Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Allora, devo risolvere il seguente sistema lineare:
$\{(x+y+Kz=1),(x+Ky+z=K),(Kx+y+z=K):}$
chiamo A la matrice $((1,1,K),(1,K,1),(K,1,1))$
e b $((1),(K),(K))$
vedo che il determinante di A si annulla solo per K=1
Rango di A = rango di Ab, quindi trovo le soluzioni (x, y e z) con cramer, con K diverso da 1
poi devo vedere cosa succede con K=1
il determinante di A si annulla sempre...praticamente mi resta solo un numero 1, quindi vuol dire che ha rango 1?
stessa cosa per il det di Ab, che ...
Ciao, sto preparando l'esame di algebra lineare e volevo essere sicuro su delle cose. Due vettori linearmente dipendenti sono dei vettori che hanno la stessa direzione? Viceversa, due vettori linearmente indipendenti, sono dei vettori che non sono paralleli, vero?
Quindi una base di uno spazio vettoriale, dal punto di vista geometrico, può essere costituita anche da due assi che non sono ortogonali tra di loro, ma che comunque non sono paralleli? Cioè, le basi di uno spazio vettoriale sono dei ...
considerata in $R^2$ la retta r : y=0 e la topologia di $R^2$ avente per base la famiglia delle rette parallele ad r.
Dire in quali punti la funzione f(x,y)=(x,2x) è continua.
Una funzione è continua in un punto se la controimmagine di un intorno di f(x) è un intorno di x, o analogamente se l'immagine di un intorno di x è contenuto in un intorno di f(x).
Visto che siamo in dimensione 2, devo usare il teorema fondamentale secondo il quale una funzione è continua se ...
Ecco l'esercizio che non mi torna:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. Sia $f$ un 'applicazione invertibile e sia Z un sottospazio $f$-invariante di $V$. Esiste una decomposizione in somma diretta $V=Z+Z'$ tale che anche $Z'$ sia $f$-invariante??
Io purtroppo non ho idee...
sulla retta dei numeri reali si consideri la seguente relazione di equivalenza:
$x sim y$ se e solo se $x=y$ o $x,y in Z$
e sia $X=R/sim$
si verifichi se X è compatto e se è Hausdorff
per quanto riguarda la compatezza, avevo pensato di muovermi cosi:
sia A un aperto di X $AA n in Z EE epsilon_n>0$ tale che $(n-epsilon_n, n+epsilon_n)$ sia contenuto in $A$
allora se prendo il ricoprimento aperto $uuu_(n in Z)(n-1/(n+1),n+1/(n+1))$ dal quale non si può estrarre alcun ...
Salve,
dato il seguente sistema lineare:
$ { ( v_1 = a+c ),( v_2 = a+b ),( v_3 = b-c ):} $
come posso trovare a, b, c in funzione di v?
nel senso, voglio che al primo membro di ogni equazione mi compaiano rispettivamente a, b, c e che al secondo membro mi compaiano le v
Ciao! Ho incontrato qualche problema su quest'esercizio qualcuno può aiutarmi? grazie
a) Si dica se esiste un endomorfismo di R^3 che ha U = < (1, 0, 1) > e
W = < (1, 1, 1), (0, 1, 1) > come autospazi relativi a 2 e a 3 rispettivamente.
b) Indicato con L un endomorfismo che verifica le condizioni indicate in a),
si determinino gli autovettori di L che appartengono al sottospazio
W' = {(x, y, z) | x + y + z = 0} di R^3
Allora ho pensato di risolvere il punto a) così:
con la ...
è vero che se un sistema è linearmente dipendente allora dimV
Sono incappato in questo esercizio, mentre mi preparavo all'esame di Geometria, ma non riesco a risolverlo, chi può darmi una mano per favore?
L'esercizio è questo:
Consideriamo i vettori u, v, w ∈ R3 definiti ponendo
u= (1, t, 0); v= (0, 1, t); w= (s, 0, 1).
Per quali valori dei parametri reali s,t il sistema [u, v, w] è indipendente?
Ci tengo a precisare che questi esercizi sono sugli spazi vettoriali, e si svolgono senza conoscere e saper fare le matrici.
Aspetto vostre ...
Gentili signori del forum, supponiamo di voler determinare gli autovalori di un endomorfismo.
Considero un endomorfismo T sul campo K e seleziono una base qualunque dello spazio V, tale che
la trasformazione si scrive: y = A x . In questo caso, utilizzando le
coordinate del generico vettore v , la condizione affinché esista un autovettore è:
Ax = λx -> Ax= λIx -> x(A-λI)=0 . Affinché esista un tale vettore non nullo, occorre che la
matrice A-λI sia singolare, cioè det(x(A-λI))=0 ...
Devo dimostrare che una matrice ortogonale e simmetrica ha autovalori che sono tutti +1 o -1 (in realtà leggendo su Wikipedia mi sembra che basti che sia ortogonale).
Non riesco bene a muovermi...perchè ragionando sul polinomio caratteristico non riesco a giungere da nessuna parte.
Ho anche trovato, in internet, questa proprietà:
Sia $\lambda$ autovalore di una matrice $A$, allora $\lambda^p$ è autovalore della matrice $A^p$, con p positivo.
Se ...
Scusate, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Determinare l'ortocentro del triangolo di vertici: A(0,0,0), B(1,2,3) e C(-1,0,4). Ho pensato di calcolare la perpendicolare ad AB e poi a BC, per poi trovare il punto d'intersezione. Ho calcolato il vettore AB e ho trovato il piano perpendicolare, imponendo il passaggio per C ma poi come procedo? grazie mille!
Ciao a tutti... ho alcuni problemi con una dimostrazione sugli endomorfismi, ho cercato sul forum ma non ho trovato risposta...
Riguardo al teorema che dice che "gli autovalori di f sono tutte e sole le radici del polinomio caratteristico appartenenti al campo K", nella dimostrazione si ha che:
dim Vk(sottospazio vettoriale dell'autovalore k)=n-rango(A-kIn)(polinomio caratteristico) n-rg(A-kIn)>0 rg(A-kIn)
Assegnata la base per una spazio topologico formata da R e da (0,a), determinare i limiti della successione $1/n$.
Lo spazio non è $T_1$, quindi effettivamente potrebbero esserci più limiti. Visto che un punto è limite della successione se la successione è definitivamente in ogni intorno di y da un certo y in poi e nel mio caso posso prendere come intorno gli intervalli (0,a), il mio insieme di convergenza è $R_+$?
Non ho la minima idea su come dismostrare che dati x($x_1,x_2$) e y=($y_1,y_2$) si ha che il prodotto scalare tra x e y è uguale a $|x||y|cos(alpha)$ con $alpha$ angolo tra x e y. Come posso fare ? grazie mille
Nel piano reale dotato della topologia naturale consideriamo il segmento $s=[(0,y) : -2<=y<=0]$, una circonferenza $t$ di raggio unitario e i sottospazi ottenuti attaccando le due figure nel modo seguente:
1) Determinare interno e frontiera del segmento rispettivamente in X,Y,Z
2) Provare che X,Y,Z non sono a coppie omomorfi
Inizio da
2) X,Y,Z sono tutti connessi poichè unione di due connessi non disgiunti e sono anche tutti compatti perchè circonferenza e segmento sono ...
Ciao, ho quest'esercizio che dice:
Sia $r$ la retta ortogonale al vettore $k=((2),(7))$, passante per il punto $P=((4),(-1))$. Sia inoltre $v=((16),(3))$ un vettore.
1) Determinare equazioni parametriche e cartesiane di $r$;
2) determinare le coordinate della proiezione $pi$ del vettore $v$ lungo la direzione individuata dalla retta $r$.
Allora, l'esercizio è quasi banale, però volevo essere sicuro del mio ...
ragazzi, stò svolgendo un esercizio di geometria analitica:
Rappresentare una sfera tangente a $ pi: x+y+z-1=0 $ in $P(1,1,0)$ avente centro sul piano $x+z=0$ e calcolarne il centro e raggio.
Qualcuno può aiutarmi a impostare questo esercizio???
Buongiorno ragazzi, e' il mio primo post, quindi chiederei di non giudicarmi male.
Dovrei risolvere il seguente sistema lineare complesso, ma non so da dove cominciare.
Le mie considerazioni sono: si vede che non e' omogeneo, quindi potrei varificare se i ranghi della matrice completa e incompleta coincidono, se cosi fosse potrei applicare Cramer, e' possibile secondo voi?
$ { ( z^(2)+3= 2(z+z') ),( |z - 1|<=1 ):} $
Per z' intendo z soprassegnato, cioe' cognugato.
Grazie per l'aiuto.
Salve, esercitandomi sul trovare basi per dei sottospazi vettoriali sono incappato in un esercizio con una dichiarazione di sottoinsieme di $RR^4$ anomala.
Si consideri il seguente sottoinsieme di $RR^4$:
$E={(r+s+ t, r - s, r, s, s - t) in RR^5 : r, s, t in RR}$
Ora ecco dov'è il mio problema, di solito mi ritrovo o con una matrice associata al sottospazio o con un sistema di eq cartesiane. Questi $r-s$ o $s-t$ non riesco a capire come farli diventare i vettori lin. indipendenti ...
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