Geometria, problema con le coordinate di un rombo

[filippo922]

Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di geometria, mi sono imbattuto in un esercizio che mi sembrava facile, ma che mi ha mandato subito nel pallone.
Il testo dice:
Un rombo di lato \( 17 \) giace sul piano \( \pi : 2x + 3z = 0 \) ed ha una diagonale con estremi in \( ( 0 , 9 , 0 ) \) e \( ( 0 , -9 , 0) \) . Determinare gli estremi dell'altra diagonale.

Ora io pensavo di scrivere le equazioni del fascio di rette passanti per i due estremi, e mettere a sistema quelle parallele, ma non ho idea di come metterle in relazione con la lunghezza dei lati.
Il ragionamento è totalmente sbagliato? Aiutatemi a risolvere, per favore!

[gio73]

Per la parte analitica non ti posso aiutare, ma provo a dirti quello che penso: prima di tutto cercherei le coordinate del punto medio della diagonale che conosci (credo che anche nello spazio $x_m=(x_1 + x_2)/2 y_m=(y_1 +y_2)/2 z_m=(z_1+z_2)/2$) essa rappresenta il punto intersezione con l'altra diagonale che tra l'altro è perpendicolare alla diagonale che conosci, trovata l'equazione di questa retta ti basta trovare quei punti che distano 17 dagli estremi che hai già.

[vittorino70]

Metto in pratica le idee di gio73.Allora siano A e C gli estremi della diagonale incognita e B(0,9,0) ,D(0,-9,0) quelli noti.Essi devono appartenere al piano 2x+3z=0.Da qui ricavo che \(\displaystyle \frac{x}{z}=-\frac{3}{2} \) di modo che,tenuto conto che il punto medio di AC è l'origine O delle coordinate , posso porre :
\(\displaystyle A(3u,t,-2u) , C(-3u,-t,2u)\) .
Adesso per trovare u e t impongo due condizioni :la retta AC sia perpendicolare a BD ( ovvero all'asse y) e la distanza AB sia =17.Ottengo così il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}t=0 \\(3u)^2+(t-9)^2+(-2u)^2=289 \end{cases}\)
Risolvendo risulta: \(\displaystyle t=0,u=\pm 4 \)
Pertanto i vertici richiesti sono \(\displaystyle (12,0,-8) ,(-12,0, 8)\)

[filippo922]

Grazie mille a tutti.
Soltanto per chiarire l'ultimo dubbio, in pratica nell'estremo A ho concluso che le coordinate devono essere \( A ( -\frac{3}{2} z , t , z ) \) assegno alla z la variabile u, e moltiplico per -2 cosicchè tolgo le frazioni e venga infine \( A ( 3u , t , -2 u) \).
Giusto?
Grazie ancora!