Geometria e Algebra Lineare

Facendo qualche esercizio mi sono imbattuto in un quesito ricorrente. Mi si chiedeva di determinare, se possibile, una base ortoganale di AUTOVETTORI per $RR^3$ Nell'esercizio viene fornita una matrice 3x3 trovo gli autovalori e i relativi autospazi, ma come faccio a trovare tale base? Il procedimento per l'ortogonalizzazione lo conosco, il punto è che non so se rendendo ortogonali quegli autovettori rischio di ottenere dei vettori che non sono più AUTOvettori; il che ...

Ciao, ho alcune difficoltà ad affrontare questo esercizio, riuscireste a dirmi come procedere con i vari passaggi. L'esercizio è il seguente: "Dire se l’ applicazione lineare f : R2 -> R2 definita da f(1, 1) = (2, 1), f(1, 2) = (-1, 0) é invertibile, e, in caso affermativo, calcolarne l’ inversa." La prima parte sono riuscito a svolgerla: ho trovato che l'applicazione è sia iniettiva che suriettiva (trovando prima la dimensione dell'immagine, poi col teorema del rango ho trovato la dimensione ...

Ciao a tutti, io ho sempre saputo una dimostrazione piuttosto semplice dell'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, ma studiando su un altro testo ne ho trovata una più complessa e quindi mi chiedo: non è che la dimostrazione che conosco io ha qualcosa che non va? Di seguito porto quella che ho sempre usato, ditemi che ne pensate. Teorema (ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) Sia $V$ uno spazio euclideo e siano $v_1,…,v_k ∈V$ linearmente indipendenti. Allora esistono ...

Buongiorno a tutti =) Spero di aver azzeccato la sezione dove inserire il post ^^ Siamo in $L^2(0,2pi)$ con set ortonormale completo $e_n=e^(i nx)/sqrt(2pi)$ l' operatore è definito come $Tf(x) = 1/(2pi)\int_0^{2pi}[e^(i(x+y))f(y)+e^(-i(x+y))f(y)]dy$ si chiede di trovare gli autovalori e gli autovettori di questo operatore. Ho riscritto l' operatore sotto forma di prodotti scalari : $Tf(x) = 1/(2pi)[e^(ix)<e^(-ix),f>+e^(-ix)<e^(ix),f>]$ quindi ho posto $Tf(x) = \lambdaf$ quindi per $\lambda = 0$ troverei le funzioni appartenenti al nucleo ( che avevo precedentemente ...

A lezione il professore ci ha fornito un algoritmo per calcolare l'inversa di una matrice A che è il seguente: 1) Calcolare D(A) 2) Trasporre A 3) Sostituire a quello che c'è in posizione ij il determinante della matrice ottenuta cancellando l'i-esima riga e la j-esima colonna con segno negativo se i+j è dispari 4) dividere per il D(A) A me non è chiaro il 3° punto...quando ho calcolato il determinante della matrice che viene fuori cancellando riga e colonna dell'elemento ij, che devo fare? ...

siano $S=((0,1,1),(1,-1,0),(-1,0,-1),(1,0,1))$ e $T=((1,0),(-1,1),(1,0),(0,-3))$ trova dim di S e T esibire una base di S+T e S$nn$T ho risolto tutto, e mi trovo che S ha dim 2 e T dim 2 S+T ha dim 4 dim S$nn$T = 2 + 2 - 4 = 0 quindi la base si S$nn$T è l'insieme vuoto???

Dato un insieme di punti nel piano cosa si intende con "farne l'inviluppo convesso"?

Salve ragazzi, mi rivolgo a voi perchè mi avete già aiutato in passato, a superare (direi piuttosto brillantemente) analisi matematica I e II. Purtroppo l'anno scorso ho fatto il grande errore di non seguire il corso di Algebra Lineare e Geometria, relativo al cdl di ing.elettrica. Nonostante i miei sforzi non riesco a farmi entrare l'algebra nella testa. Sarà il libro del mio prof (F.Bonetti) che son scritti in maniera pessima, sarà che la materia è piuttosto astratta (almeno per come la ...

Buongiorno a tutti, sto studiando autovettori e autovalori e sugli appunti che ho preso a lezione c'è un esempio in cui l'operatore lineare in questione è $T=T_\theta=$rotazione di un angolo $\theta$ ; dice che se $\theta=0,\pi,2\pi,...$ non vi sono autovettori, e che le matrici rappresentanti l'operatore lineare con quegli angoli non sono diagonalizzabili. Entrambe le affermazioni non mi sono chiare perchè: 1)conoscendo la definizione di autovettore, cioè un vettore non nullo per cui ...

salve , ho un problema di algebra che sarà sicuramente presente nel compito di domani. sia $S$ = $ P $ + L(A[size=50]1[/size],A[size=50]2[/size],A[size=50]3[/size],A[size=50]4[/size]) in V[size=50]5[/size]($RR$). con A[size=50]1[/size]=(1 -1 0 0 0 ) con A[size=50]2[/size]=(0 1 -1 0 0 ) con A[size=50]3[/size]=(0 0 1 -1 0 ) con A[size=50]4[/size]=(0 0 0 1 -1) e $P$=(1 -1 -1 0 -1) determinare 1) dim($S$) e cod ...

Salve ragazzi, vorrei sapere come riuscire a risolvere questo esercizio: Sia [tex]\mathbb{R}[/tex]2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata x di grado [tex]\leqslant[/tex] 2. Sia L l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R}[/tex]2[x] rappresentato, rispetto alla base canonica, dalla matrice: $ A=( ( 3 , 2 , 3 ),( 1 , 4 , 3 ),( 1 , 2 , 5 ) ) $ Verificare che L è diagonalizzabile. Ho calcolato il polinomio caratteristico con il metodo di LaPlace, quindi mi esce: p(x) = (3-x)det ...

Domanda 1 Sia f : R4 in R4 l'applicazione lineare tale che V*(-2) := f(x; y; z;w)appartiene a R4 / x+3y = w + 3z = 0; V(2) := f(x; y; z;w) appartiene a R4 / x + y = z + w = x + y + w = 0 e (1;-1; 1;-1) appartiene al Ker (f). L'immagine del vettore (8;-2; 4;-8) e' il vettore? Mi basta lo svolgimento di questo esercizio, visto che nel libro non sono riuscito a trovare esempi simili, per capire come si fanno anche gli altri, grazie.

Sarà che ho dormito poco, ma mi è venuto un grande dubbio mentre facevo gli esercizi. Consideriamo $phi: v3 ->v3$ Mi si chiede di trovare $dim(phi)^(-1)(S)$. Son giunto a questa conclusione: 1) se il risultato è un'identita 0=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=dim(V)$ 2)Se il risultato è impossibile 5=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=-1 $ (vedi dimensione insieme vuoto) 3)se ottengo un'equazione risolubile x1-x3=0 allora $dim(phi)^(-1)(S)=dim(V)$- nequazioni ottenute Puo andare? Ma quindi Non è necessario usare : ...

Ho la seguente matrice: $ ( ( 2 , 1 , 0 , 2 ),( 4 , 2 , 0 , k ),( 0 , 0 , 5 , -1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 ) ) $ mi chiede di determinare il polinomio caratteristico e di dire per quali valori di $ k in RR $ la matrice A risulta diagonalizzabile...il polinomio caratteristico mi risulta essere $ P(X)=x(4-x)^2(3-x) $ poiché essendo una matrice triangolare superiore a blocchi ho calcolato il determinante di ogni singolo blocco $ det( ( 2-x , 1 ),( 4 , 2-x ) )*det( ( 5-x , 1 ),( 2 , 2-x) ) $ e mi sono ricavata gli autovalori...dopodiché mi chiede di determinare per quale k la matrice A è ...

So che è un procedimento abbastanza standard, ma sicuramente sbaglio qualcosa, e non riesco a trovare l'errore! Spero voi possiate aiutarmi. La base da ortonormalizzare è: $B={(0,0,1),(4,3,14),(0,-3,2)}$. Il prodecimento: Noto che il primto vettore è già normale, quindi sarà proprio il primo vettore della nuova base; $V_1=(0,0,1)$. Ortogonalizzo il secondo vettore della base di partenza: $V_2'=V_2-proj_(v_1)v_2=(4,3,14)-(4,3,14)*(0,0,1)(0,0,1)=(4,3,14)-(0,0,14)=(4,3,0)$ che normalizzato ci da $V_2=(4/5,3/5,0)$. Tramite lo stesso procedimento cacolo anche ...

Ciao a tutti, ho tra le mani questo endomorfismo $ f:cc(R) ^4rarr cc(R) ^4 $ $ f( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) ; f( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 2h^3+h ),( h ),( 0 ),( 0 ) ) ; f( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 3(h-1) ),( 3(1+h) ),( 2 ),( -h ) ) ; f( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( -3 ),( 3 ),( h ),( 4 ) ) $ Devo trovare la matrice associata e gli autovalori nel caso $ h=1/2 $. Per la matrice associata, procedo in questo modo: $ a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + b ( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + c ( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) + d ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) = ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ metto a sistema e risolvo trovando: $ ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= e_1 $ Allo stesso modo faccio per gli altri vettori immagine di $ f $, ottenendo: $ ( ( h(2h^2+1-h) ),( h ),( 0 ),( 0 ) )= e_2 ; ( ( -3(1+h^2-2h) ),( -3(1-h) ),( 2 ),( -h ) ) = e_3 ; ( ( -3(1+h-h^2) ),( 3(1-h) ),( h ),( 4 ) ) = e_4$ La matrice associata quindi è: $ A_h = (e_1 ; e_2 ; e_3; e_4) = ( ( 2h^2 , h(2h^2+1-h) , -3(1+h^2-2h) , -3(1+h-h^2) ),( 0 , h , -3(1-h) , 3(1-h) ),( 0 , 0 , 2 , h ),( 0 , 0 , -h , 4 ) ) $ Ora per trovare gli autovalori con ...

Scusate la domanda sciocca, ma a volte la mia insicurezza mi fa affogare in un bicchier d'acqua. Avere un sottospazio vettoriale $ W={ x+y+z+t, 0, 0 } $, significa avere un sottospazio dato da: $ { ( x=-y-z-t ),( y=y ),( z=z ),( t=t ):} rArr ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) = y( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+z( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( -1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ quindi con una base $ B_w $ data da: $ B_w = {( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ); ( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ); ( ( -1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )} $ E' corretto? .BRN

Salve, sto cercando di costruire una matrice 3x3 che abbia un unico autovalore di moteplicità algebrica 3 e di molteplicità geometrica 1. Sono riuscito a costruirne una con molteplicità geometrica 2, nel seguente modo \(\displaystyle \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \) ma per avere molteplicità geometrica 1 dovrei costruire una matrice che abbia almeno un minore non nullo di ordine 2 e non riesco a farlo senza sballare il calcolo degli ...

Mi sapreste aiutare con questo esercizio[Data l'applicazione lineareT:$RR$$2\rightarrow$ $RR$2 tale che T(1)=$|(1,),(1,),(0,)|$ T(t)=$|(1,),(2,),(1,)|$ T(t^2)=$|(2,),(1,),(-1,)|$ scrivere la matrice associata a T rispetto a basi a tua scelta Ps scusate per la scrittura ma non sono molto abile

Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di geometria, mi sono imbattuto in un esercizio che mi sembrava facile, ma che mi ha mandato subito nel pallone. Il testo dice: Un rombo di lato \( 17 \) giace sul piano \( \pi : 2x + 3z = 0 \) ed ha una diagonale con estremi in \( ( 0 , 9 , 0 ) \) e \( ( 0 , -9 , 0) \) . Determinare gli estremi dell'altra diagonale. Ora io pensavo di scrivere le equazioni del fascio di rette passanti per i due estremi, e mettere a sistema quelle parallele, ma non ho ...