Distanza tra due piani paralleli
Stavo provando a ragionare sulla distanza tra due piani paralleli.. Io so che due piani ax+by+cz+d=0 e a'x+b'y+c'z+d'=0 sono paralleli se (a,b,c)=k(a',b',c') e che se anche d=kd' i due piani sono coincidenti. La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine, o sbaglio? quindi la formula sarà $ |d| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ - $ |d'| / sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $. E' giusto il mio ragionamento? Il mio prof però mi ha dato come formula questa: $ |d-d'| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ ma non capisco il perchè! Qualcuno saprebbe darmi delucidazioni in merito? Grazie 
Risposte
Il tuo prof ha semplicemente applicato la definizione:
"La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine"
"La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine"
ma al denominatore come faccio a prendere solo a,b e c e a tralasciare a',b' e c'?
intendo dire che $ sqrt(a^2+b^2+c^2) $ è diversa da $ sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $
"stars123":
intendo dire che $ sqrt(a^2+b^2+c^2) $ è diversa da $ sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $
Non credo ce quei due denominatori che hai citato tu siano diversi, in quanto sono paralleli, quindi al massimo sarà diverso il $d$ da $d'$
"Quinzio":
Il tuo prof ha semplicemente applicato la definizione:
"La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine"
E' una definizione che sul mio libro di geometria è dato semplicemente per scontato *_*
Se ti interessa ho fatto un esercizio in base alla definizione che mi hai dato!
"stars123":
Stavo provando a ragionare sulla distanza tra due piani paralleli.. Io so che due piani ax+by+cz+d=0 e a'x+b'y+c'z+d'=0 sono paralleli se (a,b,c)=k(a',b',c') e che se anche d=kd' i due piani sono coincidenti. La distanza tra i due piani paralleli è uguale alla differenza delle distanze dei due piani dall'origine, o sbaglio? quindi la formula sarà $ |d| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ - $ |d'| / sqrt(a'^2+b'^2+c'^2) $. E' giusto il mio ragionamento? Il mio prof però mi ha dato come formula questa: $ |d-d'| / sqrt(a^2+b^2+c^2) $ ma non capisco il perchè! Qualcuno saprebbe darmi delucidazioni in merito? Grazie
La formula della distanza che hai riportato è valida se esprimi l'equazione del 2° piano in modo che:
$\{(a'=a),(b'=b),(c'=c):}$
e questo lo puoi sempre fare dato che, essendo i piani paralleli, avrai:
$\{(a'=ka),(b'=kb),(c'=kc):}$
quindi il d' che metti nella formula in realtà deve essere $(d')/k$
Ad esempio:
i 2 piani paralleli tra cui devi calcolare la distanza sono:
$\pi : 4x-3y+6z-1=0$
$\sigma : 8x-6y+12z+5=0$
Come vedi hai:
$\{(a=4),(b=-3),(c=6):}$ e $\{(a'=8=2a),(b'=-6=2b),(c'=12=2c):}$, cioé rispetto alle formule citate sopra hai $k=2$
Allora per usare la formula della distanza che hai scritto tu devi scrivere l'equazione di $\sigma$:
$\sigma : 8/kx-6/ky+12/kz+5/k=0 => 4x-3y+6z+5/2=0$
Ora puoi applicare la formula con le equazioni dei piani espresse così:
$\pi : 4x-3y+6z-1=0$ e $\sigma : 4x-3y+6z+5/2=0$
Quindi: $distanza(\pi,\sigma)=|d-d'|/sqrt(a^2+b^2+c^2)=|-1-5/2|/sqrt(4^2+(-3)^2+6^2)=7/sqrt(244)$
Analogamente potevi riscrivere l'equazione del piano $\pi$:
$\pi : 8x-6y+12z-2=0$
Ora puoi applicare la formula con le equazioni dei piani espresse così:
$\pi : 8x-6y+12z-2=0$ e $\sigma : 8x-6y+12z+5=0$
Quindi: $distanza(\pi,\sigma)=|d-d'|/sqrt(a^2+b^2+c^2)=|-2-5|/sqrt(8^2+(-6)^2+12^2)=7/sqrt(244)$
Come vedi i risultati coincidono.
Io ad esempio invece ho questi due piani propriamente paralleli:
$pi: x - 2y + z - 2 = 0$
$PI': X -2Y + Z - 5 =0$
Cioè hanno quote diverse, la distanza tra i due posso scriverla come:
$d(pi,pi')=|-2-5|/sqrt(1+4+1)=7/sqrt(6)$
giusto no?
$pi: x - 2y + z - 2 = 0$
$PI': X -2Y + Z - 5 =0$
Cioè hanno quote diverse, la distanza tra i due posso scriverla come:
$d(pi,pi')=|-2-5|/sqrt(1+4+1)=7/sqrt(6)$
giusto no?
La proiezione o componente di un vettore \( \boldsymbol{v} \) lungo la direzione di un altro vettore \( \boldsymbol{n} \) è definita come
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} \boldsymbol{v} = \frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{n}||^2} \boldsymbol{n}. \]
Sia ora \( \boldsymbol{v} = (x, y, z) \) e \( \boldsymbol{n} = (a, b, c) \). Possiamo allora scrivere l'equazione precedente come
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} \boldsymbol{v} = \frac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2} \boldsymbol{n}. \]
Confrontando questa formula con quella di un piano qualsiasi notiamo che i punti del piano hanno componenti (più precisamente i vettori dall'origine al punto hanno componenti) lungo la direzione normale al piano uguali. Se \( P = (x, y, z) \) è un punto del piano \( ax + by + cz = d \), allora \( \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} (P - O) = \frac{d}{a^2 + b^2 + c^2} \boldsymbol{n} \) dove \( \boldsymbol{n} = (a, b, c) \) è la normale del piano. Inoltre, la distanza del piano dall'origine è data dal modulo della proiezione di un punto qualsiasi del piano lungo la normale e quindi uguale a \( \left|\left| \frac{d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|\right| \). Come già osservato, un piano parallelo a questo dovrà avere normale uguale a \( \lambda \, \boldsymbol{n} \) per un qualche \( \lambda \in \mathbb R^*\). La sua equazione dovrà quindi essere nella forma \( \lambda (ax + by + cz) = s \) e dovrà essere
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_{\lambda \, \boldsymbol{n}} (Q - O) = \mathop{\rm proj}\nolimits_{\lambda \, \boldsymbol{n}} (Q - O) = \frac{s}{\lambda^2 ( a^2 + b^2 + c^2 )} \lambda \, \boldsymbol{n} = \frac{s}{\lambda (a^2 + b^2 + c^2)} \boldsymbol{n}. \]
La prima uguaglianza dipende dal fatto che la proiezione dipende solo dalla direzione e non dal modulo di \( \boldsymbol{n} \). La distanza tra i due piani dovrà allora essere il modulo del vettore differenza tra le due proiezioni lungo \( \boldsymbol{n} \). Sarà cioè uguale a
\[ \left| \frac{d - s / \lambda}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right| = \frac{| d - s / \lambda |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. \]
L'obiettivo di tutto questo è di fornire un punto di vista diverso del problema basato sui vettori. La proiezione di un punto qualsiasi nella direzione di \(\boldsymbol{n}\) non è altro che il più piccolo vettore che è necessario sommare al piano passante per l'origine per ottenere il piano desiderato. La differenza tra le due proiezioni dei piano è allora il più piccolo vettore che manda un piano nell'altro.
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} \boldsymbol{v} = \frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{n}||^2} \boldsymbol{n}. \]
Sia ora \( \boldsymbol{v} = (x, y, z) \) e \( \boldsymbol{n} = (a, b, c) \). Possiamo allora scrivere l'equazione precedente come
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} \boldsymbol{v} = \frac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2} \boldsymbol{n}. \]
Confrontando questa formula con quella di un piano qualsiasi notiamo che i punti del piano hanno componenti (più precisamente i vettori dall'origine al punto hanno componenti) lungo la direzione normale al piano uguali. Se \( P = (x, y, z) \) è un punto del piano \( ax + by + cz = d \), allora \( \mathop{\rm proj}\nolimits_\boldsymbol{n} (P - O) = \frac{d}{a^2 + b^2 + c^2} \boldsymbol{n} \) dove \( \boldsymbol{n} = (a, b, c) \) è la normale del piano. Inoltre, la distanza del piano dall'origine è data dal modulo della proiezione di un punto qualsiasi del piano lungo la normale e quindi uguale a \( \left|\left| \frac{d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|\right| \). Come già osservato, un piano parallelo a questo dovrà avere normale uguale a \( \lambda \, \boldsymbol{n} \) per un qualche \( \lambda \in \mathbb R^*\). La sua equazione dovrà quindi essere nella forma \( \lambda (ax + by + cz) = s \) e dovrà essere
\[ \mathop{\rm proj}\nolimits_{\lambda \, \boldsymbol{n}} (Q - O) = \mathop{\rm proj}\nolimits_{\lambda \, \boldsymbol{n}} (Q - O) = \frac{s}{\lambda^2 ( a^2 + b^2 + c^2 )} \lambda \, \boldsymbol{n} = \frac{s}{\lambda (a^2 + b^2 + c^2)} \boldsymbol{n}. \]
La prima uguaglianza dipende dal fatto che la proiezione dipende solo dalla direzione e non dal modulo di \( \boldsymbol{n} \). La distanza tra i due piani dovrà allora essere il modulo del vettore differenza tra le due proiezioni lungo \( \boldsymbol{n} \). Sarà cioè uguale a
\[ \left| \frac{d - s / \lambda}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right| = \frac{| d - s / \lambda |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. \]
L'obiettivo di tutto questo è di fornire un punto di vista diverso del problema basato sui vettori. La proiezione di un punto qualsiasi nella direzione di \(\boldsymbol{n}\) non è altro che il più piccolo vettore che è necessario sommare al piano passante per l'origine per ottenere il piano desiderato. La differenza tra le due proiezioni dei piano è allora il più piccolo vettore che manda un piano nell'altro.
"clever":
Io ad esempio invece ho questi due piani propriamente paralleli:
$pi: x - 2y + z - 2 = 0$
$PI': X -2Y + Z - 5 =0$
Cioè hanno quote diverse, la distanza tra i due posso scriverla come:
$d(pi,pi')=|-2-5|/sqrt(1+4+1)=7/sqrt(6)$
giusto no?
No, dovrebbe essere
\[ \mathop{\rm d}(\pi, \pi') = \frac{|5 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}. \]
Devi insomma sottrarre i due termini noti, non sommarli tra di loro..
Ho riguardato questo vecchio post, perchè ho trovato su degli appunti questa nota per trovare la distanza tra due piani propriamente paralleli:
Lo schematizza così:
1) retta perpendicalere ad entrambe.
2)intersezione
3) distanza tra 2 punti.
però a mio dire, la vedo un pò più lunga...che ne pensate
Lo schematizza così:
1) retta perpendicalere ad entrambe.
2)intersezione
3) distanza tra 2 punti.
però a mio dire, la vedo un pò più lunga...che ne pensate
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo