Carattere serie numerica

[michael046]

Salve ho da studiare il carattere della seguente serie:
$ sum_(n = 1) n log((nsqrtn+1)/(nsqrtn)) $
non so proprio da dove iniziare, qualcuno riesce a darmi qualche dritta?

[pilloeffe]

Ciao michael046,

Partirei col riscrivere la serie proposta nel modo seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n log((nsqrt(n)+1)/(nsqrt(n))) = \sum_{n = 1}^{+\infty} n log(1 + 1/(nsqrt(n))) $

Come si comporta il logaritmo che compare nell'ultima serie scritta per $n \to +\infty $?

[michael046]

tende a 0 mentre la n fuori tende a $ +oo $ giusto?

[michael046]

inoltre $ log (1+1/(nsqrtn)) $ non è asintotico a $1/(nsqrtn)$?
quindi alla fine posso valutare $ sum_(n = 1) n/(nsqrtn) $ che diverge giusto?

[pilloeffe]

"michael046":inoltre $log(1+1/(n sqrt{n})) $ non è asintotico a $1/(n sqrt{n}) $?

Esatto...

"michael046":quindi alla fine posso valutare $\sum_{n = 1}^{+\infty}n/(n sqrt{n}) $ che diverge giusto?

Giusto, l'ultima serie che hai scritto non è altro che la serie armonica generalizzata $ \sum_{n = 1}^{+\infty}1/(n^{\alpha}) $ con $\alpha = 1/2 < 1 $, notoriamente divergente.

[michael046]

Grazie mille