Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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esistono applicazioni lineari da $R_7$ in $R_4$ il cui nucleo ha dimensione 4?
pongo
T : $R_7 a R_4$ : $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ a $(x_4,x_5,x_6,x_7)$
T è lineare e $Im T = R_4$
dal teorema del rango si ha
$dim (R_7) = dim (kerT) + dim (ImT)$
dim Im T = 4 quindi il nucleo di T non ha dim = 4 ma dim =3
corretto?
Sto provando a fare qualche esercizio di geometria analitica per il futuro esame di matematica che dovrò affrontare, volevo chiedervi se il seguente esercizio è stato svolto correttamente:
Dato un vettore $\vec v = ((9/2),(0))$ ed un punto $P = (-4,7)$
1) Scrivere le equazioni cartesiane e parametriche della retta ortogonale a $\vec w$ e passante per il punto $P$;
2) Stabilire se tale retta passa per l'origine;
Allora ecco il mio procedimento:
1) Per trovare ...
Facendo tutt'altro mi son reso conto di aver seri problemi con le rotazioni nello spazio. Nello specifico volevo ruotare il piano $x+y+z=3$ in modo da renderlo parallelo al piano $xy$ ottenendo un'equazione del tipo $z=text(costante)$; la trasformazione cercata è data dunque dalla combinazione di una rotazione di $pi/4$ attorno all'asse $z$ e di una rotazione sempre di $pi/4$ attorno all'asse $x$. Dunque preso il vettore ...
Salve!
Volevo sapere se sono giusti i miei ragionamenti riguardo quest'esercizio :
Prima di tutto determino la dimensione di $H$, calcolando il rango di $((1,-1,0,1),(2,1,1,0),(3,0,1,1),(0,1,-1,0))$, trovando che $dim(H)=3$ e $B_H={(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0)}$.
A questo punto so che $H$ ha $n-h$ equazioni $(4-3=1)$, e le calcolo da $((x,y,z,t),(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0))$ orlando il minore fondamentale $((1,-1),(2,1))$, da ciò ho che l'equazione di $H$ è $x-3z+y=0$.
Riguardo ai ...
Ciao. Nel teorema di Eulero $vecr$ è la direnzione dell'asse ed $O$ è la matrice ortogonale. Cosa significa $r^i=O_(ij)r^j$?
Salve ragazzi,
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento ortonormale $Oxyz$ dati i punti $A(1,2,-3), B(2,-1,0), C(3,0,1)$ trovare:
-La retta r per $A$ e $B$
-La proiezione ortogonale di $r$ sul piano $\pi$ per $C$ perpendicolare all'asse $z$.
Allora, io ho trovato la retta per i due punti, e il piano.. ma ho qualche difficoltà con la proiezione ortogonale..
Mi potete ...
Buona sera a tutti!
Quest'oggi vi propongo un esercizio di geometria differenziale, ambito in cui mi sto addentrando da solo, studiando un libro preso in biblioteca, ma che trovo molto interessante!
L'esercizio chiede di determinare quale porzione della sfera unitaria è coperta dall'immagine della mappa di Gauss della superficie
\[
z = x^2 + y^2.
\]
Per prima cosa, stabilità l'orientazione positiva come quella per cui il vettore normale punta verso il senso negativo di \(z\), immagino la ...
dati
$p_1=t^2+3t, p_2=t^-t, p_3=t^-2t+2$
scrivere la matrice associata all'endomorfismo T tale che $Tp_1=t^2, Tp_2=t^2-t-1, Tp_3=2t+2$ rispetto a una base a scelta
abbiamo
$T((0),(3),(1))$ = $((0),(0),(1))$ $T((0),(-1),(1))$=$((-1),(-1),(1))$ $T((2),(-2),(1))$=$((2),(2),(0))$
studio i tre sistemi
$\{(2z= 1),(3x-y-2z = 0),(x+y+z = 0):}$ $\{(x=1/8),(y=-5/8),(z=1/2):}$
$\{(2z= 0),(3x-y-2z = 1),(x+y+z = 0):}$ $\{(x=1/4),(y=-1/4),(z=0):}$
$\{(z= 0),(3x-y-2z = 0),(x+y+z = 1):}$ $\{(x=1/4),(y=3/4),(z=0):}$
ora mi ricavo la matrice
T$((1),(0),(0))$ = 1/8 $((0),(0),(1))$ -5/8 ...
Ciao a tutti, sto davvero uscendo pazzo con questo esercizio. L'esercizio è il seguente: Stabilire per quali valori di $ k $ è diagonalizzabile il seguente endorfismo $ f(x,y,z) = ( (4-k)y+(7-k)x,(2k-4)y+(2k-7)x,5z) $ . Io l'ho svolto cosi' :
$ ( ( 7-k , 4-k , 0 ),( 2k-7 , 2k-4 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 7-k , 4-k , 0 ),( k , k , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 3 , 4-k , 0 ),( 0 , k , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) = $ $ ( ( 3-x , 4-k , 0 ),( 0 , k-x , 0 ),( 0 , 0 , 5-x ) ) $.
Polinomio caratteristico : $ (3-x) (k-x) (5-x ) $ , quindi $ k=3;5 $ .
Se $ k=3 $ $ -> x=3 $ $ -> ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ Rango $ =1 $
Molteplicità geometrica ( num. ...
Mi viene dato un endomorfismo $T:RR_3[t] rightarrowRR_3[t] T(p(t))=p(2t+1)-p(t-3))$
devo scrivere la matrice associata rispetto ad una base a mia scelta che prendo ${1,t,t^2}$
devo trovare i vari corrispondenti.Ad esempio $T(1)=$? devo sostituire 1 alla t dell endomorfismo? mi sembra cosi banale.
Mi potete aiutare per calcolare $T(1),T(t),T(t^2)$?grazie
1) come si trova l'equazione di una sfera passante per 2 punti P(x1,y1,z1) Q(x2,y2,z2) , ed avente centro su una retta r ???
e , successivamente , come si trova l'equazione del piano tangente a questa sfera proprio nel punto P(x1,y1,z1) ??
2) come si trova L'equazione della conica tangente nell origine all asse y , tangente ad una retta r nel punto A(x1,y1) e passante per il punto B(x2,y2) ???? e la classifficazzione affine e proiettiva di questa conica ????
Mi servirebbe una ...
Ciao a tutti,
ho sostenuto e superato di recente l'esame di Geometria e Algebra lineare. Il prof mi ha anche consegnato il compito per la presa visione e ho notato che ha marcato come errore la definizione che ho dato di insieme delle soluzioni del sistema.
Vorrei sapere allora la definizione esatta per cortesia dato che ho l'orale a breve
la mia definizione è stata la seguente
\(\displaystyle I \equiv \{ [(x,y,z,t)\in R4 | (z-t-5)/5 ; (3t-8z-5)/5, z ,t ] \} \)
e il Professore ha ...
Nello spazio si consideri la circonferenza C intersezione della sfera S di equazione x^2+y^2+z^2-4x-2z+1= 0 con il piano alfa=x+y=1
a) determinare il centro e il raggio di C
b) scrivere l'equazione del cilindro che ammette C come direttrice ed ha le generatrici perpendicolari al piano alfa....
ho trovato il centro della sfera ( 2,0,1) e il raggio della sfera=2
ho pensato che se il centro della circonferenza C (chiamiamolo H) il vettore che parte dal centro della sfera e arriva al centro della ...
Buongiorno a tutti,
ho un dubbio: scelta localmente un' orientazione (ovvero scelto un segno per la normale), posso ad occhio (ie. senza calcolare I e II forma) capire il segno della curvatura gaussiana di un determinato punto della nostra bottiglia di Klein?
A mio parere la risposta è sì, ma vorrei sapere se le mie ragioni sono fondate. Esse sono:
i)La bottiglia di Klein è una superficie topologica.
ii)Per qualsiasi altra superficie (a parte il piano proiettivo) sappiamo dire ad occhio se un ...
Non so proprio da che parte iniziare con questo esercizio teorico di geometria:
"Sia $X$ un insieme, $V$ un $K$-spazio vettoriale e $\Appl(X,V)$ l'insieme di tutte le applicazioni $f:X \to V$.Dimostrare che $\Appl(X,V)$ è uno spazio vettoriale, con la seguente somma e moltiplicazione scalare:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
$f,g\in Appl(X,V)$."
Ciao,
ho un piccolo problema con le curve algebriche, in particolare con questa:
"Studiare la curva algebrica di equazione
$ 3x^3-x^2y-2xy+x-y+1=0 $
nei suoi punti impropri e nel punto (0,1)"
Il libro di testo che usa il mio pfrof è praticamente incomprensibile e senza alcun tipo di esempi utili per questo tipo di esercizi. Quindi, se qualcuno oltre ad aiutarmi a capire come si risolve quest'esercizio in particolare, mi desse qualche dritta di teoria sulle curve piane o cmq qualche link a ...
discutere al variare del parametro reale k, il seguente sistema:
x-2y = -1
x +(1+k)y -z =-1
2x -kz= -2
ho pensato di risolverlo con il metodo di cramer cioè AX=B e svolgendo i calcoli mi trovo un valore per k = 1......................le soluzioni dell'esercizio sono k=1..............k=-4....................però nn so se sia conveniente adottare cramer e come trovarmi k=-4
Nello spazio vettoriale R^3 si consideri il sottospazio W= L(v1,v2,v3) generato dai vettori:
v1=(1,1,-1), v2=(0,-1,2),v3=(2,1,0)
a) si determini la dimensione ed equazioni caratteristiche di W
b)si dica quali dei seguenti sottoinsiemi sono basi di W
A=(1,1,-1),(0,0,-1) B=(1,1,0),(1,1,1)
C=(1,1,-1),(0,1,-2),(2,1,0 D=(4,2,0),(1,0,1)
completare eventualmente tali basi in R^3
allora per quando riguarda il punto a per trovare la dimensione che essa ...
Salve!
Sono alle prese con questo esercizio:
Nello spazio euclideo $V = M (2 × 2)$ (matrici di ordine 2 a coefficienti reali) con prodotto scalare definito da $(A|B) = tr(AB^T)$, (trA denota la traccia di una matrice A), determinare la matrice appartenente al sottospazio $U$ generato dalle matrici
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ , $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
Bisogna calcolare la matrice appartenente a $U$ che meglio approssima questa matrice
$ ( ( 1 , -1 ),( 3 , 2 ) ) $
Ogni volta che vedo ...
Buona sera a tutti! Io volevo sapere se qualcuno mi può spiegare bene come si può definire il fix( i punti fissi) di una trasformazione lineare! E che legame ha con il ker e l'immagine !! Per esempio se io ho una trasformazione lineare rappresentata da una matrice come faccio a definire i punti fissi?? per quanto riguarda il ker e l'immagine lo so fare !! ma per il fix proprio non ho capito come fare !! mi potete aiutare?
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