Geometria e Algebra Lineare

Salve a tutti. Non ho ben chiaro come si calcolino lunghezze di curve su una superficie geometrica, ad esempio sul semipiano superiore di Poincarè $\mathbb{R}^2_+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y>0 \}$ con la metrica $E(x,y)=1, F(x,y)=0, G(x,y)= \frac{1}{y}$. Devo calcolare la lunghezza dei segmenti di retta $y=mx$ con $m \in \mathbb{R}^+$ $0<\epsilon\leq x \leq 1$. Si sa che $l_{\epsilon, 1}( \alpha )=\int_{\epsilon}^1 ||\alpha'(t)|| dt$ e che $||\alpha'(t)||=\sqrt(E(u(t),v(t)) (u'(t))^2+2u'(t)v'(t)F(u(t),v(t))+G(u(t),v(t)) (v'(t))^2 )$, dove ,indicando con $h$ una parametrizzazione di $\mathbb{R}^2_+$, $\alpha'(t)=u(t)h_u+v(t)h_v$. Ora non capisco se posso ...

ho difficoltà a capire per bene il concetto di rango di una matrice. "da una matrice A di tipo m*n, i suoi minori di ordine k sono i determinanti delle sottomatrici che si ottengono da A sopprimendo m-k righe e n-k colonne". ad esempio in una matrice 3*3 del tipo $|(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)|$ quale è il rango? come lo trovo?

Devo calcolare la distanza dalla retta $r$ da A $A(2,1,3)$ retta: ${(2x-y+1=0),(x+z=0)}$ ho proceduto così: trovo il vettore direttore della retta: $x=t$ $y=2t +1$ $z= -t$ $(1,-2,-1)$ condizione di ortogonalità con la retta e passaggio per A: $a*x_0 + b*y_0 +c*z_0 + d =0$ con la condizione che $a=1 , b= -2 , c = -1$ mi trovo $d$ e la forma generale del piano: $x+2y-z-1=0$ ora mi trovo il punto B, intersezione tra piano trovato e ...

Stavo provando a ragionare sulla distanza tra due piani paralleli.. Io so che due piani ax+by+cz+d=0 e a'x+b'y+c'z+d'=0 sono paralleli se (a,b,c)=k(a',b',c') e che se anche d=kd' i due piani sono coincidenti. La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine, o sbaglio? quindi la formula sarà $ |d| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ - $ |d'| / sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $. E' giusto il mio ragionamento? Il mio prof però mi ha dato come formula questa: $ |d-d'| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ ma non ...

Salve ragazzi, nello svolgimento di questo esercizio: " E` vero che L(x^3,4x − 1,2x,x^2 + 1,x^3 − 2,x^3 + 2x − 1,x^4 − 3x^2 + 1) " e un sottospazio di R4[x] di dimensione minore di 6?" ho giustificato il tutto dicendo che in quanto sottospazio di R4[x], L(...) non può' avere dimensione maggiore di n+1 che è la dimensione stessa di R4[x], è giusto il mio ragionamento? E inoltre, posso dire che la dimensione di L(...) è 1 in quanto il vettore generatore è indipendente? Grazie per eventuali ...

ciao a tutti; potreste darmi degli aiuti per quresto esercizio?? si consideri il sistema x+ky-z+3w=0 kx+y+3z-kw=0 x+y+2z-w=0 studiare al variare di k 1)il rango della matrice del sistema 2)e determinare i valori di k che rendono il sistema compatibile e le corrispondenti soluzioni come devo muovermi??

Ciao a tutti, per quanto mi sia sforzato non riesco a capire l'ultimo passaggio della dimostrazione del seguente teorema: A partire da A si ottiene una matrice A', costruita sostituendo la riga j-esima di A con la riga i-esima...fin qui tutto bene. Applico Laplace alla riga j-esima di A' (quale riga j-esima?, forse la riga ottenuta per sostituzione?) Poi non riesco a capire perchè vale: $a_i1\Gamma'_j1 + a_i2\Gamma'_j2 + ... + a_in\Gamma'_jn = a_i1\Gamma_j1 + a_i2\Gamma_j2 + ... + a_in\Gamma_jn$ Qualcuno potrebbe aiutarmi. Grazie in anticipo

Salve a tutti, avrei un dubbio sul prodotto tensoriale (uso la convezione di eistein) ecco a voi: Sia $T\in E_n\otimes E^\star_n $con $E_n$ un campo vettoriale su $ RR $ tale che $T=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j$ ed inoltre sia $vec(v)\in E_n$ talche $vec(v)=v^ie_i$ ora devo eseguire la moltiplicazione $T*vec(v)$ io ho provato a svolgerlo nel seguente modo ma non so se è corretto $T*vec(v)=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*v^ie_i=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*e^i(v)e_i=T_j^i\delta_i^i*\delta^j_iv^ie_i=T_j^iv^je_i$ ma il mio dubbio è il seguete : $T_j^ie_i\otimes e^j=e^jT_j^ie_i$ quest'ultimo passagio è valido??? ...

Data una retta: a sistema: $x+y=0$ $z=0$ si rappresenti il piano passante per l'asse $x$ e parallelo a $r$ io so che l'asse $x$ vale: $y=0$ e $z=0$ il piano $\pi' : a' x_0 + b' y_0 + c' z_0 + d' = 0$ che si riduce a: $\pi' : a' x_0 + d' = 0$ per essere parallelo a $r$ allora: $(a',b',c') = k (a,b,c)$ quindi: $x_0 + (d')/a' =0$ ma non so se va bene o meno.... che ne dite?

Esercizio: Dimostrare che R = ( (−1,2) , (1,2) ) `e un riferimento dello spazio vettoriale R2, calcolare le coordinate del vettore v = (1,0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico. Salve ragazzi , nello svolgimento di questo esercizio ho calcolato le coordinate del vettore v e scritto la matrice di cambiamento di riferimento, ma in precedenza dovevo dimostrare che R è un riferimento,quindi una base di R2. Ho effettuato la ...

ciao ragazzi non mi è ben chiaro come mai considerato un punto 0, i rappresentanti di 2 vettori liberi generici, diciamo OA e OB che hanno stesso modulo,direzione e verso(per definizione di vettori geometrici),sono paralleli.Non sono sovrapposti l'uno sull'altro?e quindi come fanno ad essere paralleli? Probabilmente ho scritto cose stupide ma non riesco a capire questa cosa del parallelismo grazie

siano $a(1,0,2)$,$b(-1,0,2)$ e $c(1,1,1)$. calcolare l'area del parallelogramma individuato da b e c. il risultato è $sqrt(17)$? se è sbagliato, posto il mio procedimento.

Sia B={a,b,c } una base ortogonale di V e siano S e T i sottospazi seguenti: S={ $ v in V $ : v= alfab; alfa appartenente ad $ RR $ } T= { $ w in V $: w(2b + c)= wc} Determinare una base e la dimensione dei sottospazi seguenti: T $ S nn T $ ,S+T. scomporre se è possibile il vettore u=2a-b+c nella forma u=s + t.

ho un esercizio da svolgere che non lo capisco. consideriamo il sottospazio $V$ di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(0,1,0,0),v_2=(0,0,1,0),v_3=(1,0,0,1)$ e sia $B=(v_1,v_2,v_3)$. sia inoltre $f_h:V->V$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base $B$ è: $M_h=((h,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$ con $hinR$ sia $W=Imf_2$ determinare gli eventuali valori di $h$ per cui $f_(h|W)$ è iniettiva. quel simbolo se non sbaglio indica la restrizione ...

sto cercando di risolvere un esercizio: nello spazio $S_(\3)$ sono date le rette: $r_(\1)={(x=t+1),(y=2t+3),(z=-t+5):}$ $r_(\2)={(x-y=5),(x+2y+z=2):}$ determinare la retta $s$ passante per $P(1,1,1)$, ortogonale a $r_(\1)$ e incidente $r_(\2)$ ho qualche perplessità sul come procedere. l'angolo compreso fra $s$ e $r_(\1)$ deve essere uguale a $pi/2$ o a $3/2pi$ mentre quello fra $s$ e $r_(\2)$ diverso da ...

Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria. Vorrei preparare l'esame di Geometria e Algebra ma mi trovo in difficoltà in quanto l'anno scorso non ho seguito nulla del corso, della matematica del liceo ricordo poco e niente. Ho acquistato il testo del corso di GEOMETRIA ma pur mettendomi d'intenzione, già dopo qualche pagina inizio a perdere il filo del discorso e non capire più nulla. Chiedo a voi che siete sicuramente più esperti di me dei consigli su come posso iniziare a studiare questo ...

salve mi trovo a risolvere questo esercizio di geometria determinare l'equazione della retta $r$ passante per $A(1,0,0)$, parallela al piano $x-y+3z=0$ e complanare alla retta ${(x-z+1=0),(y-2z-2=0):}$ ho una serie di elementi che mi frullano in testa ma non riesco a congiungerli. dunque innanzitutto affinché una retta sia complanare ad un'altra retta deve appartenere allo stesso piano.ma questo in termini matematici come può essere esprimibile?inoltre azzardo ad un ...

Sia $H$ uno spazio di Hilbert e sia $S = \{e_i\}_{i=1}^{+\infty} \subset H$ un sistema ortonormale (numerabile) massimale, quindi $H = \bar{"span" S}$ (il soprassegno indica la chiusura). In queste ipotesi, per ogni $h \in H$ risulta $h = \sum_{i=1}^{+\infty} \alpha_i e_i$ con $\alpha_i = \langle h, e_i \rangle$, di conseguenza $||h||^2 = \sum_{i=1}^{+\infty} \langle h, e_i \rangle^{2}$ identità di Parseval (1) e fin qui ci siamo... Sia $V_k = "span" \{e_1, e_2, \ldots, e_k\}$ $k \in \mathbb{N}$, e sia $h_k$ la proiezione ortogonale di $h$ su $V_k$, ...

salve posto un esercizio svolto da poco della quale non sono assolutamente certo della correttezza dato che è da pochi giorni che mi sto avvicinando alla geometria in $RR^3$ sia $F=(1,0,1)$, la retta $r:{(x+y+1=0),(x-z+1=0):}$ e la retta $s:{(y-2z-1=0),(x+z+1=0):}$ determinare la retta passante pr $F$ ed incidente ad $r$ ed $s$. per calcolarmi questa retta ho calcolato il punto improprio di $F$ successivamente ho considerato il fascio di ...

salve a tutti ho dei problemi a risolvere questa tipologia di esercizio: Determinare l'affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ che lascia fisso $P=(11)$ e manda le rette $r_1:x+y+2=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y-1=0$. quello che so è che un affinità è una applicazione biettiva da uno spazio affine in se stesso e in $A^2(RR)$ può essere determinata univocamente da tre punti,con le corrispettive immagini. Inoltre conserva il ...