Successione definita per ricorrenza
Salve ragazzi, domani finalmente ho l'esame e quindi devo risolvere gli ultimi dubbi... stavolta si tratta di una successione definita per ricorrenza:
ho da studiare il limite della seguente successione
${ ( a1=lambda ),( a n+1=-log an+an ):}$
(chiedo scusa per come ho scritto a1 e an ma non so mettere i pedici...)
è sbagliato calcolarlo pensando che $lim_(x -> +oo )an=lim_(x -> +oo )a n+1=l$
dove l può essere anche +oo
e quindi fare
$l=-log l + l$ che svolgendolo mi viene $l=1$ che dovrebbe essere il limite giusto?
ho da studiare il limite della seguente successione
${ ( a1=lambda ),( a n+1=-log an+an ):}$
(chiedo scusa per come ho scritto a1 e an ma non so mettere i pedici...)
è sbagliato calcolarlo pensando che $lim_(x -> +oo )an=lim_(x -> +oo )a n+1=l$
dove l può essere anche +oo
e quindi fare
$l=-log l + l$ che svolgendolo mi viene $l=1$ che dovrebbe essere il limite giusto?
Risposte
Si il limite se esiste è necessariamente $l=1$, però devi dimostrare che la successione converge.
mhhh il fatto che se il limite esiste è $=1$ deriva dal mio ragionamento? e inoltre come faccio a dimostrare che la successione converge?
Ciao michael046 ,
Semplicemente con l'underscore... Ti riscrivo qui di seguito il problema proposto ed il relativo codice in modo che tu possa correggere l'OP:
${(a_1=\lambda),(a_{n+1} =-log a_n + a_n):} $
Ovviamente affinché esista $- log a_1 $ dovrà essere $\lambda > 0 $
"michael046":
(chiedo scusa per come ho scritto a1 e an ma non so mettere i pedici...)
Semplicemente con l'underscore... Ti riscrivo qui di seguito il problema proposto ed il relativo codice in modo che tu possa correggere l'OP:
${(a_1=\lambda),(a_{n+1} =-log a_n + a_n):} $
${(a_1=\lambda),(a_{n+1} =-log a_n + a_n):} $
Ovviamente affinché esista $- log a_1 $ dovrà essere $\lambda > 0 $
Ciao pillo, oggi mi hai deluso, aspettavo con ansia la tua risposta che solitamente è sempre molto esaustiva, oggi invece a parte la correzione al codice hai completamente ignorato la risoluzione del mio problema... ahahah
Beh mi dispiace, ma ti stava già rispondendo anto_zoolander, per cui sei in buone mani... 
Prova a scrivere qualche elemento della successione:
$a_1 = \lambda > 0 $
$a_2 = \lambda - log \lambda > 0 $
$a_3 = a_2 - log a_2 = \lambda - log \lambda - log(\lambda - log \lambda) > 0 $
$.$
$.$
$.$
D'altronde $log x < x \quad \AA x > 0 $ e la successione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$a_{n + 1} - a_n = - log a_n = log(1/a_n) $
Quindi...
Prova a scrivere qualche elemento della successione:
$a_1 = \lambda > 0 $
$a_2 = \lambda - log \lambda > 0 $
$a_3 = a_2 - log a_2 = \lambda - log \lambda - log(\lambda - log \lambda) > 0 $
$.$
$.$
$.$
D'altronde $log x < x \quad \AA x > 0 $ e la successione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$a_{n + 1} - a_n = - log a_n = log(1/a_n) $
Quindi...
Eccomi 
la funzione che definisce la successione è $f(x)=x-log(x)$ che è una funzione con le seguenti proprietà
- $f(0,+infty) subset(0,+infty)$
- $x=1$ è un punto di minimo assoluto stretto con $f(1)=1$ minimo
- crescente per $xgeq1$ e decrescente se $0
distinguiamo i possibili dati iniziali;
se $lambda=1$
allora la successione è costante in quanto $a_2=f(a_1)=f(1)=1=a_1$
essendo $a_2=a_1$ segue che $a_(n)$ è costante
per gli altri due casi si può considerare che $f(0,+infty)subset[1,+infty)$(per le considerazioni fatte sul minimo)
se $lambda>1 => log(lambda)>0 => a_2=lambda-log(lambda) a_2
ed essendo $f(1,+infty)subset(1,+infty)$ e $f$ crescente in questo intervallo la successione è decrescente.
Per la decrescenza ed il fatto che è $>1$ segue che è convergente.
se $0
date le considerazioni fatte sul minimo $a_2=f(lambda)>1$
essendo $a_2>1 => log(a_2)>0 => a_3=f(a_2)=a_2-log(a_2) a_3
come vedi per $lambda>1$ la successione decresce felicemente
per $lambda<1$ al primo step la successione si riporta sopra il punto di minimo per poi andarci a finire.
poi sostanzialmente quello è accade per $lambda<1$ è dato dal seguente grafico
la funzione che definisce la successione è $f(x)=x-log(x)$ che è una funzione con le seguenti proprietà
- $f(0,+infty) subset(0,+infty)$
- $x=1$ è un punto di minimo assoluto stretto con $f(1)=1$ minimo
- crescente per $xgeq1$ e decrescente se $0
distinguiamo i possibili dati iniziali;
se $lambda=1$
allora la successione è costante in quanto $a_2=f(a_1)=f(1)=1=a_1$
essendo $a_2=a_1$ segue che $a_(n)$ è costante
per gli altri due casi si può considerare che $f(0,+infty)subset[1,+infty)$(per le considerazioni fatte sul minimo)
se $lambda>1 => log(lambda)>0 => a_2=lambda-log(lambda)
ed essendo $f(1,+infty)subset(1,+infty)$ e $f$ crescente in questo intervallo la successione è decrescente.
Per la decrescenza ed il fatto che è $>1$ segue che è convergente.
se $0
date le considerazioni fatte sul minimo $a_2=f(lambda)>1$
essendo $a_2>1 => log(a_2)>0 => a_3=f(a_2)=a_2-log(a_2)
come vedi per $lambda>1$ la successione decresce felicemente
per $lambda<1$ al primo step la successione si riporta sopra il punto di minimo per poi andarci a finire.
poi sostanzialmente quello è accade per $lambda<1$ è dato dal seguente grafico
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo