Restrizione di un endomorfismo

[mazzy89-votailprof]

ho un esercizio da svolgere che non lo capisco.

consideriamo il sottospazio $V$ di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(0,1,0,0),v_2=(0,0,1,0),v_3=(1,0,0,1)$ e sia $B=(v_1,v_2,v_3)$. sia inoltre $f_h:V->V$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base $B$ è:

$M_h=((h,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$

con $hinR$

sia $W=Imf_2$ determinare gli eventuali valori di $h$ per cui $f_(h|W)$ è iniettiva.

quel simbolo se non sbaglio indica la restrizione di $f_h$ a $W$.

ora il mio dubbio è il seguente: restringere una funzione vuol dire restringere solamente il dominio o anche il codominio? la funzione ristretta sarebbe così quale?

$f_h:W->V$ oppure $f_h:W->W$

[weblan]

Rispondo alla tua richiesta e in aggiunta faccio alcune precisazioni:

Siano $A$ e $B$ insiemi non vuoti, un'applicazione $f:A\toB$ è una legge che verifica la seguente condizione:

$(°)$ $AAainA$ $EE!binB$ | $f(a)=b$

$A$ si chiama dominio e $B$ si chiama codominio.

Due applicazioni sono uguali se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e la medesima legge di assegnazione $(°)$. Basta cambiare uno di questi elementi, lasciando immutati i restanti, per avere un'applicazione distinta.

C'e' un altro elemento importante quando si defisce un'applicazione: l'mmagine di $f$.

Se $f:A\toB$ è un'applicazione, l'insieme $f(A)subeB$ si chiama immagine, esso è definito così:

$f(A)={f(a) | ainA}$

Proprio in relazione a immagine e codominio si crea confusione e qualche testo, anche persone che trattano di matematica, scambiano l'immagine con il codominio. Se l'immagine coincidesse con il codominio la condizione di suriettività credo non avrebbe molto senso.

Ora vengo alla tua richiesta:

$f:A\toB$ sia un applicazione

Sia $XsubeA$, si chiama restrizione di $f$ ad $X$ l'applicazione:

$f_X:X\toB$ definita ponendo $f_X(a)=f(a)$ $AAainX$

In sostanza quello che si modifica è solamento il dominio, lo si restringe e non si tocca più nulla.

Ma se restringo il dominio cambia l'mmagine?

In generale può accadere di tutto, tranne che essa sia vuota. Il cambiare dell'immagine dipende un pochino dalle proprieta di $f$.

Spero di aver risposto al tuo quesito.

[mazzy89-votailprof]

chiarissimo weblan.non potevi essere più chiaro di così.quindi in sostanza l'applicazione diventa $f_h:W->V$.mi devo scrivere la matrice associata a questa applicazione lineare dove $B_1=(w_1,w_2)$ è una base di $W$ e $B$ è una base di $V$.domanda: ma l'immagine degli elementi appartenenti all'immagine è l'immagine stessa?

[weblan]

ma l'immagine degli elementi appartenenti all'immagine è l'immagine stessa?

Ti rispondo per quello che mi chiedi in generale e non è proprio cosiì.

Pensa all'applicazione $f:NN\toNN$ così definita $f(n)=n+1$

allora l'immagine $f(NN)={2,3,4,......}$

Ora se faccio l'immagine dell'immagine, ovvero $f({2,3,4,.....})={3,4,5,......}$, ma è la prima cosa che mi viene in mente.

Poi può anche essere possibile in alcuni casi, se per esempio prendo una funzione con $f^2=f$, allora $f(f(X))=f(X)$ e una tale applicazione si dice idempotente.

L'applicazione indentica $id_A:A\toA$ è idempotente, infatti se l'applichi due volte ottieni che l'immagine del''immagine coincide con l'immagine stessa.
Ci sono altre applicazioni che hanno questa proprietà, ne ho indicata una e ne ho altre in mente, ma non chiedermi di farne una classificazione.

[mazzy89-votailprof]

ok weblan chiaro però forse starò andando fuori strada.magari se puoi indirizzarmi te.per verificare che $f_(h|W)$ è iniettiva non c'è altro modo che calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare $f_h:W->V$.devo allora trovarmi le componenti delle immagini della base $B_1$ rispetto alla base $B$.cioè

$f(w_1)=xv_1+yv_2+zv_3$
$f(w_2)=xv_1+yv_2+zv_3$

e qui mi blocco.ce le ho le immagini dei vettori $w_1,w_2$?

[mazzy89-votailprof]

forse sono arrivato alla soluzione del problema ma è lunga e laboriosa. io ho la matrice associata alla base $B$-posso calcolarmi allora la matrice associata alla base $B$ rispetto alla base $B_1$ ovvero la matrice del cambio di base.calcolarmi con la formula nota la matrice rispetto alla base $B_1$ e poi trovata questa occorre calcolare la matrice associata alla base $B_1$ rispetto alla base $B$.è un po' ingarbugliato ma credo che vada bene come ragionamento

[mazzy89-votailprof]

niente da fare.il mio ragionamento toppa di brutto.mi sono bloccato e non sono potuto andare avanti perché mi trovo a dover fare l'inversa di una matrice non quadrata.niente da fare.

[weblan]

Ti voglio aiutare, purtroppo ho il brutto diffetto di voler vedere chiaro nelle cose. Questo mi conduce a voler determinare l'applicazione per avere un maggior controllo su di essa.

Non ho mai svolto un deteminato tipo di esercizio, ora mi faccio guidare solo dalla mia esperienza. Sarei molto grado a chiunque voglia intervenire nella questione. Anche a te mazzy89 ti invoglio a riprendere qualche esercizio gia discusso e al quale non mi hai dato conferma definitiva.

Segui il mio ragionamento, allora $V$ è un sottospazio di dimensione $3$

1) Determina l'equazione dell'iperpiano che definisce $V$

2) Attraverso la matrice assegnata potresti determinare le immagini dei vettori della base di $V$

3) Trova le componenti di un generico vettore di $V$, che sara del tipo $(x,y,z,x)$ rispetto alla base di$V$

4) Ora calcola $f(x,y,z,x)$, utilizzando le componenti appena trovate e le immagini dei vettori della base di $V$

Attraverso questi passi avrai la tua funzione $f:V\toV$

Forse così avrai un controllo maggiore di ciò che stai facendo e come rispondere al quesito.

Fai questo, poi controllo i tuoi passaggi e poi andiamo avanti

[mazzy89-votailprof]

dunque weblan iniziando a soddisfare i punti richiesti da te si ha:

1) $x-t=0$ l'equazione dell'iperpiano che definisce $V$

2) $f(v_1)=(1,h,1,1)$
$f(v_2)=(1,1,1,1)$
$f(v_3)=(1,1,1,1)$

3)per trovarmi le componenti del generico vettore di $V$ rispetto alla base di $V$ devo risolvere: $(x,y,z,x)=a(0,1,0,0)+b(0,0,1,0)+c(1,0,0,1)$. esatto?

[weblan]

Continua, va bene.

[mazzy89-votailprof]

dunque proseguendo si ottiene

3) le componenti sono ${(c=x),(a=y),(b=z):}$

4) $f(x,y,z,x)=(y+z+x,hy+z+x,y+z+x,y+z+x)$

[weblan]

Bene, per una questione di forma metti la variabili nell'ordine $x,y,z$.

Ora determina $W=imf_2$

[mazzy89-votailprof]

ok allora scrivo

[tex]\displaystyle {f{{\left({x},{y},{z},{x}\right)}}}={\left({x}+{y}+{z},{x}+{h}{y}+{z},{x}+{y}+{z},{x}+{y}+{z}\right)}[/tex]

$W=L(2v_1+v_2+v_3,v_1+v_2+v_3)$

[mazzy89-votailprof]

azzardo un ipotesi: poiché adesso abbiamo la legge della nostra applicazione lineare e ho calcolato $W$ che risulta essere $WsubeV$ posso calcolarmi le immagini dei vettori di $W$.

[weblan]

Vedi, esiste una proposizione che recita al seguente modo:

Se $f:V\toV'$ è un'applicazione lineare e se $W$ è un sottospazio di $V$, allora $f(W)$ è un sottospazio di $V'$.
in più se $W=$, allora $f(W)=$.

Ora non ti far confondere dai simboli utilizzati per gli insiemi e trai la conclusione per determinare $W=imf_2$ nel tuo caso.

[mazzy89-votailprof]

$W=imf_2=$[tex]\displaystyle {W}={L}{\left({2}{v}_{{1}}+{v}_{{2}}+{v}_{{3}},{v}_{{1}}+{v}_{{2}}+{v}_{{3}}\right)}[/tex]

ok allora applicando la legge ottengo

$f(w_1)=(4,2h+2,4,4)$
$f(w_2)=(3,h+2,3,3)$

in questo modo posso scrivermi la matrice associata all'applicazione lineare alla base $W$ rispetto alla base $B$

[weblan]

$W=L(2v_1+v_2+v_3,v_1+v_2+v_3)$

Bene $W$ è generato dai vettori che hai scritto che esplicitati diventano:

$W=<(1,2,1,1),(1,1,1,1)>$

[mazzy89-votailprof]

avendo la legge e avendo le basi di $W$ posso scrivermi la matrice associata all'applicazione lineare $f:W->V$

risulta essere pari a :

$M=((2h+2,h+2),(4,3),(4,3))$

da qui posso verificare per quali valori l'applicazione lineare è iniettiva

[weblan]

Intanto la matrice $M$ che hai scitto la devi correggere sulla prima riga, in secondo luogo se parliamo di endomorfismo e decidiamo di fissare una base che vada bene sia per il dominio che il codominio, allora la matrice che rappresenta l'endomorfismo dipende dalla base.

Fissi la base in $W$, fai i trasformati tramite $f$ dei vettori della base, trovi le componenti di tali trasformati nella base fissata e tali componenti li metti in colonna.

Per quello che chiede, trovare per quali valori di $h$ la funzione $f_h|W$ è iniettiva, è necessario calcolare la matrice rappresentativa in una fissata base?


Poi...... non ho controllato la matrice che hai scritto, dove ti ho fatto notare che la prima riga non è scritta bene. Come hai fatto a trovarla?

[mazzy89-votailprof]

dunque la matrice che ho scritto è la matrice ottenuta partendo dall'applicazione lineare ottenuta tramite la legge scritta in precedenza

$f(1,2,1,1)=(4,2h+2,4,4)$
$f(1,1,1,1)=(3,h+2,3,3)$

poi ho calcolto le componenti delle immagini dei vettori $w_1,w_2$ rispetto alle base $B=(v_1,v_2,v_3)$

io pensavo di trovarmi la matrice perché è la maniera più facile per verificare che una funzione è iniettiva perché basta verificare che il rango sia massimo e quindi il nucleo contenga solamente il vettore nullo.ma comunque se questa non è la strada giusta sono tutte parole buttate al vento

[weblan]

"mazzy89": io pensavo di trovarmi la matrice perché è la maniera più facile per verificare che una funzione è iniettiva perché basta verificare che il rango sia massimo e quindi il nucleo contenga solamente il vettore nullo.ma comunque se questa non è la strada giusta sono tutte parole buttate al vento

1) Parole al vento non credo sia giusto è una mattinata che ci giriamo intorno, se fossero parole al vento vuol dire aver fatto un buco nell'acqua.

Intanto la matrice è:

$M=((2+h,,2+2h),(4,,3),(4,,3))$



2) Ho riportato questa proposizione:

"weblan":Vedi, esiste una proposizione che recita al seguente modo:

Se $f:V\toV'$ è un'applicazione lineare e se $W$ è un sottospazio di $V$, allora $f(W)$ è un sottospazio di $V'$.
in più se $W=$, allora $f(W)=$.

Ora non ti far confondere dai simboli utilizzati per gli insiemi e trai la conclusione per determinare $W=imf_2$ nel tuo caso.

3) La proposizione precedente mi pemette di dire chi genera l'immagine, riporto quello che hai scritto:

"mazzy89":$W=imf_2=$[tex]\displaystyle {W}={L}{\left({2}{v}_{{1}}+{v}_{{2}}+{v}_{{3}},{v}_{{1}}+{v}_{{2}}+{v}_{{3}}\right)}[/tex]

ok allora applicando la legge ottengo

$f(w_1)=(4,2h+2,4,4)$
$f(w_2)=(3,h+2,3,3)$

in questo modo posso scrivermi la matrice associata all'applicazione lineare alla base $W$ rispetto alla base $B$

Ora i vettori $(4,2+2h,4,4),(3,h+2,3,3)$ generano l'immagine.

Mettendo come righe o colonne questi vettori posso fare qualcosa?

Mi sembra che $W$ ha dimensione $2$, se per caso l'immagine avesse dimensione $2$ puoi dire qualcosa?

Dobbiamo per forza calcolare la matrice che rappresenta l'applicazione lineare?