Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
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Chi è cosi gentile da aiutarmi con questo esercizio? Per favore
Sia $ f : RR^{2} -> RR^{2} $ l'applicazione $ f (x,y)=( 2x + 4y + 4 + t, 2x - yt ) $
a) Si determini per quali valori del parametro $ t $ l'applicazione è lineare
b) In relazione a tali valori del parametro si stabilisca se $ t $ è un isomorfismo
c) In relazione a tali valori del parametro, si studi la diagonalizzabilità di $ f $, determinando, se possibile, una base di autovettori
d) In relazione a tali valori del ...
Ciao ragazzi, per dimostrare che due rette sono sghembe va bene dimostrare che non sono ne parallele e ne che hanno un punto in comune vero?
Cioè se non sono parallele si possono intersecare... ma se si verifica che non si possono nemmeno intersecare allora sono sghembe!
Confermate?
Vorrei provare geometricamente e non algebricamente che è unica la retta tangente ad una conica in un suo punto P.
Nel caso che la conica sia una circonferenza, la dimostrazione è semplice infatti è sufficiente osservare che la tangente in P ad una circonferenza di centro O è perpendicolare al raggio OP e dopodiché si utilizza il teorema dell'unicità della retta perpendicolare.
Per quanto riguarda ellisse, iperbole e parabola, ho problemi a trovare una dimostrazione geometrica.
Come ...
$A = ((2,1),(1,0))$
In $ZZ_2$ è diagonale (e quindi anche triangolare), infatti $A = ((0,1),(1,0))$.
In $ZZ_3$, invece:
$p_A (x) = det ( A - x E_2 ) = det ((2 - x , 1),( 1, - x)) = x^2 - 2 x - 1$
Per risolvere questa equazione nel campo $ZZ_3$ provo sostituire $0, 1 , 2$ al posto dell'indeterminata. Trovo:
$p_A (0) = - 1$
$p_A (1) = - 2$
$p_A (2) = - 1$
Quindi concluderei che $p_A (x) = 0$ non ha soluzioni in $ZZ_3$ e quindi l'endomorfismo associato alla matrice $A$ non ...
Data la matrice:
$A = ((1,0,-1,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,1))$
devo trovare basi di tutti gli autospazi generalizzati di $A$.
L'unico autovalore è $lambda = 1$ (m.a. = 4 , m.g. = 1). Gli autospazi sono:
$"Ker" ( A - I_4 ) = < ((1),(0),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^2 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^3 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) , ((0),(1),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^4 = RR^4$
Ora come si trova la famosa base di Jordan?
salve ragazzi,
a breve affronterò un esame di geomtria e algebra lineare, e il professore è abituato a lasciare un sistema di equazioni lineari di 4 equazioni in 4 incognite.
solitamente richiede la riduzione a scala , e la risoluzione nelle 4 incognite, magari con un parametro di mezzo.
potreste darmi qualche dritta (trucchetto) che mi permette di semplificare i conti?
concettualemnte so tutti i metodi di risoluzione dei sistemi lineari, e so come si riduce a scala. Però ciò che chiedo ...
Ciao a tutti.
vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio capitatomi all'esame.
L'applicazione lineare era: L(x,y)$\Rightarrow$[ix-y,iy,x]
Bisognava trovare la matrice associata all'applicazione lineare(questo era il primo punto dell'esercizio).Se fosse stato in R avrei semplicemente trovato le immagini dei vettori delle basi canoniche e la matrice sarebbe stata quella che aveva come colonne tali immagini.Ma per i numeri complessi che base avrei dovuto scegliere?mi spiego la base ...
Su un libro ho trovato questo lemma, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio. Ho però pochissima confidenza con gli spazi in questione, per cui non ci sto riuscendo nonostante abbia la sensazione che sia davvero facile.
Ero indeciso se postare qui o nella sezione di analisi, ma vista l'assenza di qualsiasi condizione di continuità ho pensato che il luogo migliore fosse questo.
Sia $A$ un'applicazione lineare biunivoca tra spazi vettoriali normati di dimensione finita. ...
ciao ragazzi, uno dei punti di un appello di geometria dice:
siano $r: 4x-y-z=1,2x+y+z=-1$ e $s=2x+z=1,y-3z=1$ due rette.
1) calcolare se possibile, la retta t perpendicolare comune ad r e s.
nessun problema, ho verificato che sono sghembe e calcolato la perpendicolare comune..
2) determinare la retta passante per il punto $P=(1/2,0,-1)$ che si appoggia ad $r$ e $s$.
di solito dico sempre la mia idea su come svolgerei degli esercizi su cui chiedo aiuto, ma questa ...
Determinare l'equazione cartesiana della sfera S che contiene la circonferenza C di equazione: x^2+y^2+z^2-2x-6z+1=0 e x+y-z-1=0 come circonferenza di raggio massimo.
ps. sono molto confuso su quest'esercizio. perchè la circonferenza, secondo me in questo caso particolare, è l'intersezione di una sfera con un piano, ma se è cosi la sfera da determinare non è la sfera della circonfernza data?
datemi un consiglio perchè mi sento fuori strada proprio con questo esercizio
Ciao a tutti,
più volte ho usato il metodo di eliminazione di Gauss per determinare un determinante, ma spesso quando sono in presenza di parametri liberi, i risultati non mi tornano.
Un esempio:
devo trovare gli autovalori di questa matrice
$ A=( ( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , k ) ) $
quindi, usando il metodo di Sarruss, ottengo:
$ det(A-lambdaI)=det( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) )=(1-lambda)^2(k-lambda)-(k-lambda)=-lambda^3+(k+2)lambda^2-2klambda= $
$ =lambda(-lambda^2+(k+2)lambda-2k)=lambda(k-lambda)(lambda-2) $
Invece, usando il metodo di Gauss, ottengo:
$ ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) rArr R2+1/(1-lambda)R1 rArr ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( 0 , ((1-lambda)^2-1)/(1-lambda) , ((1-lambda)+1)/(1-lambda) ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) $
ora, devo moltiplicare le righe in modo che i pivot siano pari a $ 1 $, ...
Salve a tutti, ho un problema con un esercizio...
ho le equazioni di due rette devo studiarne la mutua posizione, risultano sghembe....
poi devo trovare la retta di minima distanza e l'ho fatto...
adesso devo trovare tutte le rette passanti per un certo punto che formano con la retta di minima distanza un angolo di pi/3....
quest'ultimo punto mi crea qualche difficoltà,
potreste dirmi come si fa?
grazie in anticipo
Buona sera a tutti!
In questi ultimi giorni ho dato una riguardatina ai testi di geometria e stasera mi è sorto un dubbio riguardo il seguente teorema:
"Una matrice A è diagonabilizzabile se possiede una base di autovettori di A.
In tal caso risulta che $A=S\LambdaS^(-1)$,
dove $S=(h_1|...|h_n)$ con $h_i$ autovettore relativo all'autovalore $\lambda_i$
e $\Lambda$ è la matrice diagonale costruita con gli autovalori di A."
Quello che mi chiedo è se posso affermare ...
Salve,
questo è il testo dell'esercizio in questione, spero in un vostro aiuto!!Ho cominciato da poco a studiare per preparare questa materia e nn ho le idee chiare su molte cosi..comincio da questo esercizio!
Grazie in anticipo!!
Sapendo che f(1,2,1,1)=(2,-1,1), f(2,-1,-1,1)=(-1,1,-1),f(-1,-1,2,1)=(1,1,-2) e f(1,-2,-1,-2)=(0,-1,4), stabilire quale tra i seguenti vettori genera il nucleo della trasformazione lineare f:R4-->R3
risp:
A) v=3,4,-3,3
B) v=21,8,-7,11
C) v=51,-2,-17,21
D) ...
ragazzi ho difficoltà a risolvere questo esercizio...secondo voi dove sbaglio?
sia $f: RR^3 \to RR^3$ endomorfismo tale che f$((0),(1),(1))$ = $ ((1),(0),(1))$ , f$((1),(0),(1))$ = $ ((0),(1),(1))$ , f$((1),(0),(2))$ = $ ((0),(0),(0))$. Stabilire se f è diagonalizzabile. Scrivere la matrice A(3x3) che rappresenta f nella base canonica di $RR^3$.
dunque io ho svolto cosi...
considerati v1=$((0),(1),(1))$ , v2=$ ((1),(0),(1))$, v3=$((1),(0),(2))$ essi costituiscono ...
Ciao,
sono uno studente del II anno del C.d.L. in Matematica (Bari).
Sto preparando l'esame di topologia e ho un problema con la definizione di spazio T1.
Il mio testo di riferimento, il Sernesi 2, definisce T1 uno spazio topologico in cui i punti sono sottoinsiemi chiusi e dà come proposizione che uno spazio è T1 se e solo se per ogni coppia di punti x e y esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x.
Su Wikipedia si dà quella che per il Sernesi è una ...
ciao =) io faro' un esame orale relativo alle risposte sbagliate di un compito scritto ma nn mi è chiaro xk ho sbagliato e come avrei dovuto ragionare:
Questa è la domanda:
Siano un piano x+y=0 e la retta r : X=ht, y=t, z=2t
la risposta giusta è :
per ogni h esiste un piano per r e ortogonale al piano dato......PERCHE????
io invece ho messo
per qualche valore di h la proiezione ortogonale di r sul piano dato è la retta s. x=y=z......PERCHE NON e giusta?
grazie in anticipo....
Ciao , ho un altro quesito da porvi:
Ho l'esercizio
Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^4$:
$V={(x,y,z,w):x+2z=w,y-z=0} \ \ W=<(0,1,1,2),(-2,0,1,0),(-2,2,3,4)>$
Stabilire se esiste qualche relazione insiemistica tra V e W (se uno
è contenuto nell'altro)
Come faccio a stabilirlo analiticamente?
La mia idea è vedere se i vettori di $V$ sono dipendenti da quelli di $W$,
trasformo in vettori le equazioni di $W$ e ottengo:
$V=<(-2,1,1,0),(1,0,0,1)>$
se questi 2 vettori sono combinazione ...
ciao il procedimento di gram-schmidt non è cosi$u1=v1$,$u2=v2+\alphau1$ e cosi via e questo c'è scritto anche sulle dispense del mio professore.pero nelle soluzioni dei compiti del mio professore lui il procedimento lo fa in un altro modo per esempio $u1=v1$,$u2=u1+\alphav2$ cosi a lui il valore alpha gli viene l' inverso di quello che viene a me!!vorrei sapere quale dei due procedimenti è giusto??grazie
ciao ragazzi vorrei un chiarimento su un punto di questo esercizo:
a)Stabilire la posizione reciproca del piano $pi :-X -2Z - 1/2 = 0$ con il piano $pi' : x - 2y + 3z = -1$ e, in seguito, di $pi$ con la retta $r : { 2x +3z = -1; -2x+1/2y-3z=-1/3}$
considerando i sistemi associati a queste equazioni ho ricavato che i piani $pi$ e $pi'$ sono incidenti, lo stesso vale per piano e rette e che l'intersezione tra $pi$ e $r$ è $A=(-1/2,-8/3,0).$
b) Determinare il ...
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