Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ieri, mentre facevo un esercizio dal libro, mi imbatto in un dubbio atroce...dovevo dimostrare il seguente punto
1) Su $RR^n$ si consideri il prodotto scalare standard e sia $F$ il sottospazio vettoriale di $Mn$={ $A in Mn(RR) t.c. Av in (span(v))^(_|_) AA v in RR^n $ }. Si dimostri che $F$ coincide con l'insieme della matrici asimettriche.
Visto che stiamo trattando il prodotto scalare standard, posso prendere la matrice identità $I$ come la matrice associata al ...
Ciao a tutti! Non mi viene un esercizio
"Scrivere l'equazione dell'ellisse di vertici $V_1=(0,2)$ e $V_2=(sqrt3,1)$ e avente eccentricità $\epsilon=1/3$".
Seguendo i ragionamenti del mio prof, ho ragionato così:
Rototraslo tutto in modo tale che l'origine del nuovo sistema di riferimento cartesiano, coincida con il punto medio dei vertici dell'ellisse $V_1$ e $V_2$ che è dato da $M=O'=(sqrt3/2, 1/2)$.
A questo punto sfruttando la trigonometria, calcolo ...
Mi sembrano che i due algoritmi di Lagrange e di Gram-Schimdt per trovare basi ortogonali siano operativamente quasi identici...c'è qualche differenza (anche concettuale) tra i due o in realtà sono lo stesso risultato con nomi diversi?
Siano $X:={(x,y)\in \mathbb{R}^2|x>0,y>0}$, $Y:={(x,y)\in \mathbb{R}^2|0<x<1,0<y<1}$.
Può esistere un omeomorfismo $f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}^2$ tale che $f(X)\subsetY$?
Ad occhio e croce direi di no, ma non riesco a trovare nessuna proprietà degli omeomorfismi che non possa esser valida!
V spazio euclideo, u un vettore di norma 1, $V_1=\Span(u)^\bot$. La riflessione attorno a V1 è definita come
$S(v)=v-2\phi(v,u)u$.
Prima bisognava dimostrare che è un isometria autoaggiunta (cosa che ho fatto), e poi dovrei trovare una base ortonormale di autovettori per $f$.
Questo secondo punto non so come svilupparlo..non ho nessuna indicazione, non so cos'è V, non conosco neanche la sua dimensione. Comunque ho ragionato così
$V= V_1\oplus \Span(u)$, quindi sicuramente ...
Mi scuso per l'ennesimo topic, ma l'esame è vicino :S
3. Spazio vettoriale reale V di dimensione tre. Base $B=(v1,v2,v3)$. Assegnati gli endomorfismi $F:V→V $ e $G:V→V$
definiti rispettivamente da
$F(v)=(x1- x2 + x3)v1+( x1+ x2 )v2+(x1+x3)v3$
$G(v)=(x1+x2+2x3)v1+(x1-x2)v2+(2x1+2x3)v3$
essendo $v=x1v1+x2v2+x3v3$, si consideri il prodotto operatorio $G F: V→V.$
(a) Determinare la matrice $C$ associata all’endomorfismo $G°F$ rispetto alla base $B$.
(b) Determinare il nucleo e ...
Salve ragazzi, ho un problema su questo esercizio, di cui nn ne son tanto sicuro sul risultato:
Dato l'endomorfismo f in R3:
f(v1) = f(1,-1,1) = (1,0,1)
f(v2) = f(0,1,1) = (2,0,3)
f(v3) = f(2,-1,2) = (-1,0,1)
Determinare la matrice di f sulla base canonica e3 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)
L'idea mia è di trovare la combinazione lineare di v1, v2 e v3 per avere i vettori della base canonica, ovvero risolvere le tre equazioni:
(1,0,0) = a1*v1 + b1*v2 + c1*v3
(0,1,0) = a2*v1 + b2*v2 + c2*v3
(0,0,1) = ...
Buongiorno a tutti,
vorrei chiedere solo una semplice precisazione: se $T : V rarr V $ è un'applicazione lineare, so che vale
$T(\lambda \vec v) = \lambda T(\vec v) $
(oltre che ovviamente l'additività).
Ma questo è valido solo per il prodotto per uno scalare, giusto? Perchè riguardando una dimostrazione della formula della similitudine tra matrici ho trovato un passaggio con scritto che $T(EA) = T(E)A$ per linearità, dove E è una base e A è una matrice; quindi mi è venuto il dubbio che quella proprietà sul ...
Credo di non aver capito delle formalità matematiche presentate nel mio libro ovvero:
Cito testualmente:
Siano $A$ e $A'$ sottoinsiemi non vuoti dello spazio vettoriale $E$. Verificare le validità delle seguenti proposizioni.
1. $A$ contenuto propriamente in $L(A)$
2. $L(A)$ è l'intersezione di tutti i sottospazi di $E$ contenuti in $A$
3. [$A = L(A)$] [ ...
Ciao a tutti non mi viene un esercizio e non ne riesco a venire a capo
Tra i piani passanti per i due punti $P_1 = (4,0,1)$ e $P_2 = (4,2,-1)$ determinare quelli tangenti alla sfera di equazione $x^2 + y^2 + z^2 = 4$
Io ho ragionato in questo modo: creo il fascio di piani passanti per i due punti e poi impongo che la distanza tra il fascio di piani e il punto $P_0 = (0,0,0)$ sia uguale a $0$, dove con $P_0$ intendo il centro della sfera.
Scrivendo le equazioni ...
Salve a tutti, ho dei problemi con questo esercizio:
Siano ${i, j, k}$ una base ortonormale di $V_0$ positivamente orientata.
$u = 3i + 2j$
$v = 3i + 3j - k$
$w = -i + j +2k$
e sia $t = ai + bj + ck$ il vettore simmetrico di $w$ rispetto al piano generato da $u$ e $v$.
Ora, il piano generato da $u$ e $v$ non è altro che il determinante:
$|((x, 3, 3), (y, 2, 3), (z, 0, -1))|$ ossia: $-2x + 3y + 3z = 0$
Il problema ora è ...
Non riesco a capire quando un'applicazione lineare è suriettiva o iniettiva. Per riguardare l'argomento nel suo complesso posto un esercizio che spero sappiate risolvere:
Sia f: R^3 --> R^3, con f(x,y,z) = (2x+y+z, x+y+kz, 5x+(k+2)y+3z).
1) Determinare, al variare di k, dim(ker f), dim(im f), e se la f sia iniettiva e/o suriettiva.
2) Assegnare a k un valore tale che f NON sia suriettiva e dire in quel caso se f sia semplice.
ps: del punto 2 mi interessa principalmente sapere il valore di k ...
Salve a tutti! Con questo messaggio vi caricherò di lavoro perchè coinvolge ben due esercizi
Il primo:
Sia $E:{A=( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $ $B=( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ $ C=( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ $D=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )}$ una base per $M(2x2)$
E $f:M(2x2)->P_2$ l'applicazione così definita $f(A)->1+x$, $f(B)->1+x-x^2$, $f(C)->2+2x$, $f(D)->x^2$
determinare la matrice associata a questa applicazione sia nella base canonica di $ M(2x2)$ e nella base canonica di $P^2$, sia nella ...
Scrivere l'equazione (canonica) dell'ellisse passante per il punto P$(1,sqrt(2/3))$ essendone F ($sqrt(2),0)$ un fuoco.
Io ho provato a sfruttare il passaggio dell'ellisse per il punto P, sostituendo le coordinate di P all'interno dell'equazione per trovare un equazione con $a^2$ e $b^2$ incognite, da mettere a sistema con l'equazione $2 = a^2 - b^2$.. ma devo aver sbagliato qualcosa perchè non mi viene!
Qualcuno che mi illumina? Grazie!!
Salve, vorrei chiedervi se è possibile e se è possibile sapere come calcolare il raggio di una sfera partendo dalla conoscenza delle coordinate di due o più punti sulla superficie della sfera stessa. In pratica conosco l'azimuth e l'elevazione di questi due punti che si trovano sulla superficie di una sfera, dovrei conoscere il raggio della sfera stessa, non è importante conoscere le coordinate del centro della sfera ma solo la curvatura della sfera quindi il raggio. Grazie a chiunque mi darà ...
In $RR^3$ sono dati il punto $P(1,0,1)$, la retta $r:$$\{(x - z + 1 = 0),(2x + y - 3 = 0):}$ e la retta $s:$$\{(x - 4z + 3 = 0),(y = 0):}$
determinare il piano passante P e parallelo ad r ed s.
Per prima cosa mi sono trovato i vettori di direzione delle rette che sono $v_r=(1,-2,1)$ e $v_s=(4,0,1)$
e ho scritto in tal modo il piano $\alpha$ imponendo il passaggio per il punto P
$\alpha:$$\{(x = t + 4s + 1),(y = -2t),(z = t + s + 1):}$
non avendo soluzioni a disposizione mi appello a ...
Per esercizio dovrei trovare l'applicazione lineare f per cui:
- $((1), (-1), (2)) in$ Ker(f), quindi $f((1), (-1), (2)) = ((0), (0), (0))$
- $((1), (1), (1))$ è autovettore con autovalore $-3$, quindi $f((1), (1), (1)) = ((-3), (-3), (-3))$
- $f((-1), (1), (0)) = ((-3), (-2), (-6))$
e trovare l'immagine del vettore $((-3), (-3), (1))$
Tempo fa mi era stato proposto un metodo per il quale avrei dovuto trovare la matrice
$((a,b,c), (d,e,f), (g, h, i))$ e poi moltiplicarla per il vettore di cui volevo trovare l'immagine.
L'unico problema è che non ricordo come ...
per esercizio, devo dimostrare che $RR$ è spazio vettoriale su se stesso.
In sostanza dovrei provare che soddisfa tutti gli assiomi [esistenza del neutro, commutatività per la somma etc etc]
In generale in $RR$ [campo dei numeri reali] prendevo gli scalari, e in uno insieme non vuoto E prendevo i vettori numerici.
Ora per provare i cosidetti assiomi, come e dove prendo i vettori numerici?
altro dubbio
su una slide su una dispensa, ho trovato che i sottospazi di ...
Ho la seguente matrice: $ A=( ( 2 , 1 , 0 , 2 ),( 4, 2 , 0 , k ),( 0 , 0 , 5 , -1 ),( 0 , 0 , 2 , 2 ) ) $
POSSO EFFETTUARE DELLE RIDUZIONI PRIMA DI CALCOLARMI IL POLINOMIO CARATTERISTICO, AFFINCHE' LA MATRICE A RISULTI TRIANGOLARE SUPERIORE? OPPURE DEVO SUBITO CALCOLARMI IL DETERMINANTE DI (A-XI) SENZA EFFETTUARE ALCUNA OPERAZIONE ELEMENTARE? GRAZIE..
Ciao a tutti mi servirebbe uno spunto da cui partire per fare questo esercizio:
Stabilire per quali valori di h l'insieme:
$V_h = {(x,y,z,t) in RR^4 | x - y +hzt = h^2 -2h}$
è un sottospazio di $RR^4$.
Grazie mille per l'aiuto.
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