Esercizio affinità
salve a tutti
ho dei problemi a risolvere questa tipologia di esercizio:
Determinare l'affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ che lascia fisso $P=(11)$ e manda le rette $r_1:x+y+2=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y-1=0$.
quello che so è che un affinità è una applicazione biettiva da uno spazio affine in se stesso e in $A^2(RR)$ può essere determinata univocamente da tre punti,con le corrispettive immagini.
Inoltre conserva il parallelismo,l'incidenza e la distanza tra rette,ciò dovrebbe bastare per poterla identificare in maniera univoca avendo tre rette,con le corrispettive immagini,poichè i punti di intersezione di tali rette saranno mandati nei punti immagini dell'intersezione delle rette immagini.
l'esercizio però da due rette è un punto fisso,quindi non riesco ad applicare i metodi detti fin'ora...
Ho pensato quindi alla definizione di affinità,ovvero $f:A->A$ è un'affinità se e solo se è un applicazione biettiva tale che esista un automorfismo $phi:V->V$ che soddisfa la proprietà $bar(f(P)f(Q))=phi(bar(PQ))$. Dalla definizione si deduce che l'affinità è una composizione tra un'applicazione lineare tra spazi vettoriali biettiva e una traslazione,quindi ho pensato di ricavarmi prima l'automorfismo e poi di traslarlo.
per ricavare l'automorfismo ho pensato di trovare l'applicazione $phi:V->V$ che manda le rette vettoriali $r_1:x+y=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette vettoriali $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y=0$. che sarebbe $phi(-1,1)=(2,1)$,$phi(1,3)=(1,-2)$
dove $(-1,1),(1,3),(2,1),(1,-2)$ sono i vettori direttori delle rette...
chiedo cortesemente a questo punto se la strada intrapresa sia quella corretta,visto che da qui in poi i dubbi crescono ancora
ho dei problemi a risolvere questa tipologia di esercizio:
Determinare l'affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ che lascia fisso $P=(11)$ e manda le rette $r_1:x+y+2=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y-1=0$.
quello che so è che un affinità è una applicazione biettiva da uno spazio affine in se stesso e in $A^2(RR)$ può essere determinata univocamente da tre punti,con le corrispettive immagini.
Inoltre conserva il parallelismo,l'incidenza e la distanza tra rette,ciò dovrebbe bastare per poterla identificare in maniera univoca avendo tre rette,con le corrispettive immagini,poichè i punti di intersezione di tali rette saranno mandati nei punti immagini dell'intersezione delle rette immagini.
l'esercizio però da due rette è un punto fisso,quindi non riesco ad applicare i metodi detti fin'ora...
Ho pensato quindi alla definizione di affinità,ovvero $f:A->A$ è un'affinità se e solo se è un applicazione biettiva tale che esista un automorfismo $phi:V->V$ che soddisfa la proprietà $bar(f(P)f(Q))=phi(bar(PQ))$. Dalla definizione si deduce che l'affinità è una composizione tra un'applicazione lineare tra spazi vettoriali biettiva e una traslazione,quindi ho pensato di ricavarmi prima l'automorfismo e poi di traslarlo.
per ricavare l'automorfismo ho pensato di trovare l'applicazione $phi:V->V$ che manda le rette vettoriali $r_1:x+y=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette vettoriali $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y=0$. che sarebbe $phi(-1,1)=(2,1)$,$phi(1,3)=(1,-2)$
dove $(-1,1),(1,3),(2,1),(1,-2)$ sono i vettori direttori delle rette...
chiedo cortesemente a questo punto se la strada intrapresa sia quella corretta,visto che da qui in poi i dubbi crescono ancora
Risposte
Il procedimento è corretto in quanto, lavorando con i vettori liberi, determini la parte "matriciale" dell'affinità.
"speculor":
Il procedimento è corretto in quanto, lavorando con i vettori liberi, determini la parte "matriciale" dell'affinità.
ok,questo significa che
$phi(-1,1)=(2,1)$
$phi(1,3)=(1,-2)$
è l'applicazione dell'automorfismo $phi$ ed è assegnata perchè $(-1,1),(1,3)$ è una base,e l'applicazione sarà rispetto a tale base?
svolgendo i calcoli dovrebbe essere
$(x,y)=a(-1,1)+b(1,3)=(-a+b,a+3b)$
$a=(-3x)/4+y/4$,$b=x/4+y/4$
$(x,y)=((-3x)/4+y/4)(-1,1)+(x/4+y/4)(2,1)->phi(x,y)=((-3x)/4+y/4)(2,1)+(x/4+y/4)(1,-2)$
$phi(x,y)=((-5x)/4+(3y)/4,(-5x)/4-y/4)$
ora ho trovato l'unica applicazione lineare associata a $phi(-1,1)=(2,1)$ e $phi(1,3)=(1,-2)$,occorre effettuare un cambio di base?
Hai determinato la parte "matriciale" dell'affinità:
$((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((a),(b))$
Per concludere, devi solo imporre la seguente condizione:
$((1),(1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((1),(1)) + ((a),(b)) rarr [(a=3/2) ^^ (b=5/2)]$
$((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((a),(b))$
Per concludere, devi solo imporre la seguente condizione:
$((1),(1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((1),(1)) + ((a),(b)) rarr [(a=3/2) ^^ (b=5/2)]$
"speculor":
Hai determinato la parte "matriciale" dell'affinità:
$((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((a),(b))$
Per concludere, devi solo imporre la seguente condizione:
$((1),(1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((1),(1)) + ((a),(b)) rarr [(a=3/2) ^^ (b=5/2)]$
scusa ma è proprio qui che non capisco il punto, se non sbaglio mi dici che l'applicazione $((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((3/2),(5/2))$ è l'affinità cercata,questo vuol dire che dovrebbe mandare la retta $x+y+2=0$ nella retta $x-2y=0$, per verificarlo se non ricordo male un metodo è prendere l'inversa $f(x,y)=((x_1)/5+(3y_1)/5-9/5,x_1-y_1+1)$ e sostituendo $x,y$ nella retta si ha
$((x_1)/5+(3y_1)/5-9/5)+(x_1-y_1+1)+2=3x-y-3!=x-2y$
Hai sicuramente sbagliato l'inversa:
$\{(x=-1/5x_1-3/5y_1+9/5),(y=x_1-y_1+1):}$
Anche perchè, almeno le uguaglianze relative ai coefficienti di $x$ e $x_1$ da una parte, $y$ e $y_1$ dall'altra, nelle equazioni delle rette, non possono assolutamente fallire. In ogni modo, avresti fatto prima a verificare che le rette di arrivo vanno in quelle di partenza, senza calcolare l'inversa. Vero è che ho dei problemi con i termini noti di quelle rette . Del resto, ho semplicemente imposto la condizione che $(1,1)$ sia un punto fisso. A questo punto, possiamo provare ad imporre che $(-1/2,-3/2)$, punto d'intersezione tra le $2$ rette di partenza, vada in $(2/5,1/5)$, punto d'intersezione delle $2$ rette d'arrivo.
$\{(x=-1/5x_1-3/5y_1+9/5),(y=x_1-y_1+1):}$
Anche perchè, almeno le uguaglianze relative ai coefficienti di $x$ e $x_1$ da una parte, $y$ e $y_1$ dall'altra, nelle equazioni delle rette, non possono assolutamente fallire. In ogni modo, avresti fatto prima a verificare che le rette di arrivo vanno in quelle di partenza, senza calcolare l'inversa. Vero è che ho dei problemi con i termini noti di quelle rette . Del resto, ho semplicemente imposto la condizione che $(1,1)$ sia un punto fisso. A questo punto, possiamo provare ad imporre che $(-1/2,-3/2)$, punto d'intersezione tra le $2$ rette di partenza, vada in $(2/5,1/5)$, punto d'intersezione delle $2$ rette d'arrivo.
"speculor":
Hai sicuramente sbagliato l'inversa:
$\{(x=-1/5x_1-3/5y_1+9/5),(y=x_1-y_1+1):}$
.
però anche le rette di arrivo non vanno in quelle di partenza a prescindere dall'inversa
"speculor":
Anche perchè, almeno le uguaglianze relative ai coefficienti di $x$ e $x_1$ da una parte, $y$ e $y_1$ dall'altra, nelle equazioni delle rette, non possono assolutamente fallire.
siamo sicuri che $phi(-1,1)=(2,1)$ ?
"speculor":
Hai sicuramente sbagliato l'inversa:
Del resto, ho semplicemente imposto la condizione che $(1,1)$ sia un punto fisso. A questo punto, possiamo provare ad imporre che $(-1/2,-3/2)$, punto d'intersezione tra le $2$ rette di partenza, vada in $(2/5,1/5)$, punto d'intersezione delle $2$ rette d'arrivo.
$(1,1)$ è un punto fisso,scusa ma non capisco,questo problema dovrebbe essere semplice e invece mi sta facendo sbarellare alquanto
Non ho detto che senza fare l'inversa tutto torna, ovviamente. Ho solo detto che, se vuoi fare una verifica, puoi farlo senza calcolare l'inversa. Inoltre, non è colpa mia se la condizione che $(1,1)$ sia un punto fisso, è incompatibile con la trasformazione di quella coppia di rette. Se fosse stata compatibile, come avrebbe dovuto, è naturale che per completare l'esercizio io preferisca imporre questa condizione, piuttosto che calcolarmi i punti d'intersezione fra le coppie di rette e imporre che uno vada nell'altro. In ogni modo, se imponi quest'ultima condizione, le rette si trasformano come dovuto.
"speculor":
Non ho detto che senza fare l'inversa tutto torna, ovviamente. Ho solo detto che, se vuoi fare una verifica, puoi farlo senza calcolare l'inversa. Inoltre, non è colpa mia se la condizione che $(1,1)$ sia un punto fisso, è incompatibile con la trasformazione di quella coppia di rette.
non ho mai pensato fosse colpa tua che $(1,1)$ fosse un punto fisso
,grazie per avermi aiutato,quando ritornerò a casa guarderò meglio l'esercizio
Imponendo la condizione sui punti d'intersezione:
$((2/5),(1/5))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((-1/2),(-3/2)) + ((a),(b)) rarr [(a=9/10) ^^ (b=-4/5)]$
Quindi:
$((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((9/10),(-4/5))$
Con questa trasformazione, ho già verificato che le rette si trasformano come richiesto dall'esercizio, e senza calcolare l'inversa.
In ogni modo, hai fatto bene ad eseguire la prima verifica, oltre ad accorgerti del problema, hai dimostrato di avere una buona dose di spirito critico. 
$((2/5),(1/5))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((-1/2),(-3/2)) + ((a),(b)) rarr [(a=9/10) ^^ (b=-4/5)]$
Quindi:
$((x_1),(y_1))=((-5/4,3/4),(-5/4,-1/4))((x),(y)) + ((9/10),(-4/5))$
Con questa trasformazione, ho già verificato che le rette si trasformano come richiesto dall'esercizio, e senza calcolare l'inversa.
In ogni modo, hai fatto bene ad eseguire la prima verifica, oltre ad accorgerti del problema, hai dimostrato di avere una buona dose di spirito critico.
scusa un ulteriore osservazione,ma quando si parla di un'affinità di $A^n(K)$,la matrice $M$ dell'isomorfismo $phi:K^n->K^n$ non deve essere necessariamente $M_e(phi)$,la matrice associata rispetto alla base canonica?
"cappellaiomatto":
ok,questo significa che $phi(-1,1)=(2,1)$ $phi(1,3)=(1,-2)$ è l'applicazione dell'automorfismo $phi$ ed è assegnata perchè $(-1,1),(1,3)$ è una base,e l'applicazione sarà rispetto a tale base?
Se ti stai riferendo a questo, la risposta è negativa. Prova a calcolare le componenti di $(1,0)$ rispetto alla base composta dai vettori $(-1,1)$ e $(1,3)$. Quindi, applicando la proprietà di linearità e sapendo che $phi(-1,1)=(2,1)$ e $phi(1,3)=(1,-2)$, prova a calcolarne il trasformato. Infine, prova a confrontare quello che ottieni con la prima colonna della parte "matriciale" dell'affinità. Se hai voglia, puoi ripetere il tutto con $(0,1)$.
visto che alla fine ho risolto l' esercizio,che fa parte di un post irrisolto e da parte mia un po' travagliato,ne pubblico la soluzione,
ritornando al testo,era:
bene,visto che si tratta di rette e si tratta di un'affinità,con tutte le proprietà note delle rette e delle affinità sappiamo che $f(r_1)=(s_1)$ e $f(r_2)=(s_2)$, ne segue molto semplicemente che $x'-2y'=k(x+y+2)$ per un certo $k$ e $2x'+y'-1=h(3x-y)$ per un certo $h$.
Tali $k,h$ possono essere determinati attraverso il passaggio del punto $f(1,1)=(1,1)$,ovvero
$ { ( 1-2=k(1+1+2) ),( 2+1-1=h(3-1) ):} ->k=-1/4,h=1$
ne segue che l'affinità cercata è ${( x'-2y'=-x/4-y/4-1/2 ),( 2x'+y'-1=3x-y ):}-> {( x'=(23x)/20-(9y)/20+3/10),( y'=(7x)/10-y/10+2/5 ):}$
e manda tutto quello che deve mandare in quello che deve mandare
p.s. quando ho detto questo:
era scorretto. Che $phi(-1,1)=(2,1)$ non è detto,come per $phi(1,3)=(1,-2)$,sono vettori direttori delle rette,ma ce ne sono infiniti di equipollenti,quindi non possono determinare l'affinità.Al massimo determinano un applicazione lineare che manda quelle rette(vettoriali) nelle rispettive immagini e comunque non esisterebbe un unica applicazione in grado farlo,bensi tutte quelle che hanno come base e immagini vettori equipollenti a quelli usati
ritornando al testo,era:
"cappellaiomatto":
salve a tutti
Determinare l'affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ che lascia fisso $P=(11)$ e manda le rette $r_1:x+y+2=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y-1=0$.
bene,visto che si tratta di rette e si tratta di un'affinità,con tutte le proprietà note delle rette e delle affinità sappiamo che $f(r_1)=(s_1)$ e $f(r_2)=(s_2)$, ne segue molto semplicemente che $x'-2y'=k(x+y+2)$ per un certo $k$ e $2x'+y'-1=h(3x-y)$ per un certo $h$.
Tali $k,h$ possono essere determinati attraverso il passaggio del punto $f(1,1)=(1,1)$,ovvero
$ { ( 1-2=k(1+1+2) ),( 2+1-1=h(3-1) ):} ->k=-1/4,h=1$
ne segue che l'affinità cercata è ${( x'-2y'=-x/4-y/4-1/2 ),( 2x'+y'-1=3x-y ):}-> {( x'=(23x)/20-(9y)/20+3/10),( y'=(7x)/10-y/10+2/5 ):}$
e manda tutto quello che deve mandare in quello che deve mandare
p.s. quando ho detto questo:
"cappellaiomatto":
per ricavare l'automorfismo ho pensato di trovare l'applicazione $phi:V->V$ che manda le rette vettoriali $r_1:x+y=0$, $r_2:=3x-y=0$ rispettivamente nelle rette vettoriali $s_1:x-2y=0$, $s_2:2x+y=0$. che sarebbe $phi(-1,1)=(2,1)$,$phi(1,3)=(1,-2)$
dove $(-1,1),(1,3),(2,1),(1,-2)$ sono i vettori direttori delle rette...
chiedo cortesemente a questo punto se la strada intrapresa sia quella corretta,visto che da qui in poi i dubbi crescono ancora
era scorretto. Che $phi(-1,1)=(2,1)$ non è detto,come per $phi(1,3)=(1,-2)$,sono vettori direttori delle rette,ma ce ne sono infiniti di equipollenti,quindi non possono determinare l'affinità.Al massimo determinano un applicazione lineare che manda quelle rette(vettoriali) nelle rispettive immagini e comunque non esisterebbe un unica applicazione in grado farlo,bensi tutte quelle che hanno come base e immagini vettori equipollenti a quelli usati
Hai ragione, ho commesso un grave errore. Bisognava imporre $phi(-1,1)=h(2,1)$ e $phi(1,3)=k(1,-2)$. Solo in questo modo, con $2$ parametri liberi in più, era possibile imporre la condizione sul punto fisso, oltre a quella sui punti d'intersezione tra le coppie di rette. In ogni modo, un procedimento veramente abnorme rispetto a quello che hai utilizzato nel tuo ultimo post. Nella speranza che la dicussione ti abbia comunque recato giovamento, scusa per la mia mancanza. 
"speculor":
Nella speranza che la dicussione ti abbia comunque recato giovamento, scusa per la mia mancanza.
non devi scusarti di niente,in questo forum ci si confronta e basta e sono felice che sia successo,grazie per aver risposto molte volte,
ciao!
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