Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ho un dubbio che riguarda quanto enuncia il Teorema Spettrale:
"Sia ( $V$, $\phi$ ) uno spazio euclideo. Sia $T\: V \rightarrow V$ autoaggiunto, allora esiste una base ortonormale per $\phi$ di autovettori di $V$ per $T$ "
Una conseguenza è che la segnatura del prodotto scalare con cui è equipaggiato lo spazio $V$ indica i segni degli autovalori dell'endomorfismo $T$ diagonalizzato secondo il ...
Ciao ragazzi,
non riesco a dimostrare che ogni spazio metrico completo è separabile... ho provato a far vedere che ogni sp. metrico completo soddisfa il secondo assioma di numerabilità... così potrei concludere.. ma non ci sono riuscito.
Ho qui 3 esercizi di algebra lineare da svolgere.
1) Determinare una base di $R^4$ contenente i vettori $(1,1,0,0)$ e $(0,0,0,3)$
è un esercizio di completamento a base, affinchè sia base deve essere L.I, e il modo migliore e veloce che ho trovato è stato metterci 2 vettori per fare la riduzione a gradini:
$((1,1,0,0),(0,1,2,3),(0,0,2,5),(0,0,0,3))$
2) esistono basi di $R^4$ contenente il sistema di vettori ${(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1)}$? Perchè?
Non si può formare una base a partire da questi ...
scusatemi ma quando un indice si dice saturo in algebra tensoriale????
Buon pomeriggio a tutti, io ho un dubbio che non riesco a chiarire.
avrei bisogno di un metodo per verificare i sottospazi vettoriali. risolvere un sistema omogeneo va bene? perchè io ho capito che vanno verificate le 3 proprieta (somma, prodotto per un un numero e esistenza del vettore nullo), ma nello svolgere gli esercizi mi confondo sempre. grazie a chiunque vorrà essermi d'aiuto.
si consideri il sistema:
${(x+ky-z+3w=0),(kx+y+3z-kw=0),(x+y+2z-w=0):}$
al variare di $k in RR$
- si studi il rango della matrice del sistema al variare di $k in RR$
non ho ben chiaro il procedimento.
$|(1, k, -1, 3),(k, 1, 3, -k),(1,1,2,-1)|$
il rango è uguale al più a 3.
vado a considerare le matrici quadrate 3x3.
a1=$|(1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2)|$
a2=$|(k,-1,3),(1,3,-4),(1,2,-1)|$
a3=$|(1,-1,3),(k,3,-k),(1,1,-1)|$
det a1=0, se k=0,1
det a2=0, se k=0
det a3=0, se k=3
posso quindi dire che se k è diverso da 0, 1, 3 allora il rango è 3 altrimenti il rango è ...
Siano A e B due sottospazi vettoriali di R^n.
Queste due uguaglianze sono sempre verificate?
complemento ortogonale di (A intersezione B) = compl. ortogonale A + compl. ortogonale B
L(A unione B) = A + B
Grazie
Ciao a tutti, sto risolvendo alcuni esercizi di appelli di algebra lineare, volevo rendervi partecipi della risoluzione per vedere se sto agendo correttamente.
L'esercizio è questo :
Uploaded with ImageShack.us
1) trovo i tre vettori [tex]V_{1}= (1, 1, 0) \ V_{2}= (0, 1, 1) \ V_{3}= (1,0, 1)[/tex]
La matrice associata è
$A=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]$
Calcolo il determinante per vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti e dopo 3 riduzioni ottengo ...
Ciao a tutti! Sto preparando un esame di algebra lineare e sono alle prime armi.
Ho letto molto gli appunti di segio" algebra for dummies", ma ho numerosi dubbi da togliermi...conto sul vostro aiuto risolvendo questo esercizio...
La mia ignoranza mi dice di procedere dal punto a:
scrivo la matrice associata alla casetta:
\begin{bmatrix}-9 & -9 & -1 & -1 & -5 \\ 0 & 6 & 0 & 6 & 8 \end{bmatrix}
ma poi non saprei come continuare (a patto che ho dei dubbi già su questo ...
Ciao a tutti, sono impegnato nel risolvere un esercizio riguardante un endomorfismo con parametro e avrei dei chiarimenti riguardo ad alcuni punti.
L'endomorfismo è questo:
$ f:RR^4 rarr RR^4 $ tale che:
$ f( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2 ),( t ),( 1 ),( 1 ) ); f( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( t ),( 3 ),( t ) ); f( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( t ),( 0 ),( t ) ); f( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 1 ),( t ),( 2 ),( 1 ) ) $
Il rango della matrice formata dai vettori del dominio, è pari a $ 4 $ (tutti i vettori sono lin. indip.) che mi indica che l'endomorfismo esiste ed è unico.
Ho trovato la matrice associate a $ f $ rispetto alla base canonica (salto i passaggi per ...
mi trovo nuovamente in difficoltà in questo esercizio:
Sia $A_h=((1,1),(1,h))$
e $V_h={X in RR^(2,2) | A_hX=-XA_h}$
calcolare la dimensione ed una base di $V_h$ al variare di $h in RR$
risolvendo in questa maniera:
considerando la generica matrice $X=((x,y),(z,t)) in RR^(2,2)$ si ha effettuando i calcoli
$((x+z,y+t),(x+hz,y+ht))=-((x+y,x+hy),(z+t,z+ht))$
si ha allora il sistema
${(x+z=-(x+y)),(y+t=-(x+hy)),(x+hz=-(z+t)),(y+ht=-(z+ht)):}$
scrivendo la matrice associata al sistema qui sopra si ha:
$((1,0,1,0,|,-1,-1,0,0),(0,1,0,1,|,-1,-h,0,0),(1,0,h,0,|,0,0,-1,-1),(0,1,0,h,|,0,0,-1,-h))$
ora secondo il teorema di Rouche-Capelli il sistema ...
Ciao a tutti, dovrei rappresentare un piano contenente due rette parallele r ed s. r in forma parametrica è x=2-t, y=t, z=1+2t, mentre s in forma parametrica è x=-t, y=t, z=2t. Volevo trovarmi questo piano ponendo 3 vettori fra essi dipendenti e imponendo il determinante della matrice uguale a zero, solo che non riesco a trovarmi il terzo vettore dato che ho solo (x,y,z), v(-1,1,2). Mi sapreste dire come posso trovare un terzo vettore?
Buona sera a tutti! Sono un pò dubbiosa su un esercizio avendo due rette r:$\{ x+1=; y-z =0:}$, s:$\{x+1=0; z+2 =0:}$ incidenti nel punto Q(-1,-2,-2) inanzitutto ho ricavato la retta s come retta parallela al piano α: x+z=0; passante per P(-1,0,-2) ed incidente la retta r e penso di averla determinata correttamente,ma come mi determino il piano che le contiene? ho provato con l'equazione del fascio di piani generici per la retta s ----> a(x+1)+b(z+2) imponendo il passaggio per Q ma così facendo ...
ho il seguente esercizio però non mi sto raccapezzando.
sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$R$ spazio vettoriale $RR^4$ e sua $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni:
$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$
provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato
avevo pensato di calcolarmi la matrice ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di una conferma su un esercizio di geometria analitica nello spazio da me svolto. Il testo è il seguente: si rappresenti la retta r passante per l'origine, parallela al vettore v(-1,1,2) e ortogonale all'asse z.
Ho rappresentato la retta r in forma parametrica: x = -t, y = t, z = 0. Volevo avere la conferma se questo risultato è giusto. Grazie.
Sono un pò in crisi con questo esercizio, devo discutere la posizione reciproca di questi piani al variare di a..
${ ( x-ay+az=2 ),( 3x-2y+2z=2 ),( -x-ay+2z=a ),( x-2y+az=2 ):}$
da ciò che ho capito devo fare il determinante della matrice completa $(A|B)$ e trovarne le radici, i calcoli (supportati da maxima) mi danno che sono: $a=-2 a =2$
ciò vuoldire che per tutti i valori diversi da -2 e 2 l'intersezione è solo un punto, e quindi si ha una stella di piani
mentre per questi due valori devo andare a studiare il rango di ...
Buongiorno
Sto studiando per l'esame di meccanica classica, e nella trattazione del gruppo di Galileo serve dimostrare il seguente fatto di algebra lineare:
Una matrice ortogonale $n\times n$ ha $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri indipendenti, ovvero $O(n)$ è un gruppo a $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri (In realtà mi servirebbe solo la dimostrazione che una matrice ortogonale $3\times 3$ ha $3$ parametri indipendenti).
A quanto ho capito la dimostrazione del ...
mi sono imbattuto in questo esercizio che ho risolto in due modi distinti però non so quale dei due è quello giusto.
siano date le matrici $A=((2,1),(1,1))$ e $B=((1,h),(1,1))$ con $h in RR$
$V={X in RR^(2,2) | XAB=BAX}$
determinare al variare di $h in RR$ la dimensione ed una base di $V$
dunque per risolvere questo esercizio ho considerato due strade:
la prima
mi considero $XAB=BAX$ e li metto a sistema ottenendo così:
${(3x+2y=(2+h)x+(1+h)z),((2x+y)h+x+y=(2+h)y+(1+h)t),(3z+2t=3x+2z),((2z+t)h+z+t=3y+2t):}$
sistemando i ...
salve, sto per imbattermi nell'esame di geometria, sono ancora all'inizio e non riesco a capire come risolvere questo esercizio, mi potete aiutare? Grazie!
Si danno in E^3 i punti P=(1,0,1) e Q=(0,1,0).
si da, inoltre, nello stesso spazio, la retta r di equazioni parametriche
x=1-t, y=2t, z=1+t
Trovare i punti A della retta r ( se esistono) che hanno la proprietà che i segmenti AP, AQ siano uguali.
grazie a tutti coloro che mi aiuteranno!
Salve a tutti,chiedo un aiuto a chi ne sa più di me...non riesco a trovare le radici semplici di questo polinomio $ (x^3-i)^2 $ , o meglio alle radici del polinomio ci sono arrivato ma non mi tornano i segni,alla soluzione ci sono arrivato con De Moivre;Le mie soluzioni sono: $ x=+i ;x=(-root(2)(3)/2,-1/2) ;x=(root(2)(3)/2,-1/2) $ ...secondo me ho fatto del casino con quell'elevazione al quadrato qualcuno può spiegarmi come mi devo comportare per favore.
Ringrazio chiunque mi risponderà
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