Dubbio calcolo tensoriale

[DerivoxTe]

Salve a tutti, avrei un dubbio sul prodotto tensoriale (uso la convezione di eistein) ecco a voi:
Sia $T\in E_n\otimes E^\star_n $con $E_n$ un campo vettoriale su $ RR $ tale che $T=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j$ ed inoltre sia
$vec(v)\in E_n$ talche $vec(v)=v^ie_i$ ora devo eseguire la moltiplicazione $T*vec(v)$ io ho provato a svolgerlo nel seguente modo ma non so se è corretto

$T*vec(v)=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*v^ie_i=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*e^i(v)e_i=T_j^i\delta_i^i*\delta^j_iv^ie_i=T_j^iv^je_i$
ma il mio dubbio è il seguete :
$T_j^ie_i\otimes e^j=e^jT_j^ie_i$
quest'ultimo passagio è valido??? altrimenti come dovrebbe essere?

[ciampax]

Sì che è corretto: in ogni caso, usa indici diversi, in questo modo:

$T*vec(v)=T_{j}^{i} e_i\otimes e^j*v^k e_k=T_j^i e_i v^k\delta_k^j=v^j T_j^i e_i$

[DerivoxTe]

si ma è valido dire che
$T^i_je_i\otimes e^j=e^jT^i_je_i$ ???

[ciampax]

Certo che è valido. Magari non è una cosa che trovi scritta sui testi, ma il senso di quello che fai, quando applichi le leggi di contrazione, è esattamente quello. Se lo scrivi così: $(T^i_j e^j) e_i$ puoi interpretare il tutto come il "vettore" di coordinate $a^i=T_j^i e^j$.

[DerivoxTe]

grazie moltissimeeee!!!!