=2mksin(t)$
L'ho risolta considerando $2mksint=a(t)$
Tuttavia ecco il dubbio:
se ipotizzassi: $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle come
$(y'(t))/sint=2mk$
che ovviamente darà un risultato diverso portandolo a risoluzione. Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando sin(t)=a(t). Tuttavia anche $y(t)=t$ mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa..
So che una rale equazione differenziale èdel tipo
$y'(t)=a(t)*b(y(t))$
Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli
$y'(t)=2mksin(t)$
L'ho risolta considerando $2mksint=a(t)$
Tuttavia ecco il dubbio:
se ipotizzassi: $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle come
$(y'(t))/sint=2mk$
che ovviamente darà un risultato diverso portandolo a risoluzione. Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando sin(t)=a(t). Tuttavia anche $y(t)=t$ mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa..
Risposte
L’ipotesi, semplicemente, non ha alcun senso.
Devo dire che è frustrante essere stupidi come me, vedo che le cose vi vengono così naturali mentre io devo ragionarci ore arrivando a considerazioni errate...
Dici che non avrebbe senso perché in tal caso $y'=1$?
Tuttavia anche inserendo l'ipotesi mi pare che avrei:
$1/sint=2mk$ e integrando $\int(dt)/sint=\int2mkdt$
Grazie per il tuo costante aiuto
Dici che non avrebbe senso perché in tal caso $y'=1$?
Tuttavia anche inserendo l'ipotesi mi pare che avrei:
$1/sint=2mk$ e integrando $\int(dt)/sint=\int2mkdt$
Grazie per il tuo costante aiuto
Il problema è che non ragioni in maniera formale, rifacendoti alle definizioni, ma preferisci “inventarti” ipotesi che non stanno né in cielo né in terra.
Questo capita quando non si conoscono bene le definizioni o non si riconosce la loro importanza.
Cos’è una EDO in forma normale?
Quindi il secondo membro di una EDO in forma normale è una funzione di due variabili $f(t,y)$ valutata sui punti $(t,y(t))$ del grafico di una funzione $y$.
La EDO, poi, si chiama a variabili separabili se la funzione $f$ è il prodotto di due funzioni, ognuna dipendente da una sola delle variabili da cui dipende $f$, i.e. $f(t,y) = a(t)*b(y)$ per ogni $(t,y) in I xx J$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$.
Nel tuo caso, $f(t,y) = C sin t = a(t)$ perché $f$ non dipende da $y$.
Questo capita quando non si conoscono bene le definizioni o non si riconosce la loro importanza.
Cos’è una EDO in forma normale?
Assegnati un intervallo $I xx J sube RR^2$ ed una funzione $f:I xx J -> RR$ continua, si chiama EDO in forma normale il problema di determinare tutte le funzioni $y: ]a,b[ -> J$ tali che:
[*:9it6dibl] $]a,b[ sube I$ è non vuoto;
[/*:m:9it6dibl][/list:u:9it6dibl]
[/*:m:9it6dibl]
[*:9it6dibl] $y$ è derivabile in $]a,b[$;
[/*:m:9it6dibl]
[*:9it6dibl] $y’(t) = f(t,y(t))$ per ogni $t in ]a,b[$.
Quindi il secondo membro di una EDO in forma normale è una funzione di due variabili $f(t,y)$ valutata sui punti $(t,y(t))$ del grafico di una funzione $y$.
La EDO, poi, si chiama a variabili separabili se la funzione $f$ è il prodotto di due funzioni, ognuna dipendente da una sola delle variabili da cui dipende $f$, i.e. $f(t,y) = a(t)*b(y)$ per ogni $(t,y) in I xx J$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$.
Nel tuo caso, $f(t,y) = C sin t = a(t)$ perché $f$ non dipende da $y$.
Anche questa volta ci hai azzeccato - mi sembri un veggente 
-, il punto è che le studio per bene quasi con ossessione (le definizioni), le capisco provo a rigirarle con carta e penna.. e funzionano. Però dopo un po' di tempo mi diventano come evanescenti ed è come se mi sfuggissero dei punti. E' un bel problema per me (quasi una lotta con me stesso) a cui non ho ancora capito come porre rimedio sinceramente.
Tornando in topic:
Se $b$ dipende da $y$ e a $y$ impongo il valore $t$, allora $b(y)$ dipenderàsolo da $y$ (come richiesto dalla definizione). Mi sembra che proprio imporre $y=t$ faccia discendere che $f$ dipende da $y$. Quindi mi sfugge proprio qualcosa, diamine!
-, il punto è che le studio per bene quasi con ossessione (le definizioni), le capisco provo a rigirarle con carta e penna.. e funzionano. Però dopo un po' di tempo mi diventano come evanescenti ed è come se mi sfuggissero dei punti. E' un bel problema per me (quasi una lotta con me stesso) a cui non ho ancora capito come porre rimedio sinceramente.Tornando in topic:
Se $b$ dipende da $y$ e a $y$ impongo il valore $t$, allora $b(y)$ dipenderàsolo da $y$ (come richiesto dalla definizione). Mi sembra che proprio imporre $y=t$ faccia discendere che $f$ dipende da $y$. Quindi mi sfugge proprio qualcosa, diamine!
Non ti sfugge nulla.
Solo che non capisci quello che stai facendo... Pensaci bene.
Solo che non capisci quello che stai facendo... Pensaci bene.
Ok allora ci rifletto su ancora un po' e metto assieme i pezzi che mi hai riportato.
Grazie ancora e buon (fine)finesettimana
[Edit post riflessione]
Forse il punto stava nel fatto che io intendessi
$f(t,y)=b(y)$ come se $a(t)$ non ci fosse, in realtà quello che succede nella mia ipotesi di considerare solo la funzione $b$ è che sarebbe $f(t,y)=a(t)b(y)$ dove a(t) c'è e vale $a(t)=1$. Ergo avrei che $f(t,y)=1*b(y)$ ma poiché y=t => (sarebbe come scrivere) $f(t,y)=1*b(t)$. Ma così facendo avrei in realtà due funzioni (prima mascherate) che dipendono da t, ossia: $f(t,y)=a(t)b(t)$ che va contro la definizione di variabili separabili.
Potrebbe essere?
Grazie ancora e buon (fine)finesettimana
[Edit post riflessione]
Forse il punto stava nel fatto che io intendessi
$f(t,y)=b(y)$ come se $a(t)$ non ci fosse, in realtà quello che succede nella mia ipotesi di considerare solo la funzione $b$ è che sarebbe $f(t,y)=a(t)b(y)$ dove a(t) c'è e vale $a(t)=1$. Ergo avrei che $f(t,y)=1*b(y)$ ma poiché y=t => (sarebbe come scrivere) $f(t,y)=1*b(t)$. Ma così facendo avrei in realtà due funzioni (prima mascherate) che dipendono da t, ossia: $f(t,y)=a(t)b(t)$ che va contro la definizione di variabili separabili.
Potrebbe essere?
No.
Argh granchio, scusa.. 
Penso tutto si giochi qui
Il fatto che a me sembra sempre che nell'ipotesi posta di y=t, allora b(y)=b(t) sia proprio Csin(t) e così sono punto a capo
Penso tutto si giochi qui
"gugo82":
Nel tuo caso, $f(t,y) = C sin t = a(t)$ perché $f$ non dipende da $y$.
Il fatto che a me sembra sempre che nell'ipotesi posta di y=t, allora b(y)=b(t) sia proprio Csin(t) e così sono punto a capo
Ma perché continui ad "inventare" ipotesi?
Hai sotto gli occhi una funzione che, semplicemente, non dipende da $y$.
Hai sotto gli occhi una funzione che, semplicemente, non dipende da $y$.
No, aspetta, mi ero espresso male: non è che volessi inventare una ipotesi ad hoc valida sempre, intendevo piuttosto dire che in generale non dipende da y e sono d'accordo. Però come sotto-caso potrebbe dipendere (sotto quella "ipotesi") da una y, se y=t appunto. Mi sembrava, inoltre, fosse una ipotesi che soddisfa tutte le definizioni.
No, non lo è.
No certo, non voglio dire lo sia. ho ben capito che mi dici non esserlo, ma non vedo il motivo o forse ho appena scoperto una nuova lacuna .
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"gugo82":
Ma perché continui ad "inventare" ipotesi?
Hai sotto gli occhi una funzione che, semplicemente, non dipende da $y$.
In generale sì, ma se impongo y=t in quel caso specifico non dovrebbe dipendere da y poiché siny=sint? E' qui che mi impantano, con tale assunzione mi sembra dipenderci invece.
Ad ogni modo ti garantisco che sarà l'ultimo messaggio questo ma come sempre leggerò con cura la tua risposta, poi continuerò a ragionarci da solo, prima o poi lo capirò spero lol.
Sei gentilissimo e ti devo molto per il tuo aiuto spassionato
Al prossimo dubbio, sperando di non averti tediato troppo.
Ad ogni modo ti garantisco che sarà l'ultimo messaggio questo ma come sempre leggerò con cura la tua risposta, poi continuerò a ragionarci da solo, prima o poi lo capirò spero lol.
Sei gentilissimo e ti devo molto per il tuo aiuto spassionato
Al prossimo dubbio, sperando di non averti tediato troppo.
"jimbolino":
ma se impongo y=t
Ma perché vuoi rinominare la variabile?
C'è un motivo specifico perché tu vuoi chiamare con $t$ la $y$?
Non ti piace il simbolo?
Chiamala anche $text(Pippo)$, se vuoi, ma la sostanza non cambia. Il secondo membro della tua EDO non dipende da $text(Pippo)$.
Inoltre, $y(t) =t$ non è soluzione della EDO, quindi la sostituzione ti mostra solo questo fatto.
Ok quindi abbiamo individuato il mio errore di concetto mi sa: ero convinto che scrivendo y=t restringessi i valori che assume y solo al caso y(t)=t, insomma pensavo che non fosse un rinominare la variabile ma che restringessi dal caso "tutte le funzioni di y" al caso "funzione identità" ossia y=t e dunque che da quel momento in poi y fosse t e viceversa (e quindi che scrivere la variabile t o la funzione y fosse la stessa cosa, ecco perché parlavo di dipendenza da y).
Comunque, sei proprio sicuro che la traccia sia scritta bene? Sarà mica che lì c'era \(\sin y\) invece di \(\sin t\)?
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