Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Stavo provando a ragionare sulla distanza tra due piani paralleli.. Io so che due piani ax+by+cz+d=0 e a'x+b'y+c'z+d'=0 sono paralleli se (a,b,c)=k(a',b',c') e che se anche d=kd' i due piani sono coincidenti. La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine, o sbaglio? quindi la formula sarà $ |d| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ - $ |d'| / sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $. E' giusto il mio ragionamento? Il mio prof però mi ha dato come formula questa: $ |d-d'| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ ma non ...
Salve ragazzi, nello svolgimento di questo esercizio:
" E` vero che L(x^3,4x − 1,2x,x^2 + 1,x^3 − 2,x^3 + 2x − 1,x^4 − 3x^2 + 1) " e un sottospazio di R4[x] di dimensione minore di 6?"
ho giustificato il tutto dicendo che in quanto sottospazio di R4[x], L(...) non può' avere dimensione maggiore di n+1 che è la dimensione stessa di R4[x], è giusto il mio ragionamento? E inoltre, posso dire che la dimensione di L(...) è 1 in quanto il vettore generatore è indipendente?
Grazie per eventuali ...
ciao a tutti; potreste darmi degli aiuti per quresto esercizio??
si consideri il sistema
x+ky-z+3w=0
kx+y+3z-kw=0
x+y+2z-w=0
studiare al variare di k
1)il rango della matrice del sistema
2)e determinare i valori di k che rendono il sistema compatibile e le corrispondenti soluzioni
come devo muovermi??
Ciao a tutti, per quanto mi sia sforzato non riesco a capire l'ultimo passaggio della dimostrazione del seguente teorema:
A partire da A si ottiene una matrice A', costruita sostituendo la riga j-esima di A con la riga i-esima...fin qui tutto bene.
Applico Laplace alla riga j-esima di A' (quale riga j-esima?, forse la riga ottenuta per sostituzione?)
Poi non riesco a capire perchè vale:
$a_i1\Gamma'_j1 + a_i2\Gamma'_j2 + ... + a_in\Gamma'_jn = a_i1\Gamma_j1 + a_i2\Gamma_j2 + ... + a_in\Gamma_jn$
Qualcuno potrebbe aiutarmi. Grazie in anticipo
Salve a tutti, avrei un dubbio sul prodotto tensoriale (uso la convezione di eistein) ecco a voi:
Sia $T\in E_n\otimes E^\star_n $con $E_n$ un campo vettoriale su $ RR $ tale che $T=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j$ ed inoltre sia
$vec(v)\in E_n$ talche $vec(v)=v^ie_i$ ora devo eseguire la moltiplicazione $T*vec(v)$ io ho provato a svolgerlo nel seguente modo ma non so se è corretto
$T*vec(v)=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*v^ie_i=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*e^i(v)e_i=T_j^i\delta_i^i*\delta^j_iv^ie_i=T_j^iv^je_i$
ma il mio dubbio è il seguete :
$T_j^ie_i\otimes e^j=e^jT_j^ie_i$
quest'ultimo passagio è valido??? ...
Data una retta:
a sistema:
$x+y=0$
$z=0$
si rappresenti il piano passante per l'asse $x$ e parallelo a $r$
io so che l'asse $x$ vale:
$y=0$ e $z=0$
il piano $\pi' : a' x_0 + b' y_0 + c' z_0 + d' = 0$
che si riduce a:
$\pi' : a' x_0 + d' = 0$
per essere parallelo a $r$ allora: $(a',b',c') = k (a,b,c)$
quindi: $x_0 + (d')/a' =0$
ma non so se va bene o meno.... che ne dite?
Esercizio:
Dimostrare che R = ( (−1,2) , (1,2) ) `e un riferimento dello spazio vettoriale R2, calcolare le coordinate del vettore v = (1,0) in tale riferimento e scrivere la matrice di cambiamento di riferimento da R al riferimento canonico.
Salve ragazzi , nello svolgimento di questo esercizio ho calcolato le coordinate del vettore v e scritto la matrice di cambiamento di riferimento, ma in precedenza dovevo dimostrare che R è un riferimento,quindi una base di R2. Ho effettuato la ...
ciao ragazzi non mi è ben chiaro come mai considerato un punto 0, i rappresentanti di 2 vettori liberi generici, diciamo OA e OB che hanno stesso modulo,direzione e verso(per definizione di vettori geometrici),sono paralleli.Non sono sovrapposti l'uno sull'altro?e quindi come fanno ad essere paralleli?
Probabilmente ho scritto cose stupide ma non riesco a capire questa cosa del parallelismo grazie
Sia B={a,b,c } una base ortogonale di V e siano S e T i sottospazi seguenti:
S={ $ v in V $ : v= alfab; alfa appartenente ad $ RR $ }
T= { $ w in V $: w(2b + c)= wc}
Determinare una base e la dimensione dei sottospazi seguenti:
T $ S nn T $ ,S+T.
scomporre se è possibile il vettore u=2a-b+c nella forma u=s + t.
ho un esercizio da svolgere che non lo capisco.
consideriamo il sottospazio $V$ di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(0,1,0,0),v_2=(0,0,1,0),v_3=(1,0,0,1)$ e sia $B=(v_1,v_2,v_3)$. sia inoltre $f_h:V->V$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base $B$ è:
$M_h=((h,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
con $hinR$
sia $W=Imf_2$ determinare gli eventuali valori di $h$ per cui $f_(h|W)$ è iniettiva.
quel simbolo se non sbaglio indica la restrizione ...
sto cercando di risolvere un esercizio:
nello spazio $S_(\3)$ sono date le rette:
$r_(\1)={(x=t+1),(y=2t+3),(z=-t+5):}$
$r_(\2)={(x-y=5),(x+2y+z=2):}$
determinare la retta $s$ passante per $P(1,1,1)$, ortogonale a $r_(\1)$ e incidente $r_(\2)$
ho qualche perplessità sul come procedere.
l'angolo compreso fra $s$ e $r_(\1)$ deve essere uguale a $pi/2$ o a $3/2pi$ mentre quello fra $s$ e $r_(\2)$ diverso da ...
Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria. Vorrei preparare l'esame di Geometria e Algebra ma mi trovo in difficoltà in quanto l'anno scorso non ho seguito nulla del corso, della matematica del liceo ricordo poco e niente. Ho acquistato il testo del corso di GEOMETRIA ma pur mettendomi d'intenzione, già dopo qualche pagina inizio a perdere il filo del discorso e non capire più nulla. Chiedo a voi che siete sicuramente più esperti di me dei consigli su come posso iniziare a studiare questo ...
salve mi trovo a risolvere questo esercizio di geometria
determinare l'equazione della retta $r$ passante per $A(1,0,0)$, parallela al piano $x-y+3z=0$ e complanare alla retta ${(x-z+1=0),(y-2z-2=0):}$
ho una serie di elementi che mi frullano in testa ma non riesco a congiungerli. dunque innanzitutto affinché una retta sia complanare ad un'altra retta deve appartenere allo stesso piano.ma questo in termini matematici come può essere esprimibile?inoltre azzardo ad un ...
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e sia $S = \{e_i\}_{i=1}^{+\infty} \subset H$ un sistema ortonormale (numerabile) massimale, quindi $H = \bar{"span" S}$ (il soprassegno indica la chiusura). In queste ipotesi, per ogni $h \in H$ risulta
$h = \sum_{i=1}^{+\infty} \alpha_i e_i$
con $\alpha_i = \langle h, e_i \rangle$, di conseguenza
$||h||^2 = \sum_{i=1}^{+\infty} \langle h, e_i \rangle^{2}$ identità di Parseval (1)
e fin qui ci siamo... Sia $V_k = "span" \{e_1, e_2, \ldots, e_k\}$ $k \in \mathbb{N}$, e sia $h_k$ la proiezione ortogonale di $h$ su $V_k$, ...
salve posto un esercizio svolto da poco della quale non sono assolutamente certo della correttezza dato che è da pochi giorni che mi sto avvicinando alla geometria
in $RR^3$ sia $F=(1,0,1)$, la retta $r:{(x+y+1=0),(x-z+1=0):}$ e la retta $s:{(y-2z-1=0),(x+z+1=0):}$
determinare la retta passante pr $F$ ed incidente ad $r$ ed $s$.
per calcolarmi questa retta ho calcolato il punto improprio di $F$ successivamente ho considerato il fascio di ...
salve a tutti
ho dei problemi a risolvere questa tipologia di esercizio:
Determinare l'affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ che lascia fisso $P=(11)$ e manda le rette $r_1:x+y+2=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y-1=0$.
quello che so è che un affinità è una applicazione biettiva da uno spazio affine in se stesso e in $A^2(RR)$ può essere determinata univocamente da tre punti,con le corrispettive immagini.
Inoltre conserva il ...
Buongiorno a tutti.
Ho il piano cartesiano di riferimento e due oggetti 1 e 2 , con coordinate (x1,y1) e (x2,y2) , e angoli $ psi_1 $ e $ psi_2 $ rispetto all'asse x del piano di riferimento. Ora, sugli appunti ho scritto che le posizioni relative dei due oggetti (rispetto al sistema di riferimento dell'oggetto 1) sono:
$ x_r=cos psi_1 (x_2-x_1)+sin psi_1(y_2-y_1) $
$ y_r=cos psi_1 (y_2-y_1)-sin psi_1(y_2-y_1) $
$ psi_r=psi_2-psi_1 $
Qualcuno sa spiegarmi perchè vengono così queste espressioni ?
Sia $f: RR^(3)->RR^(3)$ definita da $f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)$. Determinare la matrice che rappresenta f rispetto alla base $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$ e $v_3=(0,-1,1)$.
Io ho trovato la mtrice A rispetto alla base canonica e sarebbe $A=( (1 , -1 , 0), (1 , -1 , 1), (0 , 0, 2))$
Ora calcolo $f(v_1)=(1,2,2)$, $f(v_2)=(-1,0,2)$ e $f(v_3)=(1,2,2)$.
Ma la matrice $M=( (1 , -1 , 1), (2 , 0 , 2), (2 , 2 , 2) )$ non è invertibile!!
Come mai?Dov'è che sbaglio?Vi sarei molto grata se mi aiutaste...
Sia $\alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ una curva parametrizzata secondo la lunghezza d'arco. Si definisca $\phi(s,v):\alpha(s)+v b(s)$ con $s \in [0,1]$ e $v \in (-\epsilon,\epsilon)$ per $\epsilon>0$ e $b(s)$ è il vettore binormale di $\alpha(s)$.
Si provi che se $\epsilon$ è piccolo allora $S:=\phi([0,1] \times (-\epsilon,\epsilon))$ è una superficie regolare.
Per fare ciò, ho pensato di far vedere quando $\phi$ è una parametrizzazione. Risulta che:
$\frac{\partial \phi}{\partial s}(s,v)=t(s)-v \tau (s) n(s)$
$\frac{\partial \phi}{\partial v}(s,v)=b(s)$
Visto che ...
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