Esempio di matrice 3x3 con

[Sk_Anonymous]

Salve, sto cercando di costruire una matrice 3x3 che abbia un unico autovalore di moteplicità algebrica 3 e di molteplicità geometrica 1.

Sono riuscito a costruirne una con molteplicità geometrica 2, nel seguente modo

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 2
\end{array} \right] \)

ma per avere molteplicità geometrica 1 dovrei costruire una matrice che abbia almeno un minore non nullo di ordine 2 e non riesco a farlo senza sballare il calcolo degli autovalori....

[Pappappero1]

Se mantieni la matrice triangolare, gli autovalori non cambiano, e sono sempre gli elementi sulla diagonale. Quindi devi fare in modo che la tua matrice meno $2 I_3$ abbia rango $2$. In particolare nel tuo caso basta modificare di pochissimo la matrice che hai già.

In generale, per tutti gli esercizi di questo tipo, è sempre meglio partire dalla fine, e rimontare i pezzi, invece che prendere una matrice qualsiasi e smanettarci per fargli avere certe proprietà.

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, basta mettere un numero diverso da 0 alla prima colonna della seconda riga. Comunque non era un esercizio, più una curiosità mia per verificare che l'autospazio associato può arrivare ad avere fino a dimensione 1. Ti ringrazio!

[Pappappero1]

In generale si può sempre prendere matrici che hanno autovalori sulla diagonale e $1$ in certi punti della sopradiagonale. Queste sono tutte, e in un certo senso le sole, matrici non diagonalizzabili. Questa forma della matrice si chiama forma di jordan.

[Sk_Anonymous]

Non sapevo che si chiamassero così. Ti ringrazio