Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, non mi è chiaro come si fa a classificare un punto improprio(ovvero dire se è una cuspide, ecc...).Ad esempio, prendendo la curva:
$ f(x,y)=x^2y+4(y-2) $
Io ho trovato che ha due punti impropri che sono $ P_0=[1:0:0] $ e $ P_1=[0:1:0] $ ...ma poi come devo proseguire?
Buonasera, come si fa a sapere quanti prodotti scalari ci sono su $ R³ $ a meno di cambiamenti di base.
Non riseco proprio a capire il senso della domanda.
Io ho ragionato cosi: in $R^3 $ c'ho $ 3 $ vettori $ a,b,c, $ quindi potreri fare prodotti scalari del tipo: ab, ac, bc, aa, bb, cc ma e' sicuramente sbagliato.
Come potrei fare se no?
Grazie.
Ciao a tutti, ho incontrato un problema durante la risoluzione del seguente esercizio:
Data la conica:
$ 5x^2 + 6xy + 5y^2 - 4x + 4y - 12 = 0 $
Bisogna riconoscerla e trovare centro, assi, vertici, forma canonica e fuochi.
La conica è un'ellisse, ho ricavato tutto, compresa la forma canonica, utilizzando gli autovalori della matrice interna come coefficenti. Non ho quindi utilizzato la rototraslazione. Non riesco a trovare i fuochi e la direttrice, qualcuno sa suggerirmi un metodo per trovarli, senza ...
Ho un sistema lineare con parametro, la matrice asociata e', devo trovare dimKerA e DimImA al variare di t:
$A = ( ( t+1 , 1, 1),( 1, t+1, 1),( 1, 1, t+1) ) $
Applicando piu' volte la riduzione a scala ho ottenuto:
$A = ( ( 1, 1, t+1),( 0, t, -t),( 0, 0, t^2-3t) ) $
Ora dovrei calcolare i valori per cui i pivot si annullano:
$ t=0 $ e $ t=3 $ dove $ t = 0 $ annulla sia $ t $ che $ t^2-3t $ mentre $ t = 3 $ annulla solo $ t^2-3t $.
Ora come faccio a trovare la dimKerA e dimImA, io lo svolto ...
Buonasera, ho un paio di domande da farvi.
Potreste perfavore farmi un esempio di matrice associata al prodotto scalare il cui spazio radicale ha dimensione 2.
Se ho una matrice associata al prodotto scalare che ha determinante diverso da 0, pero' lo spazio radicale e' composto dal solo vettore nullo cioe'
applicando $ Av=0 $ ottengo $ v=(0,0,0) $ in $ R^3 $ per esempio, la dimensione dello spazio radicale e' 1 oppure 0, dovrebbe essere 1?
Grazie.!.
Buonpomeriggio!
Avrei un dubbio.
ho un esercizio di questo tipo:
dato un sistema di riferimento cartesiano siano dati i punti $p=(2,1,3)$ e $q=(0,1,-1)$
si determini un movimento dello spazio che mandi $p$ in $q$ e $q$ in $p$.
dunque innanzitutto mi conviene cercare il piano passante per il punto medio dei due punti, così da poterli supporre simmetrici rispetto a tale piano.
il punto medio sarà $M=(1,1,1)$. forse se ...
Si classifichi, al variare del parametro reale h, la quadrica di equazioni:
$ 2x^2+(1+h)y^2-4(1+h)yz+(5+5h)z^2+4x-2y+4z+3=0 $
La matrice associata alla quadrica è la seguente :
$ ((2,0,0,2),(0,1+h,-2(1+h),-1),(0,-2(1+h),5+5h,2),(2,-1,2,3)) $
A questo punto devo verificare se si tratta di una quadrica specializzata o di una quadrica non specializzata!!
Detta A la matrice associata alla quadrica , ottengo che $ detA != 0 $ per cui è una quadrica NON specializzata !! A questo punto consideriamo la matrice $ A_(4,4) $ cioè la matrice A tolta la quarta ...
Ciao a tutti, ho qualche problema con chiusura e interno di sottoinsiemi di spazi metrici.
Uso le seguenti definizioni:
Sia [tex](X,d)[/tex] spazio metrico, [tex]S \subseteq X[/tex], [tex]S[/tex] è aperto se e solo se [tex]\forall x \in S, \exists \epsilon > 0 / B(x,\epsilon] \subseteq S[/tex].
[tex]S[/tex] è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.
[tex]Cl(S) = \bigcap C / C[/tex] chiuso, [tex]C \supseteq S[/tex].
[tex]Int(S) = \bigcup A / A[/tex] aperto, [tex]A \subseteq ...
La conica $(2k-2)x^2+(2-2k)xy+(k-2)y^2-4x+2y+k=0$ può essere vuota? La soluzione è sì, però non riesco a capire perché.
A me risulta: degenere se $k=-1,2,3$
Parabola, se $k=1$, parabola degenre se $k=3$
Ellisse, se $k<1 V k>3$ con $k!=-1$
Quando poi devo controllare se è vuota o meno, faccio $a_(11)detA>0$ Quindi $2(k-1)(k^2-5k+6)(k+1)>0$ Trovo quindi gli intervalli $k<-1 V 1<k<2 V k>3$ In questi intervalli però, ho verificato che la conica può risultare una ellisse ...
Ho questa conica: $2x^2-2xy+2y^2=3$
Mi viene chiesto:
a) di riconoscerla
b) di scrivere l'equazione degli assi di simmetria
c) di determinare la Canonica
d) di scrivere il cambio di coordinate necessario per ottenere la dorma canonica
a) Non ho problemi a riconoscerla (e ci mancherebbe..) è un'ELLISSE
b) non so come fare a determinare gli assi di simmetria.capisco che ha già centro in O(0,0) facendo le derivate parziali in x e in y, ma non ho proprio idea di come trovare gli assi (se qualcuno ...
Ciao a tutti, in questo esercizio ho due spazi vettoriali H e K con le relative basi e devo determinare la dimensione della loro intersezione e la conseguente base.
H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $
Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3. Cerco dim(H+K): (H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $ e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $, segue che rg(H*K)=4=dim(H*K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H*K)=2+3-4=1.
Ora, per trovare la base dell'intersezione ...
sapreste indicarmi qual è il significato geometrico della prima e della seconda forma fondamentale??
Salve, come da titolo sto cercando di dimostrare le 4 proprietà del prodotto scalare in $E^3$ e le 3 proprietà caratterizzanti la norma, sempre in $E^3$.
Io abbozzato qualche dimostrazione, ma non credo sia esatta, soprattutto per quanto riguarda il prodotto scalare.
Le proprietà del prodotto da dimostrare sono:
1) $vxw=wxv$
2) $(a1v1+a2v2)w=a1(v1w)+a2(v2w)$
3) $vxv>=0$
4) $vxv=0$ se e solo se $v=0v$
E invece le 3 della norma sono:
1) ...
Buonasera ho un dubbio teorico/pratico/esistenziale:per scrivere l'equazione canonica di una forma quadratica una volta che ho trovato gli autovalori,con che criteria li pongo nelle incognite dell'equazione in f. canonica?
grazie
Salve. Devo rispondere a dei quesiti di geometria ma per alcuni ho bisogno di qualche dritta.
Ad esempio per il seguente.
Si considerino:
la retta p data dal sistema:
$ ( ( x = c - t ),( y = c + 2t ),( z = c + 2t) ) $
e la retta q data dal sistema:
$ ( ( (c+1)x - cy + (c+1)z = -1 ),( (c-1)x -y +z = c-2 ) ) $
Per quanti valori di c la retta p è perpendicolare alla retta q?
Probabilmente il mio ragionamento è sbagliato ma ho pensato che devo vedere che sia verificata la condizione di perpendicolarità: aa' + bb' + cc' =0
Ora, la prima retta è scritta ...
sia $P^3$ lo spazio proiettivo.
consideriamo le due rette
$r(k)=\{((k+1)x_0-(k+1)x_1 -x_2 = 0),(x_0 - x_1 -x_3= 0):}$
$s(k)=\{(kx_0-x_1 +x_3 = 0),(x_2= 0):}$
devo trovare il valore k percui le due rette siano sghembe oppure incidenti non coincidenti...come si fa nel proiettivo????
Salve,allora ho un problema con un esercizio sulle sfere il testo dice :
Sia S la superficie sferica di centro (0,1,1) e raggio uguale ad 1.
a) Scrivere un’equazione cartesiana di S.
b) Qual è il piano tangente a S nel punto (0,1,2)?
c) Rappresentare in forma cartesiana la circonferenza C che è l’intersezione di S con il piano di equazione
2x = 1 e trovare il centro e il raggio di C.
il punto a è banale viene ...
Buongiorno!
Svolgendo un esercizio, mi sono ritrovata a dover passare dalla forma parametrica di una quadrica alla sua forma cartesiana.
la mia forma parametrica è
${(x=2+s),(y=sqrt(3)cost+s),(z=sqrt(3)sint+s):}$
dal punto di vista teorico dovrei ragionare in questo modo:
elimino i parametri $t$ e $s$ e mi trovo l'equazione.
ho fatto in questo modo:
${(s=x-2),(cost=(y-s)/sqrt(3)),(sint=(z-s)/sqrt(3)):}$ e quindi avrò ${(s=x-2),(cost=(y-x+2)/sqrt(3)),(sint=(z-x+2)/sqrt(3)):}$
ora, so che l'equazione cartesiana del mio cilindro dovrà risultare
$(y-x+2)^2+(z-x+2)^2=3$
il punto è ...
salve a tutti, avrei dei dubbi sul seguente esercizo, lo riscrivo per intero, sperando si possa capire il più possibile di cosa si tratta.
Al variare del parametro $lambda in R$, $f_lambda : R^3 rarr R^2$ l'applicazione lineare tale che, per ogni $(x,y,z) in R^3$:
$f_lambda(x,y,z) = (x + (lambda-1)z, (3-lambda)x + y + z)$.
Determinare per quali valori di $lambda in R$ l'applicazione $f_lambda$ è surgettiva.
Deterinata la base e la sua immagine, tutto dovrebbe risolversi, solo che poi non riesco a dimostrare il valore di ...
Salve ragazzi, mentre svolgevo il seguente esercizio ho incontrato dei problemi, vi espongo il testo:
Dato il punto A(0,1,2) e la retta $r={(x=2t+3),(y=-t-1),(z=t):}$, determinare il piano $\pi$ passante per A ed ortogonale ad r.
Sia C(0,0,1) $in$ $\pi$, posto B=r $nn$ $\pi$ determinare un punto D tale che BADC siano nell' ordine i vertici consecutivi di un parallelogramma.
Non ho avuto alcun problema a determinare il piano ...
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