Cauchy secondo ordine non lineare
Non mi trovo con la.soluzione di questo sistema di Cauchy e volevo chiedervi una mano.
$ { ( 2y''=e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( 2y''y'=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (d(y')^2)/dx=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=int_()^() y'e^y dx ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=int_()^() e^y dy ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=e^y+C ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( y'=sqrt(e^y+C) ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( dy/sqrt(e^y+C) =1dx),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
Non so se qui l'integrale in dy sia corretto. Va bene includere la costante C?
In quel caso verrebbe:
$ { ( ln(sqrt(e^y+1)-1)-ln(sqrt(e^y+1)+1) =x+C_2),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
E dovrei fare molti passaggi per ricavare y.
$ { ( 2y''=e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( 2y''y'=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (d(y')^2)/dx=y'e^y ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=int_()^() y'e^y dx ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=int_()^() e^y dy ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( (y')^2=e^y+C ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( y'=sqrt(e^y+C) ),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
$ { ( dy/sqrt(e^y+C) =1dx),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
Non so se qui l'integrale in dy sia corretto. Va bene includere la costante C?
In quel caso verrebbe:
$ { ( ln(sqrt(e^y+1)-1)-ln(sqrt(e^y+1)+1) =x+C_2),( y(1)=0 ),( y'(1)=1 ):} $
E dovrei fare molti passaggi per ricavare y.
Risposte
Ciao maxira,
No, perché anche in questo caso la soluzione dell'equazione differenziale deve contenere due costanti, per determinare le quali però è opportuno sfruttare una delle equazioni che hai scritto:
$[y'(x)]^2 = e^{y(x)} + c_1 \implies [y'(1)]^2 = e^{y(1)} + c_1 \implies 1 = e^0 + c_1 \implies c_1 = 0 $
Quindi $ \int (\text{d}y)/sqrt(e^y+c_1) $ diventa semplicemente $ \int (\text{d}y)/sqrt(e^y) $ ed integrando si ha:
$- 2/sqrt{e^y} = x + c_2 $
Imponendo in quest'ultima equazione la condizione iniziale $ y(1) = 0 $ si può determinare la costante $c_2 $:
$- 2/sqrt{e^{y(1)}} = 1 + c_2 \implies - 2/1 = 1 + c_2 \implies c_2 = - 3 $
Perciò, riprendendo dall'equazione $- 2/sqrt{e^y} = x + c_2 $ e sostituendovi il valore $c_2 = - 3 $ precedentemente determinato si ha:
$- 2/sqrt{e^y} = x - 3 $
$ 2/sqrt{e^y} = 3 - x $
$ sqrt{e^y} = 2/(3 - x) $
$ e^y = 4/(3 - x)^2 $
Per cui in definitiva la soluzione del PdC proposto è la seguente:
$y(x) = ln 4 - 2 ln(3 - x) $
Per completezza riporto qui di seguito in spoiler la soluzione generale dell'equazione differenziale per $ c_1 > 0 $
"maxira":
Va bene includere la costante C?
No, perché anche in questo caso la soluzione dell'equazione differenziale deve contenere due costanti, per determinare le quali però è opportuno sfruttare una delle equazioni che hai scritto:
$[y'(x)]^2 = e^{y(x)} + c_1 \implies [y'(1)]^2 = e^{y(1)} + c_1 \implies 1 = e^0 + c_1 \implies c_1 = 0 $
Quindi $ \int (\text{d}y)/sqrt(e^y+c_1) $ diventa semplicemente $ \int (\text{d}y)/sqrt(e^y) $ ed integrando si ha:
$- 2/sqrt{e^y} = x + c_2 $
Imponendo in quest'ultima equazione la condizione iniziale $ y(1) = 0 $ si può determinare la costante $c_2 $:
$- 2/sqrt{e^{y(1)}} = 1 + c_2 \implies - 2/1 = 1 + c_2 \implies c_2 = - 3 $
Perciò, riprendendo dall'equazione $- 2/sqrt{e^y} = x + c_2 $ e sostituendovi il valore $c_2 = - 3 $ precedentemente determinato si ha:
$- 2/sqrt{e^y} = x - 3 $
$ 2/sqrt{e^y} = 3 - x $
$ sqrt{e^y} = 2/(3 - x) $
$ e^y = 4/(3 - x)^2 $
Per cui in definitiva la soluzione del PdC proposto è la seguente:
$y(x) = ln 4 - 2 ln(3 - x) $
Per completezza riporto qui di seguito in spoiler la soluzione generale dell'equazione differenziale per $ c_1 > 0 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo