Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti!
Ho studiato il teorema di Cayley-Hamilton e mi è stato chiesto di descrivere una procedura per determinare l'aggiunta di una matrice assegnata avvalendosi di tale teorema.
Tuttavia non ho alcuna idea introduttiva in quanto non so come collegare la definizione di matrice aggiunta con la tesi del teorema (la matrice assegnata verifica il polinomio matriciale associato al polinomio caratteristico).
Qualcuno di voi ha qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ciao a tutti, sto studiando il concetto di copertura lineare e tra le proprietà il libro riporta che:
"L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale contente A, ovvero che L(A) è sempre contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente A"
e aggiunge che (una specie di dimostrazione):
"E' immediato osservare che ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A e quindi anche L(A)"
Non mi è chiaro perchè "ogni sottospazio ...
fissato un riferimento non cartesiano in cui le lunghezze di $\vec i$ e $\vec j$ siano rispettivamente 2 e 1 e sia 3/4 $\pi$ l'angolo formato da $\vec i$ e $\vec j$ , si visualizzino i punti A=(1,2) e B=(-1,1). scrivere poi l'equazione della retta $\varphi$ passante per l'origine e parallela a quella contenente A e B , determinare le componenti di un versore parallelo a $\varphi$. quali sono le nuove coordinate di A e B in un ...
Salve a tutti , vi scrivo per chiedervi qualcosa sui vettori linearmente indipendenti, io per verificare se due vettori lo sono faccio il sistema e non il determinante se il risultato mi dà zero so che sono lin. indip . però volevo sapere quando mi trovo più incognite che equazioni o più equazioni che incognite nel sistema posso subito dire che i vettori sono lin. dip????
Si consideri, per $P \in S^2$, la proiezione $\pi_P : \mathbb{R}^3 \rightarrow T_P S^2$ sul piano tangente a $S^2$ in $P$.
Sia $X : S^2 \rightarrow TS^2$ il campo di vettori su $S^2$ dato da $X(P)=\pi_P (e_3)$.
I due punti singolari del campo sono $e_3$ e il suo opposto visto che sono gli unici vettori sulla sfera che risultano ortogonali al loro piano tangente.
Devo verificare che il loro indice è 1.
Ho pensato di scegliere come curva l'equatore perchè lì il campo è ...
Salve,
qualcuno mi sa dire come si esprime il prodotto tensoriale tra due matrici ...
es.
$ B_1=( ( I_2 , I_2 ),( A_4 , A_4 ) ) $
Dove $ I_2 $ è la matrice identica di ordine 2 , e la matrice $ A_4 $ è una matrice diagonale del così definita :
$ A_4 =( ( 1 ,0 ),( 0 , -i ) ) $ dove $ i=sqrt(-1) $
Diciamo che voglio il prodotto tensoriale tra la matrice $ B_1 $ e la matrice $ I_1 $ che è la matrice identica di ordine 1
Ciao a tutti, ho un esercizio che non riesco a capire, esso recita cosi
trovare $ trovare A,B in M(2 xx 2,R) tali che ( ( C , A ),( B , D ) ) e ( ( C , A ),( B , D' ) ) $ siano di rango 3.
Dove $ C=( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) D=( ( 3 , 0 ),( 0 , 4 ) ) D'=( ( 3 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
non capisco come devo risolverlo...a me sembra, poi, che essendo matrici 2x2 il max rango che possa venire sia 2, quindi non ci sarà mai un rango 3....sbaglio?
Salve a tutti,
vorrei sapere se esiste qualche criterio per determinare la massima molteplicità geometrica associata agli autovalori di una matrice, senza però calcolarli.
Cercando comunque di fare meno operazioni possibile.
ho un problema con il seguente esercizio.
mi si chiede di calcolare una base del nucleo data l'applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla relazione:
$f(((1,-1),(-1,1)))=((1,0),(3,-1))$
$f(((-1,2),(0,1)))=((-1,1),(-4,1))$
$f(((0,-1),(0,0)))=((0,-1),(1,0))$
per calcolare il nucleo devo risolvere il sistema $AX=0$
osservo che le matrici $((1,-1),(-1,1)),((-1,2),(0,1)),((0,-1),(0,0))$ formano una base di $V$
devo quindi trovare la matrice associata all'applicazione lineare.
devo allora calcolarmi le componenti delle immagini della base di ...
Salve a tutti,
Avrei il seguente problema, capire la periodicità dell'esponenziale complesso...
O meglio si può dire che la periodicità dell'esponenziale complesso è uguale a quella dell'esponenziale, se così fosse basta la semplice definizione di periodicità di una funzione ...
Per capirci meglio ho la seguente DFT
$ sum_(k = 0)^(3)f_jw_8^(-jk) +sum_(k = 0)^(3)f_(j+4)w_8^(-(j+4)k) $
sapendo che
$ w_N = e^((2pi i)/N) $
sapendo ovviamente che i= $ sqrt(-1) $
Sfruttando la periodicità dell'esponenziale complesso si ha ...
Grazie ...
Si consideri $S$ superficie compatta orientata in $\mathbb{R}^3$ non omeomorfa ad una sfera.
Si provi che su $S$ vi sono punti ellittici, iperbolici e a curvatura nulla.
Per il teorema di Gauss-Bonnet, vale che $\int_S K = 2\pi \chi(S)$. Visto che $S$ non è una sfera, $\chi(S) <=0$, quindi sicuramente $K$ non può essere positivo in ogni punto della supericie. Per arrivare alla tesi devo poter dire che non può risultare neanche ...
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:
Sia assegnato: W = L((-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 1), (1, -1, 0, 1))
Stabilire quali dei seguenti vettori appartiene a W:
(-2, 1, 1, 0)
(2, -1, 1, 2)
Ecco il mio procedimento:
So che la dimensione di W è 3 e che una base di W è ad esempio Bw = ((-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 1), (1, -1, 0, 1)).
Ho costruito la matrice che ha tra le proprie righe i vettori della base trovata e come prima riga uno dei vettori assegnati (uno per volta). Se il rango della matrice ...
ho il seguente spazio vettoriale
$V={((1,-1),(-1,1)),((1,-1),(1,-1)),((-1,3),(-1,3))}$
devo calcolare una base del seguente spazio vettoriale.
per calcolarla è giusto scrivere le matrici unite in forma matriciale e poi calcolarmi il rango?
cioè mi scrivo la matrice $((1,-1,-1,1),(1,-1,1,-1),(-1,3,-1,3))$
è giusto come ragionamento?
ho il seguente spazio e devo calcolare la dimensione
$V=(((-1,2),(0,1)),((0,-1),(0,0)),((1,-1),(1,-1)),((-1,3),(-1,3))$
se mi scrivo la matrice ottenuta mettendo per riga i valori ottengo una matrice M avente rango pari a 4.considerando allora la formula $dimV=4-rank(M)=4-4=0$.ottengo che la dimensione è nulla.è una cosa possibile?
Ciao a tutti ragazzi,
ho questo esercizio, ho l'insieme A composto da x,y,z, appartenenti ad R^3 tale che x+2y+z=0. Devo vedere se è sottospazio vettoriale e se lo è trovarne una sua base...allora, io per verificare se è sottospazio vettoriale devo dimostrare che il vettore nulla appartiene all'insieme, e questo appartiene, che è chiuso per la somma e per il prodotto per uno scalare, ma questi non capisco come dimostrarli, e inoltre non capisco neanche come trovare una sua base...mi potreste ...
mi sono imbattuto in un esercizio che non ho capito esattamente se ho sbagliato io oppure altro.
mi si chiede di studiare la diagonalizzabilità delle matrici di $W$ con $W={X in V_(-1) |$ $XC$ è multiplo di $C}$ dove $V_(-1)={X in RR^(2,2) | A_(-1)X=-XA_(-1)}$ con $A_h=((1,1),(1,h))$ e $C=((1),(1))$
ora affinché $XC$ sia multiplo di $C$ deve valere $XC=kC$ con $k$ scalare in $R$.esatto?se deve valere questa ...
Salve sono nuovo del forum ed avrei il seguente dilemma,
Come si calcola il prodotto di convoluzione tra due vettori, il libro recita ( ahime senza formule ne definizioni matematiche :"l’o- perazione di convoluzione tra due vettori a e b, trasforma il vettore a in un altro in cui ciascuna componente `e ottenuta come media pesata della rispettiva componente e di quelle consecutive, laddove il peso `e dato dalle componenti del vettore b." Non si capisce molto in verità...
Allora il problema è ...
dati i sottospazi $V=<(0,0,1,1),(1,0,0,-1)>$ e $W=<(1,1,0,1),(1,1,-1,0)>$ di $R^4$ determinare una base di V$nn$W.
so come fare il procedimento ma non capisco come trovare l'elemento generico dei due sottospazi.
non ho capito esattamente cosa vuol il seguente esercizio:
sia $f_h:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:
$M=((1,2,3,1),(1,1,h,0),(1,0,1,-1),(1,0,1,1-h))$
determinare la matrice associata a $f_h$ rispetto alla base
$B=(1,0,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,1),(0,1,0,0)$
mi è chiaro cos'è una matrice associata all'applicazione e via discorrendo ma non mi è chiaro se il problema vuole calcolata la matrice $M^(E,B)(f_h)$ oppure la matrice $M^(B,B)(f_h)$ dove $E=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di ...
Salve a tutti. Avrei bisogno di suggerimenti riguardo al seguente problema.
X è una matrice reale di dim nxk. Indico con X' la sua trasposta e suppongo che X'X sia invertibile.
Sotto quali condizioni sulla matrice X posso dire che gli elementi diagonali di (X'X)^-1 sono uguali ai reciproci degli elementi diagonali di X'X ?
(ad esempio mi basterebbe avere X'X matrice triangolare)
Spero si capisca, sono nuova e non ho capito come usare il codice.
Grazie a tutti
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