Sviluppo in serie di taylor

[Gianni_Volto]

Ciao a tutti ho da un po’ di tempo un dubbio riguardante le serie di Taylor e i loro sviluppi. Studiando la teoria nel mio libro di testo si passa dalle serie di potenze in generale a definire le serie di Taylor e le loro proprietà. Quindi in particolare a partire da una generica funzione f(x) se ne vuole studiare l’eventuale sviluppabilità in serie di Taylor e la relativa serie centrata in un punto $x_0$.

Per esempio prendiamo $f(x)=1/(1-x)$ so che corrisponde alla serie geometrica di ragione x, ho quindi lo sviluppo in serie centrato in 0.

Quello che mi domando è però come ottenere lo sviluppo in serie della funzione ma in punto diverso da 0..

Grazie anticipatamente

[caffeinaplus]

Ciao

Beh la formula generale è

$sum_{k=0}^{n} (d^kf(x_0))/(dx^k)*( (x-x_0)^k)/(k!) + o(x^n)$

Quindi basta applicarla sostituendo $x_0$ con il punto che vuoi

[Gianni_Volto]

Sì sì questo mi è chiaro ma io volevo arrivare a trovare la relativa serie di potenze. Per dire, lo sviluppo centrato in 0 di $1/(1-x) = sum_(n = 0 )^infty x^n $

Adesso io vorrei trovare lo sviluppo di $1/(1-x)$ centrato per esempio in 1/2. Provando con Wolfram mi da $sum_(n = 0 )^infty 2^(n+1)(x-1/2)^n $
Ieri sera dopo aver sfogliato vari libri di testo ho trovato un esempio simile che veniva risolto in questa maniera:

Riscrivendo $1/(1-x)=1/(1-x+1/2-1/2)=1/(1/2-(x-1/2))=2/(1-2(x-1/2))$ che corrisponde a $sum_(n = 0 )^infty 2^(n+1)(x-1/2)^n $

Credo sia questo il modo di procedere