Autovettori e Autovalori.
Buongiorno a tutti =)
Spero di aver azzeccato la sezione dove inserire il post ^^
Siamo in $L^2(0,2pi)$ con set ortonormale completo $e_n=e^(i nx)/sqrt(2pi)$
l' operatore è definito come $Tf(x) = 1/(2pi)\int_0^{2pi}[e^(i(x+y))f(y)+e^(-i(x+y))f(y)]dy$
si chiede di trovare gli autovalori e gli autovettori di questo operatore.
Ho riscritto l' operatore sotto forma di prodotti scalari :
$Tf(x) = 1/(2pi)[e^(ix)+e^(-ix)]$
quindi ho posto $Tf(x) = \lambdaf$ quindi per $\lambda = 0$ troverei le funzioni appartenenti al nucleo ( che avevo precedentemente calcolato )
mentre per $\lambda!=0$ ho provato a ragionare in questo modo : ho posto $f=\alphae^(ix)$
sostituendolo nell' espressione dell' operatore ottenevo $\lambda = 1/(2pi) (e^(-2ix)|e^(ix)|) =1/(2pi) e^(-2ix)$.
ho un po di confusione su come affrontare questo tipo di esercizio, ovvero la ricerca di autovettori e autovalori quando si ha una somma di prodotti scalari.. quello che ho scritto è per far capire più o meno come procedo/ragiono. così che possiate farvi un idea e correggermi dove sbaglio !
Grazie !
Spero di aver azzeccato la sezione dove inserire il post ^^
Siamo in $L^2(0,2pi)$ con set ortonormale completo $e_n=e^(i nx)/sqrt(2pi)$
l' operatore è definito come $Tf(x) = 1/(2pi)\int_0^{2pi}[e^(i(x+y))f(y)+e^(-i(x+y))f(y)]dy$
si chiede di trovare gli autovalori e gli autovettori di questo operatore.
Ho riscritto l' operatore sotto forma di prodotti scalari :
$Tf(x) = 1/(2pi)[e^(ix)
quindi ho posto $Tf(x) = \lambdaf$ quindi per $\lambda = 0$ troverei le funzioni appartenenti al nucleo ( che avevo precedentemente calcolato )
mentre per $\lambda!=0$ ho provato a ragionare in questo modo : ho posto $f=\alphae^(ix)$
sostituendolo nell' espressione dell' operatore ottenevo $\lambda = 1/(2pi) (e^(-2ix)|e^(ix)|) =1/(2pi) e^(-2ix)$.
ho un po di confusione su come affrontare questo tipo di esercizio, ovvero la ricerca di autovettori e autovalori quando si ha una somma di prodotti scalari.. quello che ho scritto è per far capire più o meno come procedo/ragiono. così che possiate farvi un idea e correggermi dove sbaglio !
Grazie !
Risposte
Per la presenza di $[1/(2pi)]$, le tue notazioni non mi sembrano del tutto corrette. Piuttosto:
$hatT |f> = |e_(-1)> + |e_(+1)> = |e_(-1)> c_(+1) + |e_(+1)> c_(-1)$
Io mi limiterei a determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice bidimensionale:
$[hatT_(-1|+1) = ((0,1),(1,0))] rarr [((0,1),(1,0))((a),(a))=+1((a),(a))] ^^ [((0,1),(1,0))((b),(-b))=-1((b),(-b))]$
rappresentante l'operatore nel sottospazio in cui esso non è identicamente nullo.
$hatT |f> = |e_(-1)>
Io mi limiterei a determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice bidimensionale:
$[hatT_(-1|+1) = ((0,1),(1,0))] rarr [((0,1),(1,0))((a),(a))=+1((a),(a))] ^^ [((0,1),(1,0))((b),(-b))=-1((b),(-b))]$
rappresentante l'operatore nel sottospazio in cui esso non è identicamente nullo.
non ho capito come mai in questo caso possiamo scrivere la matrice, in generale in dimensione infinita non si può fare, giusto ? premetto che le mie non sono affermazioni quanto domande !
in un esercizio simile in cui avevo però solamente un prodotto scalare la ricerca degli autovalori/autofunzioni era tata svolta con un procedimento simile a quello che ho scritto.. non è un affermazione valida in generale ?
l'esempio era questo :
$Tx=y(z,x)$
$Tx=y(z,x)=\lambdax$
$\lambda=0 se e solo se (z,x)=0$
per $\lambda!=0 x=\alphay => \alphay(z,y)=\lambda\alphay $ e quindi $\lambda=(z,y)$ da cui $x=y$
in un esercizio simile in cui avevo però solamente un prodotto scalare la ricerca degli autovalori/autofunzioni era tata svolta con un procedimento simile a quello che ho scritto.. non è un affermazione valida in generale ?
l'esempio era questo :
$Tx=y(z,x)$
$Tx=y(z,x)=\lambdax$
$\lambda=0 se e solo se (z,x)=0$
per $\lambda!=0 x=\alphay => \alphay(z,y)=\lambda\alphay $ e quindi $\lambda=(z,y)$ da cui $x=y$
Immagino che tu intendessi una cosa del genere:
$[ =\int_{-oo}^{+oo} barz(t)x(t)dt] ^^ [hatTx(t)=y(t)]$
In ogni modo, la risoluzione che ti ho proposto dovrebbe essere corretta, anche se necessita di una maggiore formalizzazione. Ammesso questo, non vedo alcuna impossibilità di principio nell'utilizzare le matrici anche in particolari esercizi riguardanti gli spazi a dimensione infinita. A questo punto, se posso darti un consiglio, chiederei ai moderatori di spostare la discussione in Analisi.
$[
In ogni modo, la risoluzione che ti ho proposto dovrebbe essere corretta, anche se necessita di una maggiore formalizzazione. Ammesso questo, non vedo alcuna impossibilità di principio nell'utilizzare le matrici anche in particolari esercizi riguardanti gli spazi a dimensione infinita. A questo punto, se posso darti un consiglio, chiederei ai moderatori di spostare la discussione in Analisi.
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