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Ciao a tutti, ho svolto la seguente dimostrazione: dimostrare che la somma dei quadrati dei primi n numeri interi positivi n è pari a $ (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ P(n) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ P(1) $ $ 1=(1(1+1/2)(1+1))/3 $
$ 1=(1(3/2)(2))/3 $
$ 1=3/3 $
$ 1=1 $ vera
$ P(n+1) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+1+1/2)(n+1+1))/3 $
$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+3/2)(n+2))/3 $
Quindi
$ (n(n+1/2)(n+1)+3(n+1)^2)/3 $
$ (n+1)(n(n+1/2)(n+1)+3(n+1))/3 $
$ (n+1)(n^2+1/2n+3n+3)/3 $
$ (n+1)(n^2+7/2n+3)/3 $
...
Tra due $ m_1=20g $ e $ m_2=10g $ è posta una molla compressa e trattenuta da un filo di massa trascurabile. Le due masse sono poste in una guida circolare senza attrito di raggio $ R=1m $ , disposta in un piano orizzontale. Se si brucia il filo che trattiene le due palline, queste vengono lanciate lungo la guida; calcolare a quale angolo esse si urtano, rispetto alla posizione di partenza, trascurando le dimensioni delle palline, della molla e della massa della molla ...
Ciao ragazzi, non riesco a risolvere questi 2 problemi:
1) Collegando a una batteria un condensatore piano di capacità C, un piatto assume carica negativa e gli elettroni si spostano verso la superficie del piatto di area A. La densità degli elettroni di conduzione nel rame è 8,49 · 10^28 elettroni al metro cubo. Alla profondità di prelievo degli elettroni di 1,00 pm corrisponde una differenza di potenziale di 20,0 V. Trovare il rapporto C/A. [risposta: 6.79 · 10^-4 F/m^2]
2) Nella figura si ...
Salve a tutti,
questo limite
$lim_{x \to pi/4} {sinx-cosx}/{sin4x}$ lo risolvo facilmente con De L'Hopital: $lim_{x \to pi/4} {sinx+cosx}/{4cos4x}=-sqrt(2)/4$. Ma ho voluto capire come potessi risolverlo solo coi notevoli, e pur provando con diverse sostituzioni non sono riuscito ad arrivare a nulla di buono, mi dareste un idea?
In un secondo limite, invece, non comprendo dove commetto l'errore, trovandomi sia coi notevoli che con De L'Hopital lo stesso risultato ma con segno opposto.
$lim_{x \to 2} {(10-x)^(1/3)-2}/{x-2}$
Pongo $y=1/(x-2)$ e osservo che per ...
Salve a tutti, ho poco chiaro dove è applicata la tensione del cavo e quale sia quindi il relativo braccio nella situazione in cui ho: una sbarra orizzontale lunga L fissata alla parete per mezzo di un perno e legata ad un punto più in alto della parete tramite un cavo che forma un angolo teta con la direzione orizzontale. Negli esercizi ho che il braccio è Lsin(teta), ma non capisco a cosa mi corrisponde. Il punto di applicazione della tensione è all'estremità della sbarra o in alto dove il ...
Buongiorno, avrei una domanda che mi affligge da tempo, ed essendo che a breve ho l'esame di Analisi 2 vorrei risolverlo al più presto.
Da quel che ho capito, un insieme (n-dimensionale) A aperto si dice connesso se:
\[\nexists A_1, A_2:\ A\subseteq{A_1}\cup A_2,\ A_1\cap{A_2}=\emptyset\]
Adesso, un insieme A aperto si dice connesso per archi se
\[\forall x,y\in A, \exists\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^n\ t.c.\ \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y, \gamma(t)=A, \forall x,y\in A\]
Inoltre, se un insieme A ...
Notoriamente, l'insieme di Cantor $C$ è il sottoinsieme di \([0,1]\) costruito a questa maniera: dall'intervallo si rimuove il terzo centrale, ossia il segmento \(\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]\); a ciascuno dei due pezzi rimanenti si rimuove il terzo centrale, ossia si resta con l'unione
\[\textstyle\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]\] e così via, induttivamente, su ogni segmento del ...
Un cubo omogeneo di lato $ L=1.4m $ sta fermo su un pavimento piano orizzontale, con coefficiente di
attrito statico $ μ $ . Una forza di trazione orizzontale $ vec(T) $ è applicata perpendicolarmente a una delle facce verticali del cubo, ad un’altezza $ h=1.0m $ dal pavimento. Aumentando lentamente l’intensità $ T $ della forza, a un certo punto, a causa dell’attrito statico, il cubo inizia a ribaltarsi, ruotando attorno a uno spigolo a ...
Sia \( \epsilon > 0 \). Dimostra che per \( \left| \arg s \right| \leq \pi - \epsilon \) risulta che
\[ \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)} = \log s - \frac{1}{2s} + O \left( \frac{1}{\left| s \right|^2 } \right) \]
Hint: One may try to use Cauchy's integral formula.
Allora le soluzioni dicono questo, nello step 2 ho un dubbio soltanto nell'ultimo passaggio. E nella conclusione non capisco un paio di disuguaglianze che fa.
Step 1:
Dimostriamo che per \( \left| \arg ( s) \right| \leq \pi - ...
Vero o falso? Se vero dimostra se falso controesempio.
1) Sia \(n \in \mathbb{N} \), non esiste alcuna funzione olomorfa \( f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f = 0 \} = \partial B_1^n(0 ) \), dove \( B_1^{n}(0) \subseteq \mathbb{C}^n \) denota la palla unitaria rispetto alla norma euclidea
2) Esiste un unica funzione olomorfa \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f= 0 \} = \{ 1 +ni : n \in \mathbb{N} \} \) e \( f(0)=1\).
Direi che 1) è falso perché considero \( f ...
Supponiamo che la serie di Dirichlet \( f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} \) converge assolutamente per \( \Re(s)>1 \). Sia \( A(\xi)= \sum_{n \leq \xi} a_n \). Inoltre per qualche \(b > 1 \) sia \( B(b) = \int_1^{\infty} \frac{ \left| A(\xi) \right|}{\xi^{b+1}}d \xi \). Per \( x \geq 1 \) e \( T \geq 2 \) dimostra che
\[ \int_1^x A(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)} x^{s+1} ds + R \]
dove
\[ \left| R \right| \leq C_0 \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^b ...
Ciao avrei bisogno di aiuto per questo esercizio.
Si determini la funzione f tale che la funzione:
$ hat(f(k)) = e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $
è la sua trasformata, dove $ k in R^3, y in R^3 $ .
Da quello che ho capito bisognerebbe usare la trasformata di Fourier di una distribuzione e la proprietà che:
$ <hat (f), phi> = <f, hat(phi)> $
quindi parto dicendo che: $ int dk hat (f(k)) phi(k) = int dk hatf(k) *1/(2pi)^(3/2)intdx e^(ik*x)hat(phi(x)) $
da qui dovrei risolvere fino ad arrivare a una cosa della forma $ int dx f(x)hat(phi(x)) $ da cui ho f per la proprietà che ho detto all'inzio.
Vorrei intanto sapere ...
Nel tentativo di determinare $lim_{x \to 0} {1-cos(log(1+x))}/(x^{2}+sin^{4}3x)$
riscrivo il limite come segue, per utilizzare alcuni notevoli:
$lim_{x \to 0} (1-cos(log(1+x)))/log^{2}(1+x) log^{2}(1+x)/x^{2} 1/{1+(sin^{4}3x)/{(3x)^4}3^{4}x^{2}}$
Ora, dei tre fattori, per $x$ che tende a $0$, il primo tende a $1/2$ e gli altri due a $1$. Quindi il limite è $1/2$ che è il risultato corretto.
Tuttavia, se utilizzo gli o-piccolo, giungo alla forma ${o(x)}/{o(x)}$, avendo al denominatore tutti $o(x)$ e al numeratore ...
H questo problema in c: ho un array di char in cui vanno memorizzati valori esadecimali. Questo viene fatto attraverso una funzione in cui avviene un controllo sull'intervallo 0-F. Alla fine la funzione deve stampare il valore di ogni cella dell'array. Il problema viene qui: nell'array di char vengono memorizzati sia int che char, quindi nella printf devo inserire lo specificatore %c, ma in questo modo stameprei solo i char, mentre mettendo lo specificatore %d stampo solo gli int.
Cosa potrei ...
Salve a tutti , ho un dubbio sulla scelta del procedimento per il calcolo della differenza di potenziale.
Un disco di materiale isolante di raggio R=10 cm e Q=1nC uniformemente distribuita , ha al centro un buco circolare di raggio R/2. Determinare l'espressione del campo elettrico generico posto sul suo asse.
Posto in quiete un elettrone sull'asse y a distanza y1=10 cm rispetto al centro del disco, calcolare l'energia cinetica dell'elettrone in corrispondenza del centro del ...
Ciao,
vi pongo una questione per me non completamente chiara.
Prendiamo \(\displaystyle \mathbb R^n \) e \(\displaystyle \mathbb R^m \), \(\displaystyle n > m \) quali varieta' differenziabili e consideriamo la mappa differenziabile \(\displaystyle f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m \). Consideriamo il level set \(\displaystyle f^{-1} (q) \) , \(\displaystyle q \in f(\mathbb R^n) \) e assumiamo che \(\displaystyle f \) sia submersion solo su un subset del level set (ovvero la mappa ...
Trova un'estensione meromorfa della \( \zeta \) su \( \Re(s) > 0 \) e dimostra che la sua serie di Laurent in \(s=1\) è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
dove
\[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}} \frac{1}{j} - \log n \right) \]
Ho un problemino con la costante di Eulero-Mascheroni e con l'O grande.
L'estensione meromorfa trovata è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
dove ...
Buongiorno, torno dopo qualche tempo sul forum per una richiesta di aiuto con un limite di cui non riesco a trovare una soluzione completa... Il limite in questione è quello della successione \[(a_n)_{n>0}=\left(\left(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{e}\right)^n\right)_{n>0}\] che (soluzione alla mano) tende a \(\sqrt e\). Evidentemente, si genera una forma indeterminata del tipo \([1^\infty]\) quindi ho pensato di impiegare i log o arrivare addirittura alla ricerca diretta dell'estremo superiore ...
Scrivere la matrice associata, rispetto alla base canonica, alla proiezione ortogonale di $RR^3$ sul sottospazio vettoriale $U$ di equazione $x-y+2z=0$.
Per determinare una base del sottospazio di $RR^3$ devo calcolare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio. In questo caso l'unica equazione è $x-y+2z=0$.
Risolvo il sistema e trovo che una base del sottospazio è: ...
Ciao
Dovrebbe essere un esercizio semplice, ma al momento non so come muovermi:
Esercizio. Sia l'ideale generato \(I := (7X+14, X^3+2X^2+1) \subseteq \mathbb Z[X]\). Dire se \(\mathbb Z[X]/I\) è dominio di integrità o campo.
Ho pensato di verificare la primalità o la massimalità di \(I\): per la prima on mi sembra di aver ottenuto qualcosa di interessante, per la seconda invece devo familiarizzarci ancora. Probabilmente è una scemenza, o forse no... Voi come fareste?
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