Esercizio ideali polinomi interi
Ciao 
Dovrebbe essere un esercizio semplice, ma al momento non so come muovermi:
Esercizio. Sia l'ideale generato \(I := (7X+14, X^3+2X^2+1) \subseteq \mathbb Z[X]\). Dire se \(\mathbb Z[X]/I\) è dominio di integrità o campo.
Ho pensato di verificare la primalità o la massimalità di \(I\): per la prima on mi sembra di aver ottenuto qualcosa di interessante, per la seconda invece devo familiarizzarci ancora.
Probabilmente è una scemenza, o forse no... Voi come fareste?
Dovrebbe essere un esercizio semplice, ma al momento non so come muovermi:
Esercizio. Sia l'ideale generato \(I := (7X+14, X^3+2X^2+1) \subseteq \mathbb Z[X]\). Dire se \(\mathbb Z[X]/I\) è dominio di integrità o campo.
Ho pensato di verificare la primalità o la massimalità di \(I\): per la prima on mi sembra di aver ottenuto qualcosa di interessante, per la seconda invece devo familiarizzarci ancora.
Probabilmente è una scemenza, o forse no... Voi come fareste?
Risposte
Un hint per la massimalità. Rispondi a queste due domande: 1) l'ideale $(7x+14)$ è un ideale proprio di \(\mathbb Z[x]\)? 2) il polinomio $x^3+2x+1$ appartiene all'ideale $(7x+14)$?
(1) sì, (2) no. Mi dispiace, ma non riesco a collegare le due cose.
Mostra che $7 in I$, deduci che $I=(7X+14,7)$. Cosa puoi dedurne?
Capisco... Devo usare qualche teorema di isomorfismo per anelli, altra roba un po' indigesta...
So che non si può, ma pofresti (tu o chiunque abbia voglia) mostrarmi come si fa? Ho bene o male intuito che devo ricondurmi a qualche (nella migliore delle ipotesi) campo isomorfo a \(\mathbb Z/I\), però non saprei muovermi bene.
So che non si può, ma pofresti (tu o chiunque abbia voglia) mostrarmi come si fa? Ho bene o male intuito che devo ricondurmi a qualche (nella migliore delle ipotesi) campo isomorfo a \(\mathbb Z/I\), però non saprei muovermi bene.
@Martino Intendi $I=(7, X^3 + 2X^2 + 1)$.
\(\newcommand\zz{\mathbb Z}\)
Non mi sembra infatti, per esempio, \(X^3+2X^2+1 \in (7, 7X+14)\). O no?
Comunque, mi sembra di aver fatto qualche progresso. Per il Terzo Teorema d'Isomorfismo
\[\zz[X]/I = \zz[X]/(7, X^3 + 2X^2 + 1) \cong (\zz[X]/(7))/((7, X^3+2X^2+1)/(7))\] Ora \((7) = 7\zz[X]\) e quindi \(\zz[X]/7\zz[X] \cong \zz/7\zz[X]\) e \((7, X^3+2X^2+1)/7\zz[X]\) è l'ideale generato da \((X^3+2X^2+1)+7\zz[X]\). Quest'ultimo però faccio fatica ad inquadrarlo. Perché avrei
\[\zz[X]/I \cong (\zz/7\zz [X])/((X^3+2X^2+1)+7\zz[X])\] dove \(\zz/7\) è un campo, quindi per dire ad esempio \(\zz/7\zz [X]\) è campo potrei verificare se \((X^3+2X^2+1)+7\zz[X]\) è irriducibile.
"Stickelberger":
@Martino Intendi $ I=(7, X^3 + 2X^2 + 1) $.
Non mi sembra infatti, per esempio, \(X^3+2X^2+1 \in (7, 7X+14)\). O no?
Comunque, mi sembra di aver fatto qualche progresso. Per il Terzo Teorema d'Isomorfismo
\[\zz[X]/I = \zz[X]/(7, X^3 + 2X^2 + 1) \cong (\zz[X]/(7))/((7, X^3+2X^2+1)/(7))\] Ora \((7) = 7\zz[X]\) e quindi \(\zz[X]/7\zz[X] \cong \zz/7\zz[X]\) e \((7, X^3+2X^2+1)/7\zz[X]\) è l'ideale generato da \((X^3+2X^2+1)+7\zz[X]\). Quest'ultimo però faccio fatica ad inquadrarlo.
Perché avrei\[\zz[X]/I \cong (\zz/7\zz [X])/((X^3+2X^2+1)+7\zz[X])\] dove \(\zz/7\) è un campo, quindi per dire ad esempio \(\zz/7\zz [X]\) è campo potrei verificare se \((X^3+2X^2+1)+7\zz[X]\) è irriducibile.
"Stickelberger":Sì giusto!
@Martino Intendi $I=(7, X^3 + 2X^2 + 1)$.
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