Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ri-salve a tutti!! Scusate se ultimamente assillo con degli esercizi ma è l'ultimo esame e lo devo passare... purtroppo non ho un prof molto disponibile al ricevimento e non molto chiaro a lezione. (prof di anni 80! )
Premessa : vi chiederei di non criticare la mancanza di una mia ipotetica soluzione , ma non so proprio da dove partire. Scriverei solo nozioni e nozioni di teoria che credo ormai sappiate a memoria.
Passiamo al dunque , testo :
I seguenti 3 vettori di ...
Domanda:
Siano $A,B\in Mat_{nxn}(\mathbbR)$ tali che $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$ per ogni $t\in\mathbb(R)$; è vero che $A$ e $B$ commutano?
Mi sono imbattuto in un esercizio di un libro che recita:
"Se A è una matrice simmetrica e definita positiva, il metodo di Gauss Siedel risulta essere convergente. Dimostrare questo risultato nel caso in cui l'autovalore di massimo modulo della matrice di iterazione sia reale.
Suggerimento: considerare il sistema lineare equivalente
$(D^{-1/2}AD^{-1/2})(D^{1/2}x) = (D^{-1/2}b), D^{1/2}=diag(sqrt(a_11),....,sqrt(a_nn))$,
la cui matrice dei coefficienti è ancora simmetrica e definita positiva ma non ha diagonale unitaria, ovvero del tipo ...
Salve avevo un dubbio:
Se sono nello spazio è facile ricavare i parametri direttori di una retta:
Se ho equazioni parametriche i parametri direttori sono i coefficienti del parametro
Se ho equazioni cartesiane i parametri si trovano con i determinanti delle matrici 2x2 che hanno per elementi i coefficienti a b e c delle due equazioni.
Lo stesso discorso vale per il piano:
Se ho equazioni cartesiane i parametri sono i coefficienti delle variabili (a b e c)
Se ho equazioni parametriche prendo ...
ragazzi vi propongo un esercizio che sono riuscito a risolvere solo a metà...
si dia un esempio di spazio vettoriale di dimensione 5 su un campo K che non sia K^5 e determinare due basi di tale esempio...
come prima risposta io considero l'insieme dei polinomi di grado (n-1) che sarà del tipo K5[x]={ax^4 + bx^3+ cx^2+dx+e tale che a, b, c, d, e appartengono a K}, la questione ora sta tutta nel trovare due basi di questo spazio vettoriale...come devo fare??
Salve a tutti
Sto preparando l'esame di Geometria e mi sono imbattuto in un esercizio che non so se va bene il modo in cui ho intenzione di svolgerlo. Allora l'esercizio mi definisce un prodotto scalare \(\phi\) su \(R^4\) con la seguente matrice:
\[
\mathcal{A}= \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 4 & 4 \\
2 & 2 & 4 & 4 \\
\end{array}
\right)
\]
Mi dice poi che devo dimostrare che \( \phi|_w \) è degenere per tutti i sottospazi W di dimensione 3.
Siccome non ho ...
Sia $varphi$ la trasformazione lineare da v3(R)-->v3(R) caratterizzata dalla seguente matrice:
$varphi$ = $((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$
e sia S l'iperpiano formato da
$S:x+y+z=0$
m si chiede di descrivere $varphi^-1(S)$
vediamo subito che $varphi$ non è invertibile, quindi:
$((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$ $((x1),(x2),(x3))$ = $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ $((varphi1),(varphi2),(varphi3))$
$((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$ $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ ->$varphi^-1$->$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ $((1,0,-1),(-1,1,0),(0,-1,1))$
da ...
Una domanda:Un sistema lineare a 5 incognite e 4 equazioni può ammettere unicamente la soluzione banale?
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema nel calcolare il determinante di una matrice. L'esercizio assegna questa matrice:
det $ ( ( x , y , z ),( -1 , pi , 2 ),( sqrt(2) , 7 , 333 ) ) = 1 $ e sapendo questo determinante devo calcolare il determinante della matrice $ ( ( x , y , y-z ),( pix -1 , pi(y+1) , pi(y-z+1) -2 ),( sqrt(2) , 7 , -326 ) ) $
Io l'ho risolto così, allego la foto: http://imageshack.us/photo/my-images/191/cimg1391d.jpg/
ma come l'ho risolto io il risultato è -1, invece il libro dice che il risultato è $ -pi $
Buona sera e buon 2012.
A breve dovro' affrontare un esame di algebra lineare dal quale vi posto un esercizio e come io vorrei risolverlo.
L'esercizio è il seguente:
data la funzione f da $ RR $ ^2 a $RR$ ^3 definita come segue :
f(x,y)=(x+y-1, x-1, y+2)
dire se è iniettiva o suriettiva o invertibile.
Vi dico ...
Carissimi ragazzi, c'è un esercizio di topologia che vorrei condividere con voi-
Provare che l'insieme delle matrici di tipo $ mxn $ sul campo reale si struttura a spazio topologico con una topologia $ T $ .
Il problema è che non riesco a comprendere come si possa strutturare un tale spazio topologico; ho pensato di far riferimento al rango delle matrici, che ne dite? Oppure devo dare per assodato che tale spazio topologico esista? In attesa di risposte, ringrazio per ...
Ho la matrice $A=((-2,-3,-3),(-1,0,-1),(5,5,6))$ rappresentativa di un certo omomorfismo rispetto entrambe le basi canoniche di $R^3$. Il problema chiede di calcolare la nuova matrice rappresentativa dello stesso omomorfismo rispetto alla base $B=((2,0,0),(1,0,1),(1,3,-1))$ e alla base canonica di $R^3$. Il libro calcola semplicemente le immagini dei vettori della base $B$ tramite $A$ e mettendole in colonna forma la nuova matrice rappresentativa. Qualcuno può spiegarmi il ...
SOno alle prese con un esercizio, mi torna tutto ma ho un dubbio.
es 1---
$varphi ((sqrt(3),0,0,1),(0,sqrt(3),0,1),(0,0,sqrt(3),1),(-1,-1,-1,-sqrt(3)))$
data questa trasf da $v4(R)->v4(R)$ devo calcolarmi alcune cose, vedi rango nullità im(/varphi) etc...
ilmio dubbio è qui, calcolare:
$dim((Im(varphi)nn ker(varphi))$.
Ecco il mio procedimento che dovrebbe esser giusto.
Riscrivo il vettore generico dell'immagine come---> $((sqrt(3)p),(sqrt(3)r),(sqrt(3)z),(-p -r -z))$ $(x1,x2,x3,x4)$
Ogni componente del vettore generico quindi la sostituisco nel ker
Ker($varphi$) ...
Ciao a tutti! Ho un dubbio con le trasformazioni lineari, immagini e kernel.
Mi trovo a svolgere in particolare un esercizio in cui ho due trasformazioni lineari di cui mi si richiede di calcolare
dim($\psi$ Im($\varphi$)) e dim($\varphi^(-1)$(ker($\psi$)).
Ho già incontrato il problema in passato, ed il professore mi ha detto di calcolare dim($\psi$ Im($\varphi$)) come dim(Im($\psi$$\varphi$)). Anche per ...
Buongiorno a tutti,
mi è venuto un dubbio : data una matrice $A=|(a,b),(c,d)|$ quadrata di ordine 2, utilizzando la base canonica ${e_1,e_2}$ di $RR^2$, le righe di A si possono scrivere come $A_1=ae_1^T+be_2^T$ e $A_2=ce_1^T+de_2^T$ .
Ma perchè si usa $e_1^T,e_2^T$ e non semplicemente $e_1,e_2$? La T indica la trasposizione? Ho paura che mi sto confondendo con altre cose...
Grazie in anticipo
Valentina
Innanzitutto buon anno, il mio esame incombe e mi ritrovo a studiare anche a capodanno
Stavo risolvendo degli esercizi che ci hanno dato a lezione e ho un dubbio su questo
sia f un' applicazione lineare da R^3 a R^4 tale che
f(1,1,0)=(1,0,2,0) f(1,0,-1)=(0,0,0,1) f(0,0,1)=(0,1,-1,2)
Si determini la matrice di f rispetto alla base B={(1,1,0) (1,0,-1) (0,0,1)} e alla base canonica di R^3.
Si determini f(x,y,z) per ogni (x,y,z) appartenenti a R^3 e si stabilisca se f è ingettiva e se è ...
Vorrei confrontare con voi questo esercizio-
Sia $ T $ la famiglia di sottoinsiemi di $ RR $ costituita dall'insieme vuoto da $ RR $ e da tutti i suoi sottoinsiemi contenenti l'intervallo aperto $ (-1;1) $ . Denotata inoltre con $ U $ la topologia naturale di $ RR $ si dica in quali dei seguenti casi l'applicazione $ f:x->x^2 $ risulti aperta: $ f:( RR ,U)->( RR ,U) $ $ f:( RR ,U)->( RR ,T) $ $ f:( RR ,T)->( RR ,U) $ ...
Ciao a tutti!
Ho un problema di geometria da risolvere che mi perseguita e non riesco a risolverlo.
Questo è il testo:
"Nello spazio euclideo $E_3(R)$ in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano si considerino il punto C = (1; 0; 2) ed il piano $\pi$: $x - 2y + 2z - 3 = 0$. Si determinino:
1) una rappresentazione cartesiana della sfera $\epsilon$ di centro C tangente a $\pi$
(questo sono riuscito a farlo e la sfera risulta: ...
Qualcuno può aiutarmi con questa domanda filtro?
Se \(\displaystyle \) è un prodotto scalare non degenere su V, allora può esistere un vettore \(\displaystyle v \neq 0 \) in V tale che \(\displaystyle = 0 \)?
So che se \(\displaystyle \neq 0\) per tutti i \(\displaystyle v \in V \) diversi dal vettore nullo, allora \(\displaystyle \) è non degenere. Ma non credo che valga il contrario...
Salve. Ho il seguente endomorfismo di $R^4$:
$f(x,y,z,t)=(z,x+z-y,-z,-t)$ e la base $B=(1,1,0,0),(0,-1,0,1),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)$ .La rappresentazione di $f$ rispetto $B$ e la base canonica è $A=((0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,-1,0,-1))$ mentre rispetto a entrambe le basi canoniche di $R^4$ è $A'=((0,0,1,0),(1,-1,1,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))$ Per verificare se $f$ è diagonalizzabile in $R$ controllo che tutti gli autovalori appartengano a $R$ e che la dimensione algebrica di ciascun autovalore sia ...
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