Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, come faccio a trovare la matrice associata all'endomorfismo $ f(x,y,z)=(z,2z,-z) $ rispetto alle basi canoniche?
Ho questo esercizio:
data la conica H $x^2+4xy+y^2=1$ è una iperbole; determinare la trasformazione che porta H in forma canonica e scrivere le equazioni degli assi e degli asintoti.
primo pezzo fatto trovato che è un'iperbole con gli invarianti poi gli autovalori della forma quadratica, gli autovettori associata a questi autovalori trovando i sistemi della trasformazione dati dalla relazione $X=PX'$ che sono $\{(x = 1/sqrt(2)(x'+y')),(y = 1/sqrt(2)(x'-y')):}$ oppure essendo P simmetrica uso la relazione ...
Ciao chi mi aiuta con questo esercizio?
Ho una matrice A:
$ A=((-1/6,-1/2,1/6),(1/3,0,2/3),(1/3,1,-1/3))$
Devo dimostrare che esiste una matrice invertibile $ M $ di ordine 3, tale che $ M^-1AM $ è diagonale
proseguo calcolandomi il polinomio caratteristico?$ P_A(t) $
Salve ragazzi, mentre facevo alcuni esercizi di matematica mi son imbattuto in un esercizio che, da vari giorni, mi tormenta poiché non riesco a capire alcune cose. In pratica l'esercizio chiede di trovare prima il piano $ pi $ passante per il punto $ P (2,-3,1) $ e ortogonale alla retta $ r $ passante per $ Q (1,0,4) R (-3,2,2) $ e poi le equazioni parametriche del piano $ pi_0 $ parallelo a $ r $ passante per $ S (2,-1,3) $ .
La prima parte ...
Assegnati i seguenti sottospazi:
Wh=L((2,0,0,-2h), (1,h,1,1), (0,1,h,0)) h € R
U={(x,y,z,t) € R4 : t=0, 2x+3y-2z=0}
gli esercizi sono due:
1) Determinare i valori del paramentro h tali che la somma di Wh+U sia diretta. (SOLUZIONE h=-1)
2) Determinare i valori del paramentro h tali che il vettore (0,-5,1,-8) appartenga a Wh. (SOLUZIONE h=3)
non ho idea di come impostare l'esercizio..
in realtà devo dimostrare il contrario.
matrice $A$ con det diverso da 0 allora implica l'esistenza della matrice $A^-1$
ho pensato e ho provato a fare nel seguente modo
1)determinante =0 implica vettori linearmente dipendenti.
considero per semplicità una matrice 2x2 il ragionamento si può estendere credo a qualsiasi matrice quadrata.
considero quinla la matrice generica composta dai vettori $(a,b)$ e $(c,d)$ è la moltiplico per la matrice ...
Salve a tutti,
ecco il testo dell'esercizio:
Assegnato l'endomorfismo f: (x,y,z) € R3 -> (-x-2z, x+y+2z, -2x-z) € R3 determinare gli autovalori di f, una base per ciasciun autospazio e stabilire se f è diagonalizzabile.
Allora dopo aver trascritto il polinomio caratteristico applicando alla matrice 3x3 la regola di Sarrus ho ottenuto:
(-1-t)^2(1-t) - 4(1-t)
allora il primo autovalore è K1 = 1 con molteplicità algebrica 2, molteplicità geometrica 1 la cui base è [0,1,0] insomma ...
Ciao. Sto facendo un esercizio che mi chiede di calcolare quando la matrice A è diagonalizzabile, per un parametro k! Syo facendo il caso in cui la molteplicità algebrica è 2! Quindi, affinchè sia diagonalizzabile deve essere molteplicità geometrica uguale a 2! Nella risoluzione mi viene detto che il rango dell'autospazio è 2 e fin qui ci siamo! E che ne segue che l'auovalore che sto esaminando ha molteplicità geometrica uguale a 3-1=2! Perchè? Non dovrebbe essere 3-2, quindi 1?
ciao ragazzi mi sapreste risolvere questo problema??
determinare, se possibile, un piano appartenente al fascio avente per asse la retta r:
r: {x= 1+t, y= 2t, z=1-3t} ed ortogonale alla retta s: { x+y -z +2=0 , 3x +5y =0}
Grazie in anticipo
P.S.
mi rendo conto che la scrittura adoperata per scrivere l'equazioni delle rette non è adatta, ma sto scrivendo da un PC abbastanza vecchio e senza aggiornamenti quindi pur consultando il topic per la scrittura delle formule, matrici ecc. ...
Salve! Devo risolvere un esercizio di algebra lineare che mi chiede per quali valori di $ beta in CC $ la seguente matrice è diagonalizzabile:
$ A= ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3*(beta+1)^2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , 4*(beta+1) , 0 , 4*(beta+1) ) )$ e per quali valori di $ beta $ essa è diagonalizzabile con una matrice reale.
Allora,io mi sono calcolato il polinomio caratteristico che mi risulta $ lambda^2*(1-lambda)*(4*beta+4) $ (calcolando ...
Non ho ben capito una parte di questo passaggio che riporto per intero:
Una trasformazione proiettiva cambia le coordinate omogenee $x_1,x_2,x_3,x_4$ secondo le equazioni seguenti
[tex]$<br />
x_1^{'} = A_1 x_1+B_1 x_2 + C_1 x_3 + D_1 x_4 \\<br />
x_2^{'} = A_2 x_1+B_2 x_2 + C_2 x_3 + D_2 x_4 \\<br />
x_3^{'} = A_3 x_1+B_3 x_2 + C_3 x_3 + D_3 x_4 \\<br />
x_4^{'} = A_4 x_1+B_4 x_2 + C_4 x_3 + D_4 x_4<br />
$[/tex]
Una tale trasformazione dipende pertanto da 16 parametri, definiti a meno di una costante di proporzionalità non nulla, e quindi abbiamo 15 parametri essenziali
La mia domanda (che probabilmente sarà banalissima) è: come mai i parametri essenziali sono 15? ...
Salve ragazzi, è la prima volta che scrivo su questo forum, anche se mi avete veramente già risolto mille problemi
Veniamo al dunque, io ho il seguente problema che non riesco a capire come risolvere.
Si considerino i seguenti vettori di $ R^4 $
$ v1 := (0,1,0, -1) $
$ v2 := (0,0,-1,2) $
$ v3 := (1,0,0,-1) $
a) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti;
b) nel caso in cui i vettori siano linearmente indipendenti, trovare una base di $ R^4 $ che li ...
Ho il seguente sistema:
[tex]$\begin{cases}<br />
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-8z+20=0 \hspace{7 mm} (1)\\<br />
x+y+z-4=0 \hspace{7 mm} (2)<br />
\end{cases}$[/tex]
Come vedete, il sistema rappresenta l'intersezione tra un sfera ($(1)$) e un piano ($(2)$), ovvero una circonferenza. Ora io avevo pensato di fare questo:
1) Ricavo $z$ da $(2)$
2) Sostituisco l'espressione così trovata in ($(1)$)
Dovrei ottenere un'equazione di un luogo di punti che soddisfi contemporaneamente entrambe le condizioni, ovvero quella di appartenere al ...
Ciao. Non riesco a risolvere un punto di un esercizio:
"Si consideri il sottospazio $V={(x,y,z,t) in R^4 | x+y-z-t=0, x-2t=0}$
di R^4.
a) Determinare la dimensione e una base di V.
b) Determinare la dimensione e una base del sottospazio ortogonale di V rispetto al prodotto scalare standard."
Per il primo punto nessun problema, per il secondo non so cosa fare. Chi mi da una mano?
Grazie
Ciao. Sto facendo un esercizio su una conica ma mi sono bloccato:
"Si consideri la conica C di equazione
$7x^2-12xy-2y^2=1$
a) Verificare che C è una iperbole e scriverne l'equazione canonica.
b) Determinare le equazioni della trasformazione che riduce C in forma canonica."
Allora per il primo punto ho calcolato gli invarianti e scoperto che effettivamente C è un'iperbole! Come faccio a scrivere l'eq. canonica? Ho fatto qualche esercizio a tal proposito, ma non ho ancora capito bene come ...
ragazzi, buona sera, ho il sottospazio $W={(x,y,z,t) in RR^4 | x+z=x-y-2z=0}$ e ne devo trovare la dimensione e la base, essendo tale sistema rappresentato da due equazioni non proporzionali per trovare la base e la dimensione basta che metto tali equazioni a sistema e lo risolvo?
Ciao a tutti! Per domani devo imparare una dimostrazione che purtoppo sul libro è simpaticamente Omessa.
Il teorema è il seguente:
Sia A una matrice simmetrica reale. Allora
i) il suo polinomio caratteristico di fattorizza in R[t] in fattori di grado 1
ii) autovalori associati ad autovettori distinti sono ortogonali
iii) A è ortogonalmente diagonalizzabile
Premetto che ho già cercato delle dimostrazioni in internet e, specialmente per il punto iii, ho visto che sono comlicate e ...
Salve, cerco un buon libro che spieghi i seguenti argomenti in maniera chiara ed al contempo esauriente. Cosa suggerite?
Programma delle lezioni e delle esercitazioni
VETTORI GEOMETRICI. Loro definizione. Operazioni algebriche sui vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, modulo, angolo, ortogonalita’. Espressione cartesiana del prodotto scalare e vettoriale..
GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO. Rappresentazioni di punti e rette, distanze, angolo di due rette, ...
Ragazzi in questo esercizio mi viene chiesto:
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino il punto $P(2,3,-1)$, la retta r contenente i punti $A(1,2,-2), B(-1,3,0)$ ed il piano $\pi$ di equazione $2x+y+1=0$.
Determinare l'equazione del piano contente $r$ e parallelo alla retta $s$ di equazioni $x+y+1=0$ e $y+z-1=0$.
Determinare una rappresentazione per la retta passante per ...
Si consideri il paraboloide iperbolico dato dalle seguenti equazioni: $x^2-y^2+z$, Il piano tangente nell'origine è $z=0$. Entrambi i luoghi geometrici sono rappresentati nella seguente immagine:
Domanda: un piano tangente ad una quadrica non dovrebbe intersecare la quadrica in un solo punto? Per esempio un piano tangente ad una sfera, non dovrebbe intersecare la sfera solo in un punto? Nella figura si vede che invece il piano "taglia" completamente la quadrica. ...
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