Analisi matematica di base

Ciao ragazzi Devo trovare l'ordine di infinitesimo di questa bellezza $f(x)= ( sin x/ x)^ (1/( x sin x)) -e^(-1/6)$ Un po in difficoltà ho provato a sviluppare con Taylor i vari pezzi in questo modo $ ( (x-x^3/6+o(x^4))/ x)^ (1/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^(log (1-x^2/6+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-x^2/6-x^4/72+o(x^3))/( x^2+o(x^2))) -e^(-1/6) = e^((-1/6-x^2/72+o(x)))-e^(-1/6) = e^(-1/6)*e^(-x^2/72+o(x^3))-e^(-1/6) =e^(-1/6)(e^(-x^2/72+o(x^3))-1) =e^(-1/6)(-x^2/72) $ Quindi l'ordine risulta essere 2. Ciò che ho fatto ha un senso o è campato per aria? Mi trovo in difficoltà principalmente con gli o piccoli ad esempio quando spezzo le frazioni o simili non so se è completamente giusto ciò che ho fatto. Il problema nasce quando mi chiede di calcolare ...

Ciao a tutti, una semplice domanda sulle curve. Non ho ancora affrontato tale argomento ad analisi, ma purtroppo mi saranno necessarie alcune nozioni per lo svolgimento di alcuni esercizi di Fisica. Ho provato a studiare i concetti basilari delle curve, ma ho pochissimo tempo purtroppo per approfondire. Se ho due curve $gamma_1(t) =[( bcos(bt) + 1) ; c(sin (bt) +2) ]$ $gamma_2(t) =[( bcos(bt) +2 ); (bsin (ct) +2)]$ con $b,c in RR$ $b$ diverso da $c$ Posso dire con tranquillità che $gamma_1$ è un'ellisse, e, ...

Studio delle funzioni Determina a e b in modo che l'equazione f(x)=In(ax^2+bx) rappresenti il grafico della figura. La funzione ha asintoti? Scrivine le equazioni. Scrivi le equazioni delle tangenti in A e B. Vi ringrazio di nuovo in anticipo

Ciao a tutti. Dovrei risolvere il seguente limite: $lim_(x -> 1) (log^2 x * cos(pi x))/(sin(pi/2 x) - 1)$ Nota: il logaritmo ha solo "x" come argomento. Il numeratore nella soluzione viene approssimato con la seguente espressione: $-(x-1)^2$ Mi sapreste dire perchè? Grazie

Ciao a tutti. Sono fermo su questo esercizio e non so come muovermi. Sia \(\displaystyle f(x) = \begin{equation}\begin{cases} 3x^2log|x+1| & \text{, se } x1 \end{cases}\end{equation} \) 1) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile su \(\displaystyle [-2,0] \) ed eventualmente calcolare \(\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx \). 2) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile sull'intervallo ...

Ho trovato questo esercizio che è molto simile allo studio di funzione perchè chiedi di calcolare la derivata prima, seconda, i punti di discontinuità e i segni delle varie derivate. ho diversi dubbi sullo svolgimento quindi chiedo a voi se potete aiutarmi. Grazie $f(x)=|x^2-1|^(1/2) + x$ ho riscritto $f(x)$ a sistema come $f(x)=sqrt(x^2-1)+x$ se $x<=-1 vv x>=1$ $f(x)=sqrt(-x^2+1)+x$ se $-1<x<1$ fino a qui è corretto? poi, mantenendo il sistema, ho calcolato ...

Salve, vorrei sapere qual'è l'applicazione inversa di questa funzione, Grazie. f : R \ {3} → R \ {−2} tale che ∀x ∈ R \ {3}, f(x) = (2x + 1)/(3 − x)

Buongiorno, ho l'equazione $ int_(0)^(x) y(t)dt +y'(x) = e^x $ e la condizione $y(0)=0$. Ho risolto il problema chiamando $Y(x) = int_(0)^(x) y(t)dt$ e, di conseguenza, $Y'(x) = y(x)$. A un certo punto però, dato che l'equazione è di secondo ordine, servono due condizioni iniziali (di Cauchy). Così il professore osserva che $Y'(x)=y(0)=0$, e fin qui nulla di particolare. Per trovare la seconda condizione dice anche che $Y(0)=0$ e qui non capisco: 1) perchè $Y(0)$ vale 0 (forse perchè ...

Buonasera, ho la seguente serie di cui devo calcolare il raggio di convergenza $sum_(n = 0)^infty (1+2/n)^(n^2)x^n$. Utilizzando il criterio della radice ($lim_(n -> infty) root(n)(|(1+2/n)^(n^2)|)$) dovrei ottenere $e^2$ però non capisco quali manipolazioni debba fare per arrivare al limite notevole.

Buonasera, nell'equazione differenziale a variabili separabili $y'=2xy$ mi sono ritrovato ad avere $|y|=e^(x^2)*c$. Quando c'è il valore assoluto, sia che si tratti di differenziali a variabili separabili che di qualsiasi altro tipo, cosa devo fare? Come posso "toglierlo" ed esprimere il risultato senza di esso?

Sia f(x) una funzione derivabile in (0,1) e continua sino agli estremi. Si assuma che |f'(x)| ≤ M per ogni x appartenente (a,b). Si provi la disuguaglianza: \(\displaystyle \left| \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n) \right| \leq \frac{M}{n}. \) Mie idee: Innanzitutto, poichè f'(x) è ilimitata, implica che f(x) è lipschitziana, e dunque presi x e y in [0,1] abbiamo che: |f(x) - f(y)|/(|x - y|) ≤ M. Inoltre poichè b - a = 1 - 0 = 1, per il teorema della ...

Ciao a tutti, sto avendo dei problemi nel valutare se la seguente funzione risulti essere differenziabile oppure no nel punto (0,0): Ho applicato la definizione di differenziabilità e ho provato a a passare in polari per dimostrare che il limite fosse 0, poi ho applicato Tayolor per la funzione arctan(rò^2) ma non riesco ad andare avanti. Grazie in anticipo per la risposta

Salve e auguri a tutti, Dovrei calcolare il limite di questa serie: 1/(1*2^2)+1/(2*2^4)+1/(3*2^6)+1/(4*2^8)+1/(5*2^10) Ne ho risolti di apparentemente simili, semplicemente osservando gli sviluppi di Taylor, però in questo caso non ho proprio idea. C'è qualche calcolo da fare? Mi viene il dubbio di non aver proprio capito il procedimento… Il risultato è ln(4/3). Grazie a chiunque vorrà darmi qualche dritta.

Ciao ragazzi, volevo sapere da voi se i passaggi per la risoluzione di questa serie sono corretti oppure no. $ sum log (n/(n+1)) $ Con n che va da 1 a infinito. Io ho cercato di ragionare in questo modo riscrivendomi l'argomento del logaritmo come: $ log (((1)/(n+1))/n) $ Così ho sfruttato le proprietà dei logaritmi scrivendo: $ log (1)-log((n+1)/n) $ $ log (1)=0 $ $ => -sumlog(1+1/n) ~ 1/n $ E di conseguenza la mia serie, per il criterio del confronto asintotico diverge. Il ragionamento è giusto o ...

Ciao, ho un problema con il criterio del rapporto sulle successioni. Se $lim_(nto+oo) (a_(n+1)/a_n)=l<1$, il teorema dice che $a_nto0$. Ma allora lo stesso limite non dovrebbe essere una forma $0/0$? Non so se la domanda ha senso, ma questo argomento mi risulta un po' contorto. Grazie in anticipo

Credo di avere un dubbio riguardo l'insieme di definizione di una eq. differenziale. Una eq. differenziale è l'eqauzione che lega una funzione y(x) con le sue derivate, ossia: $y^(n)(x)=f(x,y(x),...,y^(n-1)(x))$ in forma normale. $y:I->RR$ derivabile n volte e $f:A->RR$ con $A$ aperto contenuto in $RR^(n+1)$ Prendo un esempio semplice: $y'=y^2$ => $f(x,y)=y^2$ e leggo dall'eserciziario che $f:RRxxRR->RR$ e non riesco a capirne il motivo, infatti qualunque ...

Ciao a tutti e buona vigilia Ho delle difficoltà nello svolgimento di questo esercizio e vorrei una mano. Grazie in anticipo f(x,y)=(xy)^(1/3) Devo trovare le derivate parziali e dove f è differenziabile. Non ho grosse difficoltà nel calcolo delle derivate. per es so che fx(x,y)=(1/3)*y^(1/3)*x^(-2/3) Ma a quanto pare questo non basta Risulta che la derivata parziale rispetto a x vale 0 in (0,0) e non esiste su (0,y1) con y1=! 0, mentre vale quanto detto sopra per x=! da 0. Non riesco a ...

Buongiorno a tutti, mi stavo chiedendo se fosse possibile dimostrare questa proposizione: $f : (0,1) to R $ derivabile$ rArr AA c in (0,1), EE x,y in (0,1) : f'(c) = (f(x)-f(y))/(x-y)$ In realtà, non so per certo nemmeno se sia vera, ma mi pare molto plausibile. Ho pensato di partizionare l'intervallo in tanti intervalli più piccoli e usare il teorema di Lagrange su ogni partizione per dimostrare che esista c, poi per induzione dimostrare che questo valga comunque scelte le partizioni. A questo punto però non saprei come dimostrare che ...

Salve a tutti, sono un utente appena registrato e, non sapendo come risolvere il mio problema, ho deciso di rivolgermi a voi. Il testo recita: "A partire dalla formula $e=\sum_{n=0}^oo 1/{n!}$ è possibile ottenere approssimazioni del valore di e. Prima di tutto stimiamo l’errore che si commette sostituendo il numero e con la somma parziale $S_n=\sum_{k=0}^n 1/{k!}$, cioè la differenza $e-S_n$ quindi vale " Qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi della prima ...

Ciao, ho un dubbio: data la funzione $u_0=x|x| + c$, allora $c\in\mathbb{R}$, $u_0\in C^1[-1,1]$, $u_0\notin C^2[-1,1]$. So che $u_0\in C^0$ e questo si verifica facilmente con limite sinistro e destro in 0, ma non capisco perchè $u_0\in C^1$, grazie.