Retta complanare e parallela al piano
salve mi trovo a risolvere questo esercizio di geometria
determinare l'equazione della retta $r$ passante per $A(1,0,0)$, parallela al piano $x-y+3z=0$ e complanare alla retta ${(x-z+1=0),(y-2z-2=0):}$
ho una serie di elementi che mi frullano in testa ma non riesco a congiungerli. dunque innanzitutto affinché una retta sia complanare ad un'altra retta deve appartenere allo stesso piano.ma questo in termini matematici come può essere esprimibile?inoltre azzardo ad un ipotesi che mi è venuta fuori tramite una costruzione mentale che mi sono fatto: il vettore direttivo della retta $r$ è perpendicolare al vettore che individua il piano $x-y+3z=0$?
scartabellando un po' ho visto che due rette si dicono complanari quando i vettori direttivi sono uno combinazione lineare dell'altro.quindi uno deve essere proporzionale all'altro
determinare l'equazione della retta $r$ passante per $A(1,0,0)$, parallela al piano $x-y+3z=0$ e complanare alla retta ${(x-z+1=0),(y-2z-2=0):}$
ho una serie di elementi che mi frullano in testa ma non riesco a congiungerli. dunque innanzitutto affinché una retta sia complanare ad un'altra retta deve appartenere allo stesso piano.ma questo in termini matematici come può essere esprimibile?inoltre azzardo ad un ipotesi che mi è venuta fuori tramite una costruzione mentale che mi sono fatto: il vettore direttivo della retta $r$ è perpendicolare al vettore che individua il piano $x-y+3z=0$?
scartabellando un po' ho visto che due rette si dicono complanari quando i vettori direttivi sono uno combinazione lineare dell'altro.quindi uno deve essere proporzionale all'altro
Risposte
1) La retta cercata deve appartenere ad un piano parallelo a quello assegnato......
2) La retta cercata deve appartenere ad un piano contenente la retta assegnata....
2) La retta cercata deve appartenere ad un piano contenente la retta assegnata....
"weblan":
1) La retta cercata deve appartenere ad un piano parallelo a quello assegnato......
2) La retta cecata deve appartenere ad un piano contenente la retta assegnata....
dunque iniziando a riflettere su quello che mi hai detto te, poiché la retta cercata deve appartenere ad un piano parallelo a quello assegnato, il piano contenente la retta $r$ deve avere la medesima retta impropria del piano assegnato. questa retta impropria è uguale ai vettori della forma $(y-3z,y,z,0)$.scelto $y=1$ e $z=0$ e mi trovo che la retta impropria del piano assegnato è pari $(1,1,0,0)$ che sarà uguale anche alla retta impropria del piano contenente la retta $r$.ci siamo fino a qui o sto sbagliando qualcosa?
Nel post precedente ti avevo dato delle indicazioni che risolvevavo il quesito in due passaggi e successivamente ti invito a farlo. Il bello dei problemi di geometria analitica risiede anche nella possibilità di arrivare alla conclusione percorrendo strade distinte.
Prosegui nel tuo ragionamento, in pratica devi trovare la retta impropria $s_1$ del piano assegnato.
Ora devi trovare la retta impropria $s_2$ del piano contenente $r$ e passante per $A$
L'intersezione di queste due rette improprie ti fornirà il punto improprio, che sarà la direzione della retta che vuoi cercare.
Vediamo però i calcoli, anche se ripeto l'esercizio si può risolvere per via diversa e in almeno due modi.
Prosegui nel tuo ragionamento, in pratica devi trovare la retta impropria $s_1$ del piano assegnato.
Ora devi trovare la retta impropria $s_2$ del piano contenente $r$ e passante per $A$
L'intersezione di queste due rette improprie ti fornirà il punto improprio, che sarà la direzione della retta che vuoi cercare.
Vediamo però i calcoli, anche se ripeto l'esercizio si può risolvere per via diversa e in almeno due modi.
faccio dietro front e proseguo la risoluzione con i tuoi suggerimenti.innanzitutto mi devi aiutare a risolvere un dilemma mentale: vettore direttivo e retta impropria sono la stessa cosa?cioè il vettore direttivo del piano $x-y+3z=0$ come si calcola?
"mazzy89":
faccio dietro front e proseguo la risoluzione con i tuoi suggerimenti.innanzitutto mi devi aiutare a risolvere un dilemma mentale: vettore direttivo e retta impropria sono la stessa cosa?cioè il vettore direttivo del piano $x-y+3z=0$ come si calcola?
Quando consideri il piano $x-y+3z=0$ una informazione importante la fornisce la terna $(1,-1,3)$ o un qualsiasi vettore multiplo di esso secondo uno scalare non nullo e rappresentano le componenti di un vettore ortogonale al piano.
Hai studiato gli spazi proiettivi? Coordinate omogenee? Come mai hai utilizzato la quaterna in precedenza?
credo di esserci alla soluzione.considero il generico vettore direttivo $(l,m,n)$ della retta $r$.per calcolarmi $l,m,n$ devo costruire il sistema con le due condizioni date.la prima condizione l'ho trovata. ovvero affinché $r$ sia parallela al piano dato si deve avere $l-m+3n=0$.la seconda ci devo lavorare
adesso mi chiedo: affinché due rete siano complanari devono essere contenute nello stesso piano ed inoltre devono essere parallele o incidenti.come faccio a decidere se sono parallele o incidenti?
Per essere complanare alla retta assegnata, la retta che cerchi deve appartenere al piano che contiene la retta assegnata. La retta deve contenere $A$. Qual è questo piano?
la mia difficoltà sta proprio qui.se ho una retta assegnata posso risalire al piano che la contiene?io conosco i due piani i quali intersecandoli ottengo la retta data ma qual'è il piano che contiene questa retta proprio non saprei.ho cominciato da poco a fare geometria.e purtroppo la geometria non è il mio forte.la odio anzi la vomito. 
Posta l'equazione del piano trovata. Tu dici che la retta che cerchi è interesezione di due piani che passano per $A$.
Uno è quello per $A$ e parallelo a quello assegnato.
L'altro è quello che contiene la retta assegnata e passante per $A$.
Dove hai difficolta?
Aggiungo fascio di piani per la retta assegnata. Ci sono infiniti piani contenente la retta assegnata e solo uno di questi passa per $A$, quello che a noi interessa.
Uno è quello per $A$ e parallelo a quello assegnato.
L'altro è quello che contiene la retta assegnata e passante per $A$.
Dove hai difficolta?
Aggiungo fascio di piani per la retta assegnata. Ci sono infiniti piani contenente la retta assegnata e solo uno di questi passa per $A$, quello che a noi interessa.
ah ok ho capito adesso. mi scrivo l'equazione del fascio di piani ovvero $lambda(x-z+1)+mu(y-2z-2)=0$ ed impongo il passaggio per $A$.ottengo così il piano $x+y-3z-1=0$. a questo punto il vettore direttivo del piano $x+y-3z-1=0$ deve essere perpendicolare al vettore direttivo della retta che stiamo cercando.in questo modo abbiamo trovato la seconda condizione:
messa a sistema con la prima si ottiene:
${(l-m+3n=0),(l+m-3n=0):}$
in questo modo troviamo il vettore direttivo di $r$.
esatto il ragionamento?
messa a sistema con la prima si ottiene:
${(l-m+3n=0),(l+m-3n=0):}$
in questo modo troviamo il vettore direttivo di $r$.
esatto il ragionamento?
"mazzy89":
ah ok ho capito adesso. mi scrivo l'equazione del fascio di piani ovvero $lambda(x-z+1)+mu(y-2z-2)=0$ ed impongo il passaggio per $A$.ottengo così il piano $x+y-3z-1=0$. a questo punto il vettore direttivo del piano $x+y-3z-1=0$ deve essere perpendicolare al vettore direttivo della retta che stiamo cercando.in questo modo abbiamo trovato la seconda condizione:
messa a sistema con la prima si ottiene:
${(l-m+3n=0),(l+m-3n=0):}$
in questo modo troviamo il vettore direttivo di $r$.
esatto il ragionamento?
Va bene.
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