Equazione cartesiana e matrice associata alla proiezione ortogonale di $RR^3$

[SimoneSc1]

Scrivere la matrice associata, rispetto alla base canonica, alla proiezione ortogonale di $RR^3$ sul sottospazio vettoriale $U$ di equazione $x-y+2z=0$.

Per determinare una base del sottospazio di $RR^3$ devo calcolare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio. In questo caso l'unica equazione è $x-y+2z=0$.

Risolvo il sistema e trovo che una base del sottospazio è:
$B = {(1, 1, 0), (-2, 0, 1)}$ formata dai vettori $v_1$ e $v_2$

Poi faccio l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

$w_1 = v_1 = (1, 1, 0) $

$w_2 = (-1, 1, 1)$

Ed effettivamente sono ortogonali tra di loro perché se faccio il prodotto scalare tra i due vettori: $\langle w_1,w_2 \rangle $ il risultato è $0$. Inoltre sono anche ortonormali perché la norma è $1$.

Ora però non so come continuare, potete darmi una mano?

Grazie mille e buona serata!

[solaàl]

Poi faccio l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

A che scopo? Non serve a nulla.

sono anche ortonormali perché la norma è 1

E invece non lo sono!

Per finire l'esercizio devi semplicemente scrivere una matrice; precisamente quella dell'applicazione lineare\(\varphi\) che ha immagine $U$ e nucleo l'ortogonale di $U$, che è (ad esempio) il sottospazio generato dai coefficienti dell'equazione che definisce $U$, per il semplice motivo che \(u\in U\) sse \(u_1-u_2+2u_3=0\) sse \(\left(\begin{smallmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{smallmatrix}\right) \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right) \).
Siccome una applicazione lineare è univocamente determinata da ciò che fa ad una base, la richiesta \(\varphi|_U=\text{id}_U\) (come deve essere) e \(\varphi_{U^\perp}=0\) determinano univocamente \(\varphi\).

[Bokonon]

Le loro norme sono rispettivamente $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$...e non $1$.

Questi due vettori sono quindi la base dell'autospazio U, ovvero gli autovettori associati all'autovalore 1. Il vettore lungo cui viene effettuata la proiezione dev'essere ortogonale ad essi e quindi c'è l'abbiamo già, ovvero il vettore con componenti gli scalari del piano in forma cartesiana $(1,-1,2)$. Questo è l'autovettore associato all'autovalore 0 (una base del kernel dell'applicazione insomma).

Una volta normalizzati (a dovere) vanno a formare le colonne della matrice $Q$ la cui inversa è $Q^(-1)=Q^T$.
Quindi non ti resta che trovare $P=QDQ^T$ dove D (nel caso tu metta la base di U nelle prime due colonne di Q) è la matrice diagonale con gli autovalori rispettivamente 1 1 0.

Questo è il metodo lungo...ed otterrai
$ ( ( 5/6 , 1/6 , -1/3 ),( 1/6 , 5/6 , 1/3 ),( -1/3 , 1/3 , 1/3 ) ) $
(l'ho calcolata a mente quindi verifica)