Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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sono incappato in un esercizio del genere in cui mi si chiede di calcolare il generico endomorfismo che soddisfa certe condizioni
sia $U={a_(ij)∈R^(3,3) ∣ a_(11)+a_(12)+a_(13)+a_(23)=0}$ determinare e studiare il generico endomorfismo $f:V->V$ tale che $U∩V⊆Kerf$ e $f^2=0$
$V$ è il sottospazio definito nella maniera seguente: ${X∈ℝ3,3∣X=X^t,trX=0,tr(XA)=0}$
dunque per scrivermi la matrice associata al generico endomorfismo devo rispettare le condizioni che mi sono state date ovvero il sottospazio ...
Risolvo il seguente sistema lineare usando l'algoritmo di Gauss:
$x_1 - x_3 + 3 x_4 + x_5 = 1$
$2 x_1 - x_2 + x_4 + x_5 = 0$
$- x_1 + x_3 - x_4 + x_5 = 1$
$x_1 - x_3 + 5 x_4 + 3 x_5 = 3$
Trovo allora la soluzione: $( x_3 + 2 x_5 - 2 , 2 x_3 + 4 x_5 - 3 , x_3 , 1 - x_5 , x_5 )$
che si può scrivere come:
$( x_3 , 2 x_3 , x_3 , 0 , 0 ) + ( 2 x_5 , 4 x_5 , 0 , - x_5 , x_5 ) + ( -2 , - 3 , 0 , 1 , 0 )$
cioè
$x_3 ( 1 , 2 , 1 , 0 , 0 ) + x_5 ( 2 , 4 , 0 , - 1 , 1 ) + ( -2 , - 3 , 0 , 1 , 0 )$
C'è altro da aggiungere?
Dovrei avere provato così che il sistema definisce un piano in $RR^5$.
Grazie per le eventuali delucidazioni.
Qualcuno sa dirmi cosa sono?
E in che relazione stanno con le coordinate cartesiane?
Grazie mille
ciao ragazzi ho dei problemi con la dimostrazione del seguente teorema:
Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e siano $k_1,k_2,....,k_r$ i suoi autovalori distinti.Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
1- f è diagonalizzabile;
2- $V=V_(k_1)+........+V_(k_n)$(col simbolo + intendo somma diretta);
3- Le radici del polinomio caratteristico appartengono tutte al campo K e sono tutte autovalori regolari.
Non riesco a capire un passaggio del ...
salve non sto riuscendo a trovare l'equazione cartesiana di una matrice simmetrica.
sia data la matrice $X=((x_(11),x_(12),x_(13)),(x_(21),x_(22),x_(23)),(x_(31),x_(32),x_(33)))$ tale che $X=X^t$.come posso calcolare l'equazione cartesiana che rappresenti una matrice simmetrica?
Allora ragazzi, voglio cercare di riassumere alcuni "capisaldi" sui suddetti spazi, quindi mi serve il vostro aiuto
- Uno spazio vettoriale reale (risp. complesso) in cui posso definire una forma bilineare simmetrica (risp. hermitiana) è uno spazio metrico (*)
- Uno spazio vettoriale (reale o complesso) dotato di norma è uno spazio normato
- Uno spazio normato (reale o complesso) che sia anche completo è uno spazio di Banach
- Uno spazio normato (reale o complesso) con norma definita da un ...
siano dati gli spazi vettoriali $V={(x,y,z,t)inRR^4 | x+y+z=0,2y+z+t=0}$ e $W={(x,y,z,t)inRR^4 | y=0, z=t}$
sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo tale che $V$ è l'autospazio associato all'autovalore $0$ e $W$ è l'autospazio associato all'autovalore $-1$.scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica.
per risolvere il seguente esercizio sfrutto la definizione di autospazio e mi calcolo una base di $V$ ed una base di ...
ho il seguente esercizio però non riesco a capire la strada da intraprendere
determinare $phi^(-1)(U)$ dove $U=L(x-2,(x-2)^3)$
dove $M=((-1,4,0),(0,0,-2),(0,-1,1))$ è la matrice associata all'applicazione lineare $phi$
conviene forse calcolarsi l'equazione cartesiana dello spazio vettoriale $U$?
Allora sul libro di algebra ho la seguente definzione di base:
"Una base di uno spazio vettoriale V finitamente generato è un sistema libero di generatori di V"
E la seguente affermazione:
"Sia R[x] l’insieme dei polinomi di grado qualsiasi a coefficienti reali.
Tale spazio non può essere dotato di una base formata da un numero finito di elementi. Notiamo tuttavia che i polinomi
1 , x , x2 , . . . , xn , . . . formano una base infinita di R[x]. "
Allora mi è venuto un dubbio:
R[x] non è ...
ho svolto il seguente esercizio ma non so se sono giunto alla soluzione esatta o comunque il mio ragionamento sia giusto.lo posto magari se ho commesso un errore qualche saggio può vederlo e correggerlo così magari evitare di sbagliare in futuro.
studiare l'endomorfismo $phi_h:V_h->V_h$ definito dalla legge
$phi_h(a+bx+cx^2+dx^3)=(h-x)(b+2cx+(c-d)x^2)$
dove $V_h={f in RR_3[x] | f(h)=0}$
per iniziare mi calcolo una base di $V_h$. questa sarà $B=(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$ quindi segue che $V_h=L(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$.sostituisco alla legge ...
ho un esercizio che non capisco se è sbagliato oppure sono io che non capisco.
sia data la matrice $A=((1,1),(1,-1))$ e il sottospazio $U=L(I,A,A^2)subR^(2,2)$. calcolare $dim_R U,U+V,UnnV$.
dove $V={X in RR^(2,2)| tr X=0}$
non capisco una cosa. il sottospazio $U$ com'è possibile che è generato da $A^2$ se $A^2$ è combinazione lineare di $I$?
Salve a tutti!! Sono nuovo, desideravo un piccolo aiuto su questi esercizi:
Determinare la forma di jordan della seguente matrice 3x3:
2 1 0
-1 4 0
1 -1 3
Altro esercizio:
Sapendo che rispetto alla base B dello spazio vettoriale V=Q^3 risulta V1=(2.-1,-2)coincidente(0,1,2)B , V2= ( -1,0,1) coinc (2,0,1)B, v3=(1, -1,0)coinc (1,-1,1)B
Determinare le coordinate di W=(2,-1,1) rispetto alla base B
Un grazie di cuore a chi vuole aiutarmi
devo calcolare la controimmagine di questa applicazione lineare
consideriamo l'$RR$ spazio vettoriale $V={X in RR^(2,2) | trX=0}$ e sia $hinRR$. sia $f_h:V->V$ l'endomorfismo avente $A=((1,1),(1,-1))$ come autovettore relativo all'autovalore $2$ tale che
$f_h((1,0),(1,-1))=((4-h,5-2h),(6-h,h-4))$
$f_h((1,0),(-1,-1))=((h,1),(-h,-h))$
determinare $f_h^(-1)((1,1),(1,-1))$
per risolvere l'esercizio mi scrivo la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base di $V$.osservo che le ...
buonasera a tutti
ho dei problemi con la definizione di superficie regolare in Rn: il mio libro dà questa definizione:
un sottoinsieme M di Rn si dice superficie regolare, se per ogni punto p di M esistono un intorno V di p in Rn e un,applicazione x da un aperto U di Rn a V intersecato M tale che
1) x è differenziabile
2) x é un omeomorfismo
3) x è una parametrizzazione locale regolare
ora, posto che nel libro la definizione di parametrizzazione locale è quella di applicazione da un aperto ...
é vero che un'applicazione differenziabile iniettiva tale che la sua matrice jacobiana ha rango massimo è un diffeomorfismo. é vero anche il viceversa? Ovvero, la matrice jacobiana di un diffeomorfismo ha sempre rango massimo?
Io credo di si ma non riesco a dimostrarlo!
ho la seguente matrice associata all'applicazione lineare $f_h$ e devo studiarmi la diagonalizzabilità al variare di $h$
$((2-lambda,5-2h,1),(0,h-lambda,-1),(0,-1,h-lambda))$
per prima cosa mi calcolo gli autovalori e questi sono: $lambda=2,lambda=h+1,lambda=h-1$
a questo punto mi devo distinguere i vari casi ma faccio confusione.
il primo caso di studio dovrebbe essere quando $h+1!=2,h-1!=2$ ovvero quando $h!=1,3$
in questo caso la molteplicità algebrica é pari a $1$ ma devo calcolarmi ...
Buongiorno a tutti!
Ho studiato il teorema di Cayley-Hamilton e mi è stato chiesto di descrivere una procedura per determinare l'aggiunta di una matrice assegnata avvalendosi di tale teorema.
Tuttavia non ho alcuna idea introduttiva in quanto non so come collegare la definizione di matrice aggiunta con la tesi del teorema (la matrice assegnata verifica il polinomio matriciale associato al polinomio caratteristico).
Qualcuno di voi ha qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ciao a tutti, sto studiando il concetto di copertura lineare e tra le proprietà il libro riporta che:
"L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale contente A, ovvero che L(A) è sempre contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente A"
e aggiunge che (una specie di dimostrazione):
"E' immediato osservare che ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A e quindi anche L(A)"
Non mi è chiaro perchè "ogni sottospazio ...
fissato un riferimento non cartesiano in cui le lunghezze di $\vec i$ e $\vec j$ siano rispettivamente 2 e 1 e sia 3/4 $\pi$ l'angolo formato da $\vec i$ e $\vec j$ , si visualizzino i punti A=(1,2) e B=(-1,1). scrivere poi l'equazione della retta $\varphi$ passante per l'origine e parallela a quella contenente A e B , determinare le componenti di un versore parallelo a $\varphi$. quali sono le nuove coordinate di A e B in un ...
Salve a tutti , vi scrivo per chiedervi qualcosa sui vettori linearmente indipendenti, io per verificare se due vettori lo sono faccio il sistema e non il determinante se il risultato mi dà zero so che sono lin. indip . però volevo sapere quando mi trovo più incognite che equazioni o più equazioni che incognite nel sistema posso subito dire che i vettori sono lin. dip????
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