Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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l'esame di geometria e algebra lineare che devo fare prevede un vero o falso iniziale. il compito vero e proprio non viene nemmeno corretto se si fa male il vero o falso.
1) la distanza di un punto P da un piano TT è la lunghezza del segento congiungente P con un qualunque punto del piano.
falso. la distanza si misura sulla perpendicolare al piano passante per P
2)tre punti qualunque dello spazio individuano sempre un piano.
falso. tre punti non allineati dello spazio individuano un ...
ho risolto un problema.però non sono sicuro circa la correttezza della soluzione.
determinare la famiglia $epsilon$ di endomorfismi di $V$ aventi $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$.
dove
$W=VnnT$
$V={((x,y),(z,t))inRR^(2,2)| 3x+y+z-t=0}$
$T={XinRR^(2,2)|tr(X)=0}$
ho risolso il seguente quesito in questa maniera.considerando la definizione di autospazio si ha $W_2={winW|epsilon(w)=2w}$
ovvero la famiglia di endomorfismi sono tutti quegli endomorfismi tale che ...
Ciao a tutti!
Sono alle prese con la definizione di cofattore di una matrice. Gli appunti del mio prof lo spiegano così:
Sia A $ ( ( a11 , ... , a1n ),( ... , ... , ... ),( an1 , ... , anm ) ) $
e sia Mij la sottomatrice di A ottenuta cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima di A. Si chiama cofattore di aij il numero $Aij = (-1)^(i+j) |Mij|$
Sia L la matrice i cui elementi sono i cofattori di Aij, ossia
$ ( ( Aij , ... , A1n ),( ... , ... , ... ),( An1 , ... , Amn ) ) $
Si chiama aggiunto di A e si indica con agg(A) la matrice $L^t = agg(A)$ .
Allora la matrice inversa di una ...
Ciao a tutti, mi servirebbero un paio di chiarimenti sul seguente esercizio:
Determinare la matrice, rispetto alla base canonica, della proiezione ortogonale $ P: RR ^3rarr RR ^3 $ sul piano di equazione $ x-2y+z=0 $
Svolgimento:
assegnando dei valori a $ x $ e $ y $ nell'equazione del piano, si ottiene $ z $. In questo modo, è possibile trovare due vettori che siano una base (cioè linearmente indipendenti) del piano:
per, ad esempio, $ x=1 ; y=1 $ si ...
salve ragazzi una domanda su un esercizio di algebra tensoriale
se ho
$\vec(v)=v^je_j$ e $\vec(u)=u^ie_i)$ calcolare $\nabla_{\vec(u)} \vec(v)$ io ho svolto i calcoli è sono arrivato a questo risultato
$\nabla_{\vec(u)} \vec(v)=u^ie_j \frac {\partial v^j } {\partial x^i} +(u^ie_j+u^ie_k)\Gamma_{ij}^k v^j$
ma il libro mi dice che il risultato è $(u^iv^j\Gamma_{ij}^k+u^i\frac{\partial v^k} {\partial x^i))e_k$
mi potete dire dove ho sbagliato o almeno indirizzarmi a vedere l'errore
grazie in anticipo
salve a tutti.ho un dilemma scaturito in questi giorni di riposo.
quando occorre calcolare una matrice rispetto a delle basi fissate, si calcolano prima le componenti del generico vettore rispetto ad una base fissata e poi le immagini.esempio caso secondo punto del compito qui linkato. http://www.giuseppepaxia.it/Prof_Paxia/Compiti_desami_risolti_files/Ris-Ed-Arch-15_07_09.pdf
per quale ragione si calcolano le componenti del generico vettore?cioè a noi interessano le immagini delle componenti per scrivere la matrice.
scusate potreste darmi una mano, perchè ogni volta che mi metto a fare questi sistemi lineari mi spunta fuori un nuovo problema, ho la matrice completa del sistema omogeneo:
1 k -1 3 0
k 1 3 -k 0
1 1 2 -1 0
e mi chiede:
1) studiare il rango della matrice al variare di k
2) determinare i valori di k per cui il sistema è compatibile e le corrispondenti soluzioni
1 3
io ho provato ...
In $RR[x]_(<=3)$ se mi capita di lavorare con dei polinomi tipo $p(x)=x^3-x^2$ ; $q(x)=x-x^2$ ; $r(x)=1+x$ ; $s(x)=x^3+x$ ; $t(x)=1-x-x^3$
tali che $U=<p(x),q(x),r(x)>$ e $W=<s(x),t(x)>$
e devo determinare ad esempio una base per il sottospazio somma $U+W$, o qualsiasi altra cosa...posso fare riferimento alla base canonica ${x^3,x^2,x,1}$?
ad esempio nella base canonica il polinomio $p(x)=x^3-x^2$ ha cordinate $(1,-1,0,0)$,seguendo ...
ho il seguente problema su cui ho un paio di idee ma purtroppo nulla di definitivo.
determinare e studiare il fascio di coniche passanti per $O(0,0,0)$ e $B(0,4,0)$ e simmetriche rispetto alla retta di equazione $r:{(x+y=0),(z=0):}$
per scrivermi il fascio di coniche ho bisogno almeno di 4 punti.due già ce li ho.me ne servono altri due.so però che il fascio di coniche deve essere simmetrico rispetto alla retta ${(x+y=0),(z=0):}$ cioè vale a dire che il generico punto appartenente ...
Salve a tutti... ho un problema con il determinante... io mi chiedo se questa particolare funzione esiste ed è unica: basta far vedere che la formula induttiva di Laplace rispetta le mie tre proprietà fondamentali (matrice identità ha det=1, due colonne uguali implica det=0 ed è n-lineare come funzione sulle colonne)?? cioè così dimostro l'esistenza, ma non mi torna che sia unica la fuznione che ha queste tre proprietà...
poi uin'altra domanda... il nostro professore ha dimostrato questa ...
mi sono imbattuto in questo esercizio in cui mi si chiede di trovare quei valori per i quali esiste ed è unico l'endomorfismo $f:RR^3->RR^3$ tale che
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f^2=4i$ dove $i$ è l'identità
$(2h-1,1,h)$ è autovettore rispetto all'autovalore $2$
dopo una serie di banali sostituzioni mi sono trovato le relazioni che definisco l'endomorfismo:
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f(1,1,0)=(0,4,4)$
$f(2h-1,1,h)=(4h-4,2,2h)$
trovare i valori i quali fanno si che ...
un esercizio mi chiede di studiare la semplicità della funzione $f$ composta $g$ dove $f:RR^(2,2)->R_2[x]$ e $g:R_2[x]->RR^(2,2)$ dove
$M(f)=((1,0,0,-1),(1,1,0,0),(0,0,1,1))$
$M(g)=((-1,0,1),(0,1,0),(0,1,0),(1,1,0))$
be ho pensato niente di più facile.basta effettuare il prodotto tra le due matrici e si ottiene una matrice $3x3$ su cui poi studiare la semplicità.ma credo che ci sia un inganno.
la funzione $f$ composta $g$ è una funzione da $RR^(2,2)->RR^(2,2)$.può essere mai ...
scusate ragazzi ho un dubbio è possibile eseguire la tracci di un vettore?? in tal caso come la si calcola??
grazie in anticipo
se ho due rette ${(z=0),(x+y=0):}$ e ${(x=0),(z=0):}$ e mi si chiede di considerare l'unione.la retta unione sarebbe questa ${(x+y=0),(z=0):}$ esatto?
scusate ma non riesco proprio a capire come posso trovare il rango massimo di una matrice con parametro k, per es se la matrice è questa:
1 k 2k 0
1 2 -1 0
k -4 2 0
1 -k -4 0
dove l'ultima colonna rapprresenta i termini noti del sistema, potreste spiegarmi passo passo come fare?
e se la colonna dei termini noti non è con tutti zeri, cioè il sistema non è omogeneo cambia qualcosa sul procedimento?
grazie
Salve matematici.
Non so se questa è la sezione giusta,perciò se ho sbagliato chiedo venia!
Sto preparando un esame di statistica e probabilità che richiede alcuni concetti di topologia,ma nel prendere gli appunti ho saltato qualche passaggio!
Prendiamo $(S,T)$ spazio topologico di sostegno $S$,definisco gli aperti della topologia come gli elementi di $SxT$. E' corretto? E invece chi sono i chiusi? Ho scritto qualcosa che riguardi la differenze,ma rispetto a ...
Dunque ho provato a svolgere il seguente esercizio però ho un dubbio riguardo l'intersezione tra i sottospazi.
Ho una base a= $ { a1,a2,a3,a4} $ ortogonale di V ed i seguenti sottospazi S e T :
S= $ {v*3a1=0 e v*a2=0 } $
T= $ { v*a2=0 e v*3a3=0} $
ora la dimensione di S dovrebbe essere 2 con base formata da a3 ed a4 e la dimensione di T pure due con base formata da a1 e a4.Per quanto riguarda l'intersezione a me viene che $ S nn T $ è di dimensione 1 e la sua base è composta dal vettore a1.
E' ...
siano le rette
$r:2x+y-z=x-y+1=0$
$s:x-y+z=x+2z-2=0$
$t:3x-y+z=y+z-2=0$
determinare l'affinità$f:A^3(RR)->A^3(RR)$ che manda gli assi $x,y,z$ rispettivamente nelle rette $r,s,t$
ho studiato bene la teoria e ho visto tutti i post che ho trovato sul forum riguardo alle affinità,ma non mi hanno aiutato a svolgere questo esercizio,in particolare perchè non saprei come ragionare in $A^3$
l'unica cosa che so è che $f(0,0,0)=(0,1,1)$ come risultato dei punti di incidenza ...
Salve a tutti.
Non ho ben chiaro come si calcolino lunghezze di curve su una superficie geometrica, ad esempio sul semipiano superiore di Poincarè $\mathbb{R}^2_+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y>0 \}$ con la metrica $E(x,y)=1, F(x,y)=0, G(x,y)= \frac{1}{y}$.
Devo calcolare la lunghezza dei segmenti di retta $y=mx$ con $m \in \mathbb{R}^+$ $0<\epsilon\leq x \leq 1$.
Si sa che $l_{\epsilon, 1}( \alpha )=\int_{\epsilon}^1 ||\alpha'(t)|| dt$ e che $||\alpha'(t)||=\sqrt(E(u(t),v(t)) (u'(t))^2+2u'(t)v'(t)F(u(t),v(t))+G(u(t),v(t)) (v'(t))^2 )$, dove ,indicando con $h$ una parametrizzazione di $\mathbb{R}^2_+$, $\alpha'(t)=u(t)h_u+v(t)h_v$.
Ora non capisco se posso ...
ho difficoltà a capire per bene il concetto di rango di una matrice.
"da una matrice A di tipo m*n, i suoi minori di ordine k sono i determinanti delle sottomatrici che si ottengono da A sopprimendo m-k righe e n-k colonne".
ad esempio in una matrice 3*3 del tipo $|(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)|$
quale è il rango? come lo trovo?
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