Matrice del cambiamento di base
Sia $f: RR^(3)->RR^(3)$ definita da $f(x,y,z)=(x-y,x-y+z,2z)$. Determinare la matrice che rappresenta f rispetto alla base $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$ e $v_3=(0,-1,1)$.
Io ho trovato la mtrice A rispetto alla base canonica e sarebbe $A=( (1 , -1 , 0), (1 , -1 , 1), (0 , 0, 2))$
Ora calcolo $f(v_1)=(1,2,2)$, $f(v_2)=(-1,0,2)$ e $f(v_3)=(1,2,2)$.
Ma la matrice $M=( (1 , -1 , 1), (2 , 0 , 2), (2 , 2 , 2) )$ non è invertibile!!
Come mai?Dov'è che sbaglio?Vi sarei molto grata se mi aiutaste...
Io ho trovato la mtrice A rispetto alla base canonica e sarebbe $A=( (1 , -1 , 0), (1 , -1 , 1), (0 , 0, 2))$
Ora calcolo $f(v_1)=(1,2,2)$, $f(v_2)=(-1,0,2)$ e $f(v_3)=(1,2,2)$.
Ma la matrice $M=( (1 , -1 , 1), (2 , 0 , 2), (2 , 2 , 2) )$ non è invertibile!!
Come mai?Dov'è che sbaglio?Vi sarei molto grata se mi aiutaste...
Risposte
Scusate ma non riesco a scrivere correttamente la matrice...non capisco perchè...
Ciao.
Dunque, mi manca un'informazione preziosa: tu vuoi la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base che indichi nel dominio, nel codominio, entrambi?
Voglio dire: devi specificare tanto una base del dominio, tanto una del codominio.
Comunque, essendo un endomorfismo, immagino tu stia mettendo la stessa base (appunto, $(v_1, v_2, v_3)$) sia nel dominio che nel codominio.
Hai studiato un po' di teoria?
Sai scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base nuova? Ti ricordi come sono fatte le matrici associate al medesimo endomorfismo rispetto a basi diverse? C'è una relazione abbastanza semplice, che dovresti ricordare.
Infine, ti faccio una domanda: sapresti dirmi chi è la $M$ che hai scritto tu? Che cosa rappresenta? Diciamo che non è del tutto sbagliata; il discorso è collegato con la prima domanda che ti ho posto.
Ancora: ti sorprende il fatto che $M$ sia singolare? Ti faccio osservare che anche $A$ lo è... Ci stupisce? Come pensi che sarà la matrice che troverai alle fine dell'esercizio?
Comincia a rispondere a questa marea di domande, così ti chiarisci un po' le idee
P.S. Io vedo tutto correttamente.
Dunque, mi manca un'informazione preziosa: tu vuoi la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base che indichi nel dominio, nel codominio, entrambi?
Voglio dire: devi specificare tanto una base del dominio, tanto una del codominio.
Comunque, essendo un endomorfismo, immagino tu stia mettendo la stessa base (appunto, $(v_1, v_2, v_3)$) sia nel dominio che nel codominio.
Hai studiato un po' di teoria?
Sai scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base nuova? Ti ricordi come sono fatte le matrici associate al medesimo endomorfismo rispetto a basi diverse? C'è una relazione abbastanza semplice, che dovresti ricordare.
Infine, ti faccio una domanda: sapresti dirmi chi è la $M$ che hai scritto tu? Che cosa rappresenta? Diciamo che non è del tutto sbagliata; il discorso è collegato con la prima domanda che ti ho posto.
Ancora: ti sorprende il fatto che $M$ sia singolare? Ti faccio osservare che anche $A$ lo è... Ci stupisce? Come pensi che sarà la matrice che troverai alle fine dell'esercizio?
Comincia a rispondere a questa marea di domande, così ti chiarisci un po' le idee
P.S. Io vedo tutto correttamente.
Si hai capito bene....cerco la base $v_1,v_2,v_3$ in domino e codominio.
Giusto...anche la matrice $A$ lo è!ciò significa che la funzione non è suriettiva...e quindi anche la matrice $B$ che dovrei trovare io deve essere di rango 2..
Io ricordo da quello che avevo studiato che $B=M^(-1)AM$ perchè in questo modo la prima matrice opera in modo che inserendo le basi di v nel dominio le ricaccia nel codominio come basi di e, la matrice $A$ va da e a e e la matrice $M$ prende la base di e come dominio e ci da la base di v come codominio....ok lo so che ora mi richiamaerai per come ho espresso male questo concetto...ti lascio fare;)!
quindi la $M$ che ho scritto io ha la base v come dominio e la base canonica come codominio....ora devo trovare la matrice che fa l'inverso...se la funzione era biiettiva forse potevo fare ciò che volevo fare e cioè trovare l'inversa...ma da come mi hai fatto capire qui c'è un altro modo di trovare la quest'altra matrice giusto..?ora per capire come si faccia ho bisogno o di altre domandine che mi spronano di più o di altro tempo per rifletterci da sola..
Grazie comunque perchè mi hai già chiarito un po' le idee...
Giusto...anche la matrice $A$ lo è!ciò significa che la funzione non è suriettiva...e quindi anche la matrice $B$ che dovrei trovare io deve essere di rango 2..
Io ricordo da quello che avevo studiato che $B=M^(-1)AM$ perchè in questo modo la prima matrice opera in modo che inserendo le basi di v nel dominio le ricaccia nel codominio come basi di e, la matrice $A$ va da e a e e la matrice $M$ prende la base di e come dominio e ci da la base di v come codominio....ok lo so che ora mi richiamaerai per come ho espresso male questo concetto...ti lascio fare;)!
quindi la $M$ che ho scritto io ha la base v come dominio e la base canonica come codominio....ora devo trovare la matrice che fa l'inverso...se la funzione era biiettiva forse potevo fare ciò che volevo fare e cioè trovare l'inversa...ma da come mi hai fatto capire qui c'è un altro modo di trovare la quest'altra matrice giusto..?ora per capire come si faccia ho bisogno o di altre domandine che mi spronano di più o di altro tempo per rifletterci da sola..
Grazie comunque perchè mi hai già chiarito un po' le idee...
"melli13":
Si hai capito bene....cerco la base $v_1,v_2,v_3$ in domino e codominio.
Bene, adesso il testo dell'esercizio è chiaro.
"melli13":
Giusto...anche la matrice $A$ lo è!ciò significa che la funzione non è suriettiva...e quindi anche la matrice $B$ che dovrei trovare io deve essere di rango 2.. Io ricordo da quello che avevo studiato che $B=M^(-1)AM$ perchè in questo modo la prima matrice opera in modo che inserendo le basi di v nel dominio le ricaccia nel codominio come basi di e, la matrice $A$ va da e a e e la matrice $M$ prende la base di e come dominio e ci da la base di v come codominio....ok lo so che ora mi richiamaerai per come ho espresso male questo concetto...ti lascio fare;)!
Mmm, sì, in effetti non è chiarissimo
Allora, facciamo così. Breve riassunto. Prendi uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, (puoi pensare tranquillamente a un $\RR^{n}$) e sia $\mathcal{B}$ una base di $V$. Ora sia $f$ un endomorfismo, cioè una mappa lineare $f: V \to V$. Consideriamo la base $\mathcal{B}$ sia per il dominio che per il codominio. Come si trova la matrice associata a $f$ rispetto alla base $\mathcal{B}$?
Semplice: si mettono in colonna le componenti dei vettori che sono le immagini dei vettori della base: più brevemente, si mettono in colonna le immagini della base.
Ok fin qui? Adesso: se tu hai un'altra base $\mathcal{C}$ di $V$ puoi chiederti come è fatta la matrice $B$ che rappresenta lo stesso endomorfismo scritta nella nuova base. Ebbene, il legame è quello che scrivi tu: indichiamo con $P$ la matrice del cambiamento di base (quella che ha sulle colonne le componenti dei vettori della base nuova date rispetto a quella vecchia) e con $A$ è la matrice che rappresenta $f$ nella base $\mathcal{B}$. Allora la matrice $B=P^{-1}AP$. Osserva che $P$ è invertibile (perchè?) quindi quanto scritto ha senso.
Di solito, le matrici che sono legate come $A$ e $B$ in questo caso si chiamano simili, proprio perchè rappresentano lo stesso endomorfismo osservato da punti di vista "diversi".
Ora la matrice $A$ che hai scritto tu rappresenta il tuo $f$ rispetto alla base canonica. Adesso devi scrivere $P$, cioè la matrice che realizza il cambiamento di base; poi semplicemente farai $P^{-1}AP$ e troverai la matrice richiesta dall'esercizio.
Ancora, si può dimostrare, e ti invito a farlo, che matrici simili hanno lo stesso determinante. Quindi, nel tuo caso, è ragionevole aspettarsi una matrice $B$ che sia singolare, proprio perchè $A$ lo è! Hai capito?
Ti prego di meditare a lungo su queste cose, sono molto importanti ed è bene che tu non abbia il minimo dubbio.
"melli13":
quindi la $M$ che ho scritto io ha la base v come dominio e la base canonica come codominio....
Esatto; non è una bella cosa, questa. Per carità, uno è liberissimo di fare come crede, ma generalmente è bene avere la matrice scritta rispetto alla medesima base nel dominio e nel codominio. Questo è fondamentale, soprattutto, se si parla di autovalori, autovettori, diagonalizzabilità.
"melli13":
Grazie comunque perchè mi hai già chiarito un po' le idee...
Prego. Spero ora sia chiaro. In caso, non farti scrupolo e posta pure i tuoi dubbi.
Grazie ancora...!ma quindi ora come faccio a trovarmi la matrice con la base canonica come dominio e la base v come codominio?
!ma quindi ora come faccio a trovarmi la matrice con la base canonica come dominio e la base v come codominio?
Tu che dici? Hai qualche idea?
Si tratta di mettere in colonna le componenti dell'immagine dei vettori della base canonica: tali componenti devono essere date rispetto a...
Si tratta di mettere in colonna le componenti dell'immagine dei vettori della base canonica: tali componenti devono essere date rispetto a...
....alla base v.
Quindi $f(e_1)=(1,1,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1,1)+x_3(0,-1,1)$. Ne segue che $f(e_1)=(1,0,-1)$ nella base di v.
Applico lo stesso procedimento a $f(e_2), f(e_3)$ e così ottengo la matrice $M^(-1)=((1,-1,0),(0,0,3/2),(-1,1,1/2))$
Ma ora come faccio per capire se la matrice B è uguale a $M^(-1)AM$ oppure a $MAM^(-1)$?
Furbamente, ho eseguito entrambi i calcoli e nel primo caso la matrice ha rango 1 e nel secondo ha rango 2...quindi opterei per la seconda...ma perchè?io avrei scommesso più sulla prima...
Quindi $f(e_1)=(1,1,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1,1)+x_3(0,-1,1)$. Ne segue che $f(e_1)=(1,0,-1)$ nella base di v.
Applico lo stesso procedimento a $f(e_2), f(e_3)$ e così ottengo la matrice $M^(-1)=((1,-1,0),(0,0,3/2),(-1,1,1/2))$
Ma ora come faccio per capire se la matrice B è uguale a $M^(-1)AM$ oppure a $MAM^(-1)$?
Furbamente, ho eseguito entrambi i calcoli e nel primo caso la matrice ha rango 1 e nel secondo ha rango 2...quindi opterei per la seconda...ma perchè?io avrei scommesso più sulla prima...
Come ti ho già detto, non mi piace (e, francamente, penso sia inutile) usare una base nel dominio e un'altra base nel codominio. Anche perchè la "formuletta" che continui a voler applicare ($P^-1AP$) funziona solo se cambi base da tutte e due le parti.
Comunque, credo tu non abbia capito come funziona la faccenda. Chi è $M^-1$? Rileggiti il mio post sopra e soprattutto il tuo libro/i tuoi appunti. Ripeto, medita bene e rifletti su ciò che stai facendo.
Comunque, credo tu non abbia capito come funziona la faccenda. Chi è $M^-1$? Rileggiti il mio post sopra e soprattutto il tuo libro/i tuoi appunti. Ripeto, medita bene e rifletti su ciò che stai facendo.
Forse non ci siamo capiti...
Io devo trovarmi la matrice B che ha in dominio e codominio la base v. Le matrici che hanno per dominio una base e codominio un altra base neanche a me piacciono, ma l'hai scritto anche nel tuo post che bisogna trovarle per poi scoprire qual è la matrice B.
Allora la matrice A che è in dominio e codominio relativa alla base canonica ce l'ho. Ora devo trovare la matrice che ha in dominio la base v e codominio la base (M) e un altra matrice che ha in dominio la base v e codominio la base canonica (D).
La matrice M l'avevo già trovata all'inizio e la matrice D sarebbe quella che ho rinominato $M^(-1)$ che ho trovato nel modo che ho descritto...bo non mi sembra un modo sbagliato...anche perchè prima mi avevi dato l'ok.....o forse io non ho capito nulla dall'inizio...ora torno a leggere sul mio libro...grazie mille per la pazienza...
Io devo trovarmi la matrice B che ha in dominio e codominio la base v. Le matrici che hanno per dominio una base e codominio un altra base neanche a me piacciono, ma l'hai scritto anche nel tuo post che bisogna trovarle per poi scoprire qual è la matrice B.
Allora la matrice A che è in dominio e codominio relativa alla base canonica ce l'ho. Ora devo trovare la matrice che ha in dominio la base v e codominio la base (M) e un altra matrice che ha in dominio la base v e codominio la base canonica (D).
La matrice M l'avevo già trovata all'inizio e la matrice D sarebbe quella che ho rinominato $M^(-1)$ che ho trovato nel modo che ho descritto...bo non mi sembra un modo sbagliato...anche perchè prima mi avevi dato l'ok.....o forse io non ho capito nulla dall'inizio...ora torno a leggere sul mio libro...grazie mille per la pazienza...
Già, direi proprio che non ci siamo capiti.
Fai una cosa: dimenticati questo discorso inutile riguardo l'avere una base nel dominio e un'altra base del codominio.
Tu lavori sempre e soltanto con la stessa base, sia da una parte che dall'altra: ok?
A questo punto:
1. trovati la matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla base canonica (base canonica nel dominio, base canonica nel codominio)
2. scriviti la matrice del cambiamento di base $P$ (sulle colonne i vettori della nuova base)
3. calcola $P^-1AP$ e hai concluso l'esercizio
Infine, sarebbe opportuno tu rendessi organico questo mio "sterile" elenco puntato: leggi la teoria e studia le dimostrazioni, solo così puoi veramente capire ciò che sta sotto.
Spero di essere stato più chiaro.
Fai una cosa: dimenticati questo discorso inutile riguardo l'avere una base nel dominio e un'altra base del codominio.
Tu lavori sempre e soltanto con la stessa base, sia da una parte che dall'altra: ok?
A questo punto:
1. trovati la matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla base canonica (base canonica nel dominio, base canonica nel codominio)
2. scriviti la matrice del cambiamento di base $P$ (sulle colonne i vettori della nuova base)
3. calcola $P^-1AP$ e hai concluso l'esercizio
Infine, sarebbe opportuno tu rendessi organico questo mio "sterile" elenco puntato: leggi la teoria e studia le dimostrazioni, solo così puoi veramente capire ciò che sta sotto.
Spero di essere stato più chiaro.
Grazie e scusami per tutto..ora credo davvero di aver capito... e poi ho trovato una dispensa che lo spiega davvero bene.
Ora la posto perchè magari potrà essere utile a qualcun altro in futuro. http://www.gestionale.univpm.it/documen ... i_base.pdf
e poi ho trovato una dispensa che lo spiega davvero bene.Ora la posto perchè magari potrà essere utile a qualcun altro in futuro. http://www.gestionale.univpm.it/documen ... i_base.pdf
Prego, figurati; e non ti devi scusare, ci mancherebbe. Capita a tutti di non capirsi
Comunque sono contento che ora le cose ti siano più chiare.
Buono studio
Comunque sono contento che ora le cose ti siano più chiare.
Buono studio
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